Theorem ftc1anclem3 37675

Description: Lemma for ftc1anc 37681- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem3	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	ffvelcdmda 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		i1ff 25575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5		absreim 15200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
6	2, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
7	6	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
8	2	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 14050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))
10	4	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	sqvald 14050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
12	9, 11	oveqan12d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
13	12	anandirs 679	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14	13	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
15	7, 14	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
16	15	mpteq2dva 5185	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
17		ax-icn 11068	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		mulcl 11093	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
19	17, 10, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
20		addcl 11091	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
22	21	anandirs 679	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
23		reex 11100	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
25	2	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		ovexd 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
27	1	feqmptd 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
29	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
30	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
33	3	feqmptd 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑥)))
34	29, 30, 4, 32, 33	offval2 7633	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
36	24, 25, 26, 28, 35	offval2 7633	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
37		absf 15245	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6891	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
40		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
41	22, 36, 39, 40	fmptco 7063	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))))
42	8, 8	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
43	10, 10	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
44		addcl 11091	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
46	45	anandirs 679	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
47	42	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
48	43	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
49	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50	49, 2, 2, 27, 27	offval2 7633	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
51	50	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
52	29, 4, 4, 33, 33	offval2 7633	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
54	24, 47, 48, 51, 53	offval2 7633	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
55		sqrtf 15271	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
57	56	feqmptd 6891	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
58		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
59	46, 54, 57, 58	fmptco 7063	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
60	16, 41, 59	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))))
61		elrege0 13357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
62		resqrtcl 15160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
63	61, 62	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
64	63	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
67	55, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
68	67	reseq1i 5926	. . . . . 6 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
69		rge0ssre 13359	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
70		ax-resscn 11066	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
71	69, 70	sstri 3945	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
72		resmpt 5988	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
74	68, 73	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
75	64, 74	fmptd 7048	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
76		ge0addcl 13363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
77	76	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78		oveq12 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐹) → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐹 ∘f · 𝐹))
79	78	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐹 ∘f · 𝐹))
80	79	feq1d 6634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
81		i1ff 25575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧:ℝ⟶ℝ)
82	81	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧‘𝑥) ∈ ℝ)
83	82, 82	remulcld 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	82	msqge0d 11688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)))
85		elrege0 13357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
86	83, 84, 85	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
87	86	fmpttd 7049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
88	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
89	81	feqmptd 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧‘𝑥)))
90	88, 82, 82, 89, 89	offval2 7633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
91	90	feq1d 6634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
92	87, 91	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
93	80, 92	vtoclga 3532	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
94	93	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
95		oveq12 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐺 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐺 ∘f · 𝐺))
96	95	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐺 ∘f · 𝐺))
97	96	feq1d 6634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
98	97, 92	vtoclga 3532	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
99	98	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
100		inidm 4178	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
101	77, 94, 99, 24, 24, 100	off 7631	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
102		fco2 6678	. . . 4 ⊢ (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
103	75, 101, 102	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
104		rnco 6201	. . . 4 ⊢ ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
105		ffn 6652	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
106	55, 105	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ Fn ℂ
107		readdcl 11092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109		remulcl 11094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
111	110, 1, 1, 49, 49, 100	off 7631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
113	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
114	113, 3, 3, 29, 29, 100	off 7631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
116	108, 112, 115, 24, 24, 100	off 7631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
117	116	frnd 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℝ)
118	117, 70	sstrdi 3948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℂ)
119		fnssres 6605	. . . . . . 7 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
120	106, 118, 119	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
121		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
122	121, 121	i1fmul 25595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
123	122	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
124		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
125	124, 124	i1fmul 25595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
126	125	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
127	123, 126	i1fadd 25594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
128		i1frn 25576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin)
129	127, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin)
130		fnfi 9092	. . . . . 6 ⊢ (((√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
131	120, 129, 130	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
132		rnfi 9230	. . . . 5 ⊢ ((√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
133	131, 132	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
134	104, 133	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
135		cnvco 5828	. . . . . . 7 ⊢ ◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√)
136	135	imaeq1i 6008	. . . . . 6 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥})
137		imaco 6200	. . . . . 6 ⊢ ((◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
138	136, 137	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
139		i1fima 25577	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
140	127, 139	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
141	138, 140	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
142	141	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
143	138	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})))
144		eldifsni 4741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
145		c0ex 11109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
146	145	elsn 4592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
147		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 0)
148	146, 147	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
149	148	necon3bbii 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
150		sqrt0 15148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
151	150	eleq1i 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
152	149, 151	xchnxbir 333	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
153	144, 152	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
154	153	olcd 874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
155		ianor 983	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
156		elpreima 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (√ Fn ℂ → (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
157	55, 105, 156	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
158	155, 157	xchnxbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
159	154, 158	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}))
160		i1fima2 25578	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
161	127, 159, 160	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
162	143, 161	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
163	103, 134, 142, 162	i1fd 25580	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
164	60, 163	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621   “ cima 5622   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  ici 11011   + caddc 11012   · cmul 11014  +∞cpnf 11146   ≤ cle 11150  2c2 12183  [,)cico 13250  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  abscabs 15141  volcvol 25362  ∫₁citg1 25514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21254  df-met 21255  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-mbf 25518  df-itg1 25519

This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  37679  ftc1anclem8  37680