Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem3 36866
Description: Lemma for ftc1anc 36872- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25425 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3 i1ff 25425 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
43ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5 absreim 15244 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)))) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯)↑2) + ((πΊβ€˜π‘₯)↑2))))
62, 4, 5syl2an 594 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)))) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯)↑2) + ((πΊβ€˜π‘₯)↑2))))
76anandirs 675 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)))) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯)↑2) + ((πΊβ€˜π‘₯)↑2))))
82recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
98sqvald 14112 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑2) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
104recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1110sqvald 14112 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑2) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
129, 11oveqan12d 7430 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)↑2) + ((πΊβ€˜π‘₯)↑2)) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
1312anandirs 675 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)↑2) + ((πΊβ€˜π‘₯)↑2)) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
1413fveq2d 6894 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯)↑2) + ((πΊβ€˜π‘₯)↑2))) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))))
157, 14eqtrd 2770 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)))) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))))
1615mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))))
17 ax-icn 11171 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
18 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
1917, 10, 18sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
20 addcl 11194 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
218, 19, 20syl2an 594 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
2221anandirs 675 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
23 reex 11203 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
252adantlr 711 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
26 ovexd 7446 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V)
271feqmptd 6959 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2827adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
3017a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ i ∈ β„‚)
31 fconstmpt 5737 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {i}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ i)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {i}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ i))
333feqmptd 6959 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
3429, 30, 4, 32, 33offval2 7692 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
3534adantl 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
3624, 25, 26, 28, 35offval2 7692 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝐺)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)))))
37 absf 15288 . . . . . 6 abs:β„‚βŸΆβ„
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
3938feqmptd 6959 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ abs = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘¦)))
40 fveq2 6890 . . . 4 (𝑦 = ((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯)))))
4122, 36, 39, 40fmptco 7128 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝐺))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (i Β· (πΊβ€˜π‘₯))))))
428, 8mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4310, 10mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
44 addcl 11194 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
4542, 43, 44syl2an 594 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
4645anandirs 675 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
4742adantlr 711 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4843adantll 710 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4923a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
5049, 2, 2, 27, 27offval2 7692 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
5150adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
5229, 4, 4, 33, 33offval2 7692 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
5352adantl 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
5424, 47, 48, 51, 53offval2 7692 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))))
55 sqrtf 15314 . . . . . 6 √:β„‚βŸΆβ„‚
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ √:β„‚βŸΆβ„‚)
5756feqmptd 6959 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ √ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜π‘¦)))
58 fveq2 6890 . . . 4 (𝑦 = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))))
5946, 54, 57, 58fmptco 7128 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))))
6016, 41, 593eqtr4d 2780 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))))
61 elrege0 13435 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
62 resqrtcl 15204 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6361, 62sylbi 216 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6463adantl 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
65 id 22 . . . . . . . . 9 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √:β„‚βŸΆβ„‚)
6665feqmptd 6959 . . . . . . . 8 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)))
6755, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 √ = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))
6867reseq1i 5976 . . . . . 6 (√ β†Ύ (0[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)) β†Ύ (0[,)+∞))
69 rge0ssre 13437 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
70 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
7169, 70sstri 3990 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
72 resmpt 6036 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) βŠ† β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)) β†Ύ (0[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)) β†Ύ (0[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))
7468, 73eqtri 2758 . . . . 5 (√ β†Ύ (0[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))
7564, 74fmptd 7114 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (√ β†Ύ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)βŸΆβ„)
76 ge0addcl 13441 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7776adantl 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78 oveq12 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐹) β†’ (𝑧 ∘f Β· 𝑧) = (𝐹 ∘f Β· 𝐹))
7978anidms 565 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐹 β†’ (𝑧 ∘f Β· 𝑧) = (𝐹 ∘f Β· 𝐹))
8079feq1d 6701 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐹 β†’ ((𝑧 ∘f Β· 𝑧):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐹 ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
81 i1ff 25425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑧:β„βŸΆβ„)
8281ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘§β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8382, 82remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
8482msqge0d 11786 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯)))
85 elrege0 13435 . . . . . . . . . 10 (((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯))))
8683, 84, 85sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯)) ∈ (0[,)+∞))
8786fmpttd 7115 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8823a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
8981feqmptd 6959 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑧 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘§β€˜π‘₯)))
9088, 82, 82, 89, 89offval2 7692 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑧 ∘f Β· 𝑧) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯))))
9190feq1d 6701 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ dom ∫1 β†’ ((𝑧 ∘f Β· 𝑧):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘§β€˜π‘₯) Β· (π‘§β€˜π‘₯))):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
