Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem3 33818
Description: Lemma for ftc1anc 33824- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 23662 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
21ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3 i1ff 23662 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
43ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5 absreim 14240 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
62, 4, 5syl2an 583 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
76anandirs 658 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
82recnd 10273 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
98sqvald 13211 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)))
104recnd 10273 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1110sqvald 13211 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥)↑2) = ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))
129, 11oveqan12d 6814 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2)) = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
1312anandirs 658 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2)) = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
1413fveq2d 6337 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
157, 14eqtrd 2805 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
1615mpteq2dva 4879 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))))
17 ax-icn 10200 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
18 mulcl 10225 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
1917, 10, 18sylancr 575 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
20 addcl 10223 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
218, 19, 20syl2an 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
2221anandirs 658 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
23 reex 10232 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
252adantlr 694 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
26 ovexd 6828 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ V)
271feqmptd 6393 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
2827adantr 466 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
2923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
3017a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
31 fconstmpt 5302 . . . . . . . 8 (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
333feqmptd 6393 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑥)))
3429, 30, 4, 32, 33offval2 7064 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺𝑥))))
3534adantl 467 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺𝑥))))
3624, 25, 26, 28, 35offval2 7064 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))))
37 absf 14284 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
3938feqmptd 6393 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
40 fveq2 6333 . . . 4 (𝑦 = ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))))
4122, 36, 39, 40fmptco 6541 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))))))
428, 8mulcld 10265 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4310, 10mulcld 10265 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
44 addcl 10223 . . . . . 6 ((((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4542, 43, 44syl2an 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4645anandirs 658 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4742adantlr 694 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4843adantll 693 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
4923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
5049, 2, 2, 27, 27offval2 7064 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥))))
5150adantr 466 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥))))
5229, 4, 4, 33, 33offval2 7064 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
5352adantl 467 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
5424, 47, 48, 51, 53offval2 7064 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
55 sqrtf 14310 . . . . . 6 √:ℂ⟶ℂ
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
5756feqmptd 6393 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
58 fveq2 6333 . . . 4 (𝑦 = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
5946, 54, 57, 58fmptco 6541 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))))
6016, 41, 593eqtr4d 2815 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))))
61 elrege0 12484 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
62 resqrtcl 14201 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
6361, 62sylbi 207 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
6463adantl 467 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65 id 22 . . . . . . . . 9 (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
6665feqmptd 6393 . . . . . . . 8 (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
6755, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
6867reseq1i 5529 . . . . . 6 (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
69 rge0ssre 12486 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
70 ax-resscn 10198 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7169, 70sstri 3761 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
72 resmpt 5589 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
7468, 73eqtri 2793 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
7564, 74fmptd 6529 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
76 ge0addcl 12490 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7776adantl 467 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78 oveq12 6804 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐹𝑧 = 𝐹) → (𝑧𝑓 · 𝑧) = (𝐹𝑓 · 𝐹))
7978anidms 556 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐹 → (𝑧𝑓 · 𝑧) = (𝐹𝑓 · 𝐹))
8079feq1d 6169 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
81 i1ff 23662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ dom ∫1𝑧:ℝ⟶ℝ)
8281ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧𝑥) ∈ ℝ)
8382, 82remulcld 10275 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ ℝ)
8482msqge0d 10801 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)))
85 elrege0 12484 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))))
8683, 84, 85sylanbrc 572 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
87 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)))
8886, 87fmptd 6529 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
8923a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
9081feqmptd 6393 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧𝑥)))
9189, 82, 82, 90, 90offval2 7064 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧𝑓 · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))))
9291feq1d 6169 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
9388, 92mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
9480, 93vtoclga 3423 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
9594adantr 466 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
96 oveq12 6804 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐺𝑧 = 𝐺) → (𝑧𝑓 · 𝑧) = (𝐺𝑓 · 𝐺))
9796anidms 556 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐺 → (𝑧𝑓 · 𝑧) = (𝐺𝑓 · 𝐺))
9897feq1d 6169 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
9998, 93vtoclga 3423 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
10099adantl 467 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
101 inidm 3971 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
10277, 95, 100, 24, 24, 101off 7062 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
103 fco2 6200 . . . 4 (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
10475, 102, 103syl2anc 573 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
105 rnco 5784 . . . 4 ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)))
106 ffn 6184 . . . . . . . 8 (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
10755, 106ax-mp 5 . . . . . . 7 √ Fn ℂ
108 readdcl 10224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109108adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
110 remulcl 10226 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
111110adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
112111, 1, 1, 49, 49, 101off 7062 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
113112adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
114110adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
115114, 3, 3, 29, 29, 101off 7062 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺𝑓 · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
116115adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺𝑓 · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
117109, 113, 116, 24, 24, 101off 7062 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
118117frnd 6191 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℝ)
119118, 70syl6ss 3764 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℂ)
120 fnssres 6143 . . . . . . 7 ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)))
121107, 119, 120sylancr 575 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)))
122 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1)
123122, 122i1fmul 23682 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
124123adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
125 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
126125, 125i1fmul 23682 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
127126adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
128124, 127i1fadd 23681 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
129 i1frn 23663 . . . . . . 7 (((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin)
130128, 129syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin)
131 fnfi 8397 . . . . . 6 (((√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
132121, 130, 131syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
133 rnfi 8408 . . . . 5 ((√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
134132, 133syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
135105, 134syl5eqel 2854 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
136 cnvco 5445 . . . . . . 7 (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) = (((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∘ √)
137136imaeq1i 5603 . . . . . 6 ((√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∘ √) “ {𝑥})
138 imaco 5783 . . . . . 6 ((((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∘ √) “ {𝑥}) = (((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))
139137, 138eqtri 2793 . . . . 5 ((√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) = (((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))
140 i1fima 23664 . . . . . 6 (((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
141128, 140syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
142139, 141syl5eqel 2854 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
143142adantr 466 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → ((√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
144139fveq2i 6336 . . . 4 (vol‘((√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})))
145 eldifsni 4458 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
146 c0ex 10239 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
147146elsn 4332 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
148 eqcom 2778 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑥𝑥 = 0)
149147, 148bitri 264 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
150149necon3bbii 2990 . . . . . . . . 9 (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
151 sqrt0 14189 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
152151eleq1i 2841 . . . . . . . . 9 ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
153150, 152xchnxbir 322 . . . . . . . 8 (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
154145, 153sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
155154olcd 863 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
156 ianor 966 . . . . . . 7 (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
157 elpreima 6482 . . . . . . . 8 (√ Fn ℂ → (0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
15855, 106, 157mp2b 10 . . . . . . 7 (0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
159156, 158xchnxbir 322 . . . . . 6 (¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
160155, 159sylibr 224 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥}))
161 i1fima2 23665 . . . . 5 ((((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥})) → (vol‘(((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
162128, 160, 161syl2an 583 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
163144, 162syl5eqel 2854 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘((√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
164104, 135, 143, 163i1fd 23667 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
16560, 164eqeltrd 2850 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864   × cxp 5248  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252  cima 5253  ccom 5254   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  𝑓 cof 7045  Fincfn 8112  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  ici 10143   + caddc 10144   · cmul 10146  +∞cpnf 10276  cle 10280  2c2 11275  [,)cico 12381  cexp 13066  csqrt 14180  abscabs 14181  volcvol 23450  1citg1 23602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xadd 12151  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-xmet 19953  df-met 19954  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-mbf 23606  df-itg1 23607
This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  33822  ftc1anclem8  33823
  Copyright terms: Public domain W3C validator