Theorem ftc1anclem3 37662

Description: Lemma for ftc1anc 37668- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem3	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		i1ff 25553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5		absreim 15235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
6	2, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
7	6	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
8	2	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 14084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))
10	4	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	sqvald 14084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
12	9, 11	oveqan12d 7388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
13	12	anandirs 679	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14	13	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
15	7, 14	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
16	15	mpteq2dva 5195	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
17		ax-icn 11103	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		mulcl 11128	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
19	17, 10, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
20		addcl 11126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
22	21	anandirs 679	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
23		reex 11135	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
25	2	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		ovexd 7404	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
27	1	feqmptd 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
29	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
30	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
33	3	feqmptd 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑥)))
34	29, 30, 4, 32, 33	offval2 7653	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
36	24, 25, 26, 28, 35	offval2 7653	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
37		absf 15280	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6911	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
40		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
41	22, 36, 39, 40	fmptco 7083	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))))
42	8, 8	mulcld 11170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
43	10, 10	mulcld 11170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
44		addcl 11126	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
46	45	anandirs 679	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
47	42	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
48	43	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
49	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50	49, 2, 2, 27, 27	offval2 7653	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
51	50	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
52	29, 4, 4, 33, 33	offval2 7653	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
54	24, 47, 48, 51, 53	offval2 7653	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
55		sqrtf 15306	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
57	56	feqmptd 6911	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
58		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
59	46, 54, 57, 58	fmptco 7083	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
60	16, 41, 59	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))))
61		elrege0 13391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
62		resqrtcl 15195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
63	61, 62	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
64	63	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
67	55, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
68	67	reseq1i 5935	. . . . . 6 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
69		rge0ssre 13393	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
70		ax-resscn 11101	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
71	69, 70	sstri 3953	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
72		resmpt 5997	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
74	68, 73	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
75	64, 74	fmptd 7068	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
76		ge0addcl 13397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
77	76	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78		oveq12 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐹) → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐹 ∘f · 𝐹))
79	78	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐹 ∘f · 𝐹))
80	79	feq1d 6652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
81		i1ff 25553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧:ℝ⟶ℝ)
82	81	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧‘𝑥) ∈ ℝ)
83	82, 82	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	82	msqge0d 11722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)))
85		elrege0 13391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
86	83, 84, 85	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
87	86	fmpttd 7069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
88	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
89	81	feqmptd 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧‘𝑥)))
90	88, 82, 82, 89, 89	offval2 7653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
91	90	feq1d 6652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
92	87, 91	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
93	80, 92	vtoclga 3540	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
94	93	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
95		oveq12 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐺 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐺 ∘f · 𝐺))
96	95	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐺 ∘f · 𝐺))
97	96	feq1d 6652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
98	97, 92	vtoclga 3540	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
99	98	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
100		inidm 4186	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
101	77, 94, 99, 24, 24, 100	off 7651	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
102		fco2 6696	. . . 4 ⊢ (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
103	75, 101, 102	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
104		rnco 6213	. . . 4 ⊢ ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
105		ffn 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
106	55, 105	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ Fn ℂ
107		readdcl 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109		remulcl 11129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
111	110, 1, 1, 49, 49, 100	off 7651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
113	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
114	113, 3, 3, 29, 29, 100	off 7651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
116	108, 112, 115, 24, 24, 100	off 7651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
117	116	frnd 6678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℝ)
118	117, 70	sstrdi 3956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℂ)
119		fnssres 6623	. . . . . . 7 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
120	106, 118, 119	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
121		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
122	121, 121	i1fmul 25573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
123	122	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
124		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
125	124, 124	i1fmul 25573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
126	125	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
127	123, 126	i1fadd 25572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
128		i1frn 25554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin)
129	127, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin)
130		fnfi 9119	. . . . . 6 ⊢ (((√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
131	120, 129, 130	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
132		rnfi 9267	. . . . 5 ⊢ ((√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
133	131, 132	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
134	104, 133	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
135		cnvco 5839	. . . . . . 7 ⊢ ◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√)
136	135	imaeq1i 6017	. . . . . 6 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥})
137		imaco 6212	. . . . . 6 ⊢ ((◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
138	136, 137	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
139		i1fima 25555	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
140	127, 139	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
141	138, 140	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
142	141	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
143	138	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})))
144		eldifsni 4750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
145		c0ex 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
146	145	elsn 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
147		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 0)
148	146, 147	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
149	148	necon3bbii 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
150		sqrt0 15183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
151	150	eleq1i 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
152	149, 151	xchnxbir 333	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
153	144, 152	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
154	153	olcd 874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
155		ianor 983	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
156		elpreima 7012	. . . . . . . 8 ⊢ (√ Fn ℂ → (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
157	55, 105, 156	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
158	155, 157	xchnxbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
159	154, 158	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}))
160		i1fima2 25556	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
161	127, 159, 160	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
162	143, 161	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
163	103, 134, 142, 162	i1fd 25558	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
164	60, 163	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  Fincfn 8895  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049  +∞cpnf 11181   ≤ cle 11185  2c2 12217  [,)cico 13284  ↑cexp 14002  √csqrt 15175  abscabs 15176  volcvol 25340  ∫₁citg1 25492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25341  df-vol 25342  df-mbf 25496  df-itg1 25497

This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  37666  ftc1anclem8  37667