Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem3 37655
Description: Lemma for ftc1anc 37661- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25730 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
21ffvelcdmda 7118 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3 i1ff 25730 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
43ffvelcdmda 7118 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5 absreim 15342 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
62, 4, 5syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
76anandirs 678 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
82recnd 11318 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
98sqvald 14193 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)))
104recnd 11318 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1110sqvald 14193 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥)↑2) = ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))
129, 11oveqan12d 7467 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2)) = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
1312anandirs 678 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2)) = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
1413fveq2d 6924 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
157, 14eqtrd 2780 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
1615mpteq2dva 5266 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))))
17 ax-icn 11243 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
18 mulcl 11268 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
1917, 10, 18sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
20 addcl 11266 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
218, 19, 20syl2an 595 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
2221anandirs 678 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
23 reex 11275 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
252adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
26 ovexd 7483 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ V)
271feqmptd 6990 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
2923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
3017a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
31 fconstmpt 5762 . . . . . . . 8 (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
333feqmptd 6990 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑥)))
3429, 30, 4, 32, 33offval2 7734 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺𝑥))))
3534adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺𝑥))))
3624, 25, 26, 28, 35offval2 7734 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))))
37 absf 15386 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
3938feqmptd 6990 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
40 fveq2 6920 . . . 4 (𝑦 = ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))))
4122, 36, 39, 40fmptco 7163 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))))))
428, 8mulcld 11310 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4310, 10mulcld 11310 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
44 addcl 11266 . . . . . 6 ((((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4542, 43, 44syl2an 595 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4645anandirs 678 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4742adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4843adantll 713 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
4923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
5049, 2, 2, 27, 27offval2 7734 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥))))
5150adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥))))
5229, 4, 4, 33, 33offval2 7734 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
5352adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
5424, 47, 48, 51, 53offval2 7734 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
55 sqrtf 15412 . . . . . 6 √:ℂ⟶ℂ
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
5756feqmptd 6990 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
58 fveq2 6920 . . . 4 (𝑦 = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
5946, 54, 57, 58fmptco 7163 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))))
6016, 41, 593eqtr4d 2790 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))))
61 elrege0 13514 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
62 resqrtcl 15302 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
6361, 62sylbi 217 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
6463adantl 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65 id 22 . . . . . . . . 9 (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
6665feqmptd 6990 . . . . . . . 8 (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
6755, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
6867reseq1i 6005 . . . . . 6 (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
69 rge0ssre 13516 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
70 ax-resscn 11241 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7169, 70sstri 4018 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
72 resmpt 6066 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
7468, 73eqtri 2768 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
7564, 74fmptd 7148 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
76 ge0addcl 13520 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7776adantl 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78 oveq12 7457 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐹𝑧 = 𝐹) → (𝑧f · 𝑧) = (𝐹f · 𝐹))
7978anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐹 → (𝑧f · 𝑧) = (𝐹f · 𝐹))
8079feq1d 6732 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
81 i1ff 25730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ dom ∫1𝑧:ℝ⟶ℝ)
8281ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧𝑥) ∈ ℝ)
8382, 82remulcld 11320 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ ℝ)
8482msqge0d 11858 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)))
85 elrege0 13514 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))))
8683, 84, 85sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
8786fmpttd 7149 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
8823a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
8981feqmptd 6990 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧𝑥)))
9088, 82, 82, 89, 89offval2 7734 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧f · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))))
9190feq1d 6732 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
9287, 91mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
9380, 92vtoclga 3589 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
9493adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
95 oveq12 7457 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐺𝑧 = 𝐺) → (𝑧f · 𝑧) = (𝐺f · 𝐺))
9695anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐺 → (𝑧f · 𝑧) = (𝐺f · 𝐺))
9796feq1d 6732 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
9897, 92vtoclga 3589 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
9998adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
100 inidm 4248 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
10177, 94, 99, 24, 24, 100off 7732 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
102 fco2 6774 . . . 4 (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
10375, 101, 102syl2anc 583 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
104 rnco 6283 . . . 4 ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)))
105 ffn 6747 . . . . . . . 8 (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
10655, 105ax-mp 5 . . . . . . 7 √ Fn ℂ
107 readdcl 11267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
108107adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109 remulcl 11269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
111110, 1, 1, 49, 49, 100off 7732 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
112111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
113109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
114113, 3, 3, 29, 29, 100off 7732 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
115114adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
116108, 112, 115, 24, 24, 100off 7732 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
117116frnd 6755 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ⊆ ℝ)
118117, 70sstrdi 4021 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ⊆ ℂ)
119 fnssres 6703 . . . . . . 7 ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)))
120106, 118, 119sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)))
121 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1)
122121, 121i1fmul 25750 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
123122adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
124 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
125124, 124i1fmul 25750 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
126125adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
127123, 126i1fadd 25749 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
128 i1frn 25731 . . . . . . 7 (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ Fin)
129127, 128syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ Fin)
130 fnfi 9244 . . . . . 6 (((√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
131120, 129, 130syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
132 rnfi 9408 . . . . 5 ((√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
133131, 132syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
134104, 133eqeltrid 2848 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
135 cnvco 5910 . . . . . . 7 (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) = (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∘ √)
136135imaeq1i 6086 . . . . . 6 ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∘ √) “ {𝑥})
137 imaco 6282 . . . . . 6 ((((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∘ √) “ {𝑥}) = (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))
138136, 137eqtri 2768 . . . . 5 ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) = (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))
139 i1fima 25732 . . . . . 6 (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
140127, 139syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
141138, 140eqeltrid 2848 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
142141adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0})) → ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
143138fveq2i 6923 . . . 4 (vol‘((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})))
144 eldifsni 4815 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
145 c0ex 11284 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
146145elsn 4663 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
147 eqcom 2747 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑥𝑥 = 0)
148146, 147bitri 275 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
149148necon3bbii 2994 . . . . . . . . 9 (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
150 sqrt0 15290 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
151150eleq1i 2835 . . . . . . . . 9 ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
152149, 151xchnxbir 333 . . . . . . . 8 (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
153144, 152sylibr 234 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
154153olcd 873 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
155 ianor 982 . . . . . . 7 (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
156 elpreima 7091 . . . . . . . 8 (√ Fn ℂ → (0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
15755, 105, 156mp2b 10 . . . . . . 7 (0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
158155, 157xchnxbir 333 . . . . . 6 (¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
159154, 158sylibr 234 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥}))
160 i1fima2 25733 . . . . 5 ((((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥})) → (vol‘(((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
161127, 159, 160syl2an 595 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
162143, 161eqeltrid 2848 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
163103, 134, 142, 162i1fd 25735 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
16460, 163eqeltrd 2844 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  Vcvv 3488  cdif 3973  wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  cmpt 5249   × cxp 5698  ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701  cres 5702  cima 5703  ccom 5704   Fn wfn 6568  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  f cof 7712  Fincfn 9003  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  cle 11325  2c2 12348  [,)cico 13409  cexp 14112  csqrt 15282  abscabs 15283  volcvol 25517  1citg1 25669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-xmet 21380  df-met 21381  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674
This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660
  Copyright terms: Public domain W3C validator