Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem3 35094
Description: Lemma for ftc1anc 35100- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 24278 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
21ffvelrnda 6833 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3 i1ff 24278 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
43ffvelrnda 6833 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5 absreim 14644 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
62, 4, 5syl2an 598 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
76anandirs 678 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))))
82recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
98sqvald 13503 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)))
104recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1110sqvald 13503 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥)↑2) = ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))
129, 11oveqan12d 7159 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2)) = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
1312anandirs 678 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2)) = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
1413fveq2d 6656 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹𝑥)↑2) + ((𝐺𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
157, 14eqtrd 2857 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
1615mpteq2dva 5137 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))))
17 ax-icn 10585 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
18 mulcl 10610 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
1917, 10, 18sylancr 590 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
20 addcl 10608 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
218, 19, 20syl2an 598 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
2221anandirs 678 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
23 reex 10617 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
252adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
26 ovexd 7175 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺𝑥)) ∈ V)
271feqmptd 6715 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
2827adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
2923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
3017a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
31 fconstmpt 5591 . . . . . . . 8 (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
333feqmptd 6715 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑥)))
3429, 30, 4, 32, 33offval2 7411 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺𝑥))))
3534adantl 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺𝑥))))
3624, 25, 26, 28, 35offval2 7411 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))))
37 absf 14688 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
3938feqmptd 6715 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
40 fveq2 6652 . . . 4 (𝑦 = ((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥)))))
4122, 36, 39, 40fmptco 6873 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹𝑥) + (i · (𝐺𝑥))))))
428, 8mulcld 10650 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4310, 10mulcld 10650 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
44 addcl 10608 . . . . . 6 ((((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4542, 43, 44syl2an 598 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4645anandirs 678 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
4742adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4843adantll 713 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
4923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
5049, 2, 2, 27, 27offval2 7411 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥))))
5150adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥))))
5229, 4, 4, 33, 33offval2 7411 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
5352adantl 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))
5424, 47, 48, 51, 53offval2 7411 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
55 sqrtf 14714 . . . . . 6 √:ℂ⟶ℂ
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
5756feqmptd 6715 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
58 fveq2 6652 . . . 4 (𝑦 = (((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥)))))
5946, 54, 57, 58fmptco 6873 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹𝑥) · (𝐹𝑥)) + ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑥))))))
6016, 41, 593eqtr4d 2867 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))))
61 elrege0 12832 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
62 resqrtcl 14604 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
6361, 62sylbi 220 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
6463adantl 485 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65 id 22 . . . . . . . . 9 (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
6665feqmptd 6715 . . . . . . . 8 (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
6755, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
6867reseq1i 5827 . . . . . 6 (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
69 rge0ssre 12834 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
70 ax-resscn 10583 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7169, 70sstri 3951 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
72 resmpt 5883 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
7468, 73eqtri 2845 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
7564, 74fmptd 6860 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
76 ge0addcl 12838 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7776adantl 485 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78 oveq12 7149 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐹𝑧 = 𝐹) → (𝑧f · 𝑧) = (𝐹f · 𝐹))
7978anidms 570 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐹 → (𝑧f · 𝑧) = (𝐹f · 𝐹))
8079feq1d 6479 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
81 i1ff 24278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ dom ∫1𝑧:ℝ⟶ℝ)
8281ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧𝑥) ∈ ℝ)
8382, 82remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ ℝ)
8482msqge0d 11197 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)))
85 elrege0 12832 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))))
8683, 84, 85sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
8786fmpttd 6861 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
8823a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
8981feqmptd 6715 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧𝑥)))
9088, 82, 82, 89, 89offval2 7411 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧f · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))))