9287, 91mpbird 256 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑧 ∘f Β· 𝑧):β„βŸΆ(0[,)+∞))
9380, 92vtoclga 3565 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
9493adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
95 oveq12 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐺 ∧ 𝑧 = 𝐺) β†’ (𝑧 ∘f Β· 𝑧) = (𝐺 ∘f Β· 𝐺))
9695anidms 565 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐺 β†’ (𝑧 ∘f Β· 𝑧) = (𝐺 ∘f Β· 𝐺))
9796feq1d 6701 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐺 β†’ ((𝑧 ∘f Β· 𝑧):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
9897, 92vtoclga 3565 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆ(0[,)+∞))
9998adantl 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆ(0[,)+∞))
100 inidm 4217 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
10177, 94, 99, 24, 24, 100off 7690 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
102 fco2 6743 . . . 4 (((√ β†Ύ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)βŸΆβ„ ∧ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)):β„βŸΆ(0[,)+∞)) β†’ (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))):β„βŸΆβ„)
10375, 101, 102syl2anc 582 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))):β„βŸΆβ„)
104 rnco 6250 . . . 4 ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) = ran (√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)))
105 ffn 6716 . . . . . . . 8 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ Fn β„‚)
10655, 105ax-mp 5 . . . . . . 7 √ Fn β„‚
107 readdcl 11195 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
108107adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
109 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
110109adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
111110, 1, 1, 49, 49, 100off 7690 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
112111adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
113109adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
114113, 3, 3, 29, 29, 100off 7690 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆβ„)
115114adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆβ„)
116108, 112, 115, 24, 24, 100off 7690 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)):β„βŸΆβ„)
117116frnd 6724 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) βŠ† ℝ)
118117, 70sstrdi 3993 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) βŠ† β„‚)
119 fnssres 6672 . . . . . . 7 ((√ Fn β„‚ ∧ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)))
120106, 118, 119sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)))
121 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
122121, 121i1fmul 25445 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
123122adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
124 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
125124, 124i1fmul 25445 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
126125adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
127123, 126i1fadd 25444 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ dom ∫1)
128 i1frn 25426 . . . . . . 7 (((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ dom ∫1 β†’ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ Fin)
129127, 128syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ Fin)
130 fnfi 9183 . . . . . 6 (((√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∧ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ Fin) β†’ (√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) ∈ Fin)
131120, 129, 130syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) ∈ Fin)
132 rnfi 9337 . . . . 5 ((√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) ∈ Fin β†’ ran (√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) ∈ Fin)
133131, 132syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ran (√ β†Ύ ran ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) ∈ Fin)
134104, 133eqeltrid 2835 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) ∈ Fin)
135 cnvco 5884 . . . . . . 7 β—‘(√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) = (β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∘ β—‘βˆš)
136135imaeq1i 6055 . . . . . 6 (β—‘(√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) β€œ {π‘₯}) = ((β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∘ β—‘βˆš) β€œ {π‘₯})
137 imaco 6249 . . . . . 6 ((β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∘ β—‘βˆš) β€œ {π‘₯}) = (β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) β€œ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}))
138136, 137eqtri 2758 . . . . 5 (β—‘(√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) β€œ {π‘₯}) = (β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) β€œ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}))
139 i1fima 25427 . . . . . 6 (((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) β€œ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯})) ∈ dom vol)
140127, 139syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) β€œ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯})) ∈ dom vol)
141138, 140eqeltrid 2835 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (β—‘(√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
142141adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
143138fveq2i 6893 . . . 4 (volβ€˜(β—‘(√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜(β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) β€œ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯})))
144 eldifsni 4792 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) βˆ– {0}) β†’ π‘₯ β‰  0)
145 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
146145elsn 4642 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ {π‘₯} ↔ 0 = π‘₯)
147 eqcom 2737 . . . . . . . . . . 11 (0 = π‘₯ ↔ π‘₯ = 0)
148146, 147bitri 274 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ {π‘₯} ↔ π‘₯ = 0)
149148necon3bbii 2986 . . . . . . . . 9 (Β¬ 0 ∈ {π‘₯} ↔ π‘₯ β‰  0)
150 sqrt0 15192 . . . . . . . . . 10 (βˆšβ€˜0) = 0
151150eleq1i 2822 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯} ↔ 0 ∈ {π‘₯})
152149, 151xchnxbir 332 . . . . . . . 8 (Β¬ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯} ↔ π‘₯ β‰  0)
153144, 152sylibr 233 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) βˆ– {0}) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯})
154153olcd 870 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) βˆ– {0}) β†’ (Β¬ 0 ∈ β„‚ ∨ Β¬ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯}))
155 ianor 978 . . . . . . 7 (Β¬ (0 ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯}) ↔ (Β¬ 0 ∈ β„‚ ∨ Β¬ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯}))
156 elpreima 7058 . . . . . . . 8 (√ Fn β„‚ β†’ (0 ∈ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯})))
15755, 105, 156mp2b 10 . . . . . . 7 (0 ∈ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯}))
158155, 157xchnxbir 332 . . . . . 6 (Β¬ 0 ∈ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}) ↔ (Β¬ 0 ∈ β„‚ ∨ Β¬ (βˆšβ€˜0) ∈ {π‘₯}))
159154, 158sylibr 233 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) βˆ– {0}) β†’ Β¬ 0 ∈ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}))
160 i1fima2 25428 . . . . 5 ((((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯})) β†’ (volβ€˜(β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) β€œ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
161127, 159, 160syl2an 594 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) β€œ (β—‘βˆš β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
162143, 161eqeltrid 2835 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
163103, 134, 142, 162i1fd 25430 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (√ ∘ ((𝐹 ∘f Β· 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f Β· 𝐺))) ∈ dom ∫1)
16460, 163eqeltrd 2831 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝐺))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253  2c2 12271  [,)cico 13330  β†‘cexp 14031  βˆšcsqrt 15184  abscabs 15185  volcvol 25212  βˆ«1citg1 25364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369
This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  36870  ftc1anclem8  36871
  Copyright terms: Public domain W3C validator