9190feq1d 6479 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧𝑥) · (𝑧𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
9287, 91mpbird 260 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
9380, 92vtoclga 3549 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
9493adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
95 oveq12 7149 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐺𝑧 = 𝐺) → (𝑧f · 𝑧) = (𝐺f · 𝐺))
9695anidms 570 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐺 → (𝑧f · 𝑧) = (𝐺f · 𝐺))
9796feq1d 6479 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
9897, 92vtoclga 3549 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
9998adantl 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
100 inidm 4169 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
10177, 94, 99, 24, 24, 100off 7409 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
102 fco2 6514 . . . 4 (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
10375, 101, 102syl2anc 587 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
104 rnco 6083 . . . 4 ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)))
105 ffn 6494 . . . . . . . 8 (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
10655, 105ax-mp 5 . . . . . . 7 √ Fn ℂ
107 readdcl 10609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
108107adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
110109adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
111110, 1, 1, 49, 49, 100off 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
112111adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
113109adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
114113, 3, 3, 29, 29, 100off 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
115114adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
116108, 112, 115, 24, 24, 100off 7409 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
117116frnd 6501 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ⊆ ℝ)
118117, 70sstrdi 3954 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ⊆ ℂ)
119 fnssres 6450 . . . . . . 7 ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)))
120106, 118, 119sylancr 590 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)))
121 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1)
122121, 121i1fmul 24298 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
123122adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
124 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
125124, 124i1fmul 24298 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
126125adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
127123, 126i1fadd 24297 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
128 i1frn 24279 . . . . . . 7 (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ Fin)
129127, 128syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ Fin)
130 fnfi 8784 . . . . . 6 (((√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
131120, 129, 130syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
132 rnfi 8795 . . . . 5 ((√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
133131, 132syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
134104, 133eqeltrid 2918 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ Fin)
135 cnvco 5733 . . . . . . 7 (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) = (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∘ √)
136135imaeq1i 5904 . . . . . 6 ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∘ √) “ {𝑥})
137 imaco 6082 . . . . . 6 ((((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∘ √) “ {𝑥}) = (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))
138136, 137eqtri 2845 . . . . 5 ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) = (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))
139 i1fima 24280 . . . . . 6 (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
140127, 139syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
141138, 140eqeltrid 2918 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
142141adantr 484 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0})) → ((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
143138fveq2i 6655 . . . 4 (vol‘((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥})))
144 eldifsni 4696 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
145 c0ex 10624 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
146145elsn 4554 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
147 eqcom 2829 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑥𝑥 = 0)
148146, 147bitri 278 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
149148necon3bbii 3058 . . . . . . . . 9 (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
150 sqrt0 14592 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
151150eleq1i 2904 . . . . . . . . 9 ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
152149, 151xchnxbir 336 . . . . . . . 8 (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
153144, 152sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
154153olcd 871 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
155 ianor 979 . . . . . . 7 (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
156 elpreima 6810 . . . . . . . 8 (√ Fn ℂ → (0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
15755, 105, 156mp2b 10 . . . . . . 7 (0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
158155, 157xchnxbir 336 . . . . . 6 (¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
159154, 158sylibr 237 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥}))
160 i1fima2 24281 . . . . 5 ((((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (√ “ {𝑥})) → (vol‘(((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
161127, 159, 160syl2an 598 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺)) “ (√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
162143, 161eqeltrid 2918 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘((√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
163103, 134, 142, 162i1fd 24283 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹f · 𝐹) ∘f + (𝐺f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
16460, 163eqeltrd 2914 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  Vcvv 3469  cdif 3905  wss 3908  {csn 4539   class class class wbr 5042  cmpt 5122   × cxp 5530  ccnv 5531  dom cdm 5532  ran crn 5533  cres 5534  cima 5535  ccom 5536   Fn wfn 6329  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  f cof 7392  Fincfn 8496  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  cle 10665  2c2 11680  [,)cico 12728  cexp 13425  csqrt 14583  abscabs 14584  volcvol 24065  1citg1 24217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-xmet 20082  df-met 20083  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-mbf 24221  df-itg1 24222
This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  35098  ftc1anclem8  35099
  Copyright terms: Public domain W3C validator