Theorem ftc1anclem3 37463

Description: Lemma for ftc1anc 37469- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem3	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	ffvelcdmda 7103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		i1ff 25719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5		absreim 15319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
6	2, 4, 5	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
7	6	anandirs 677	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
8	2	recnd 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 14173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))
10	4	recnd 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	sqvald 14173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
12	9, 11	oveqan12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
13	12	anandirs 677	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14	13	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
15	7, 14	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
16	15	mpteq2dva 5256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
17		ax-icn 11224	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		mulcl 11249	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
19	17, 10, 18	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
20		addcl 11247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
22	21	anandirs 677	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
23		reex 11256	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
25	2	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		ovexd 7465	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
27	1	feqmptd 6975	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	27	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
29	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
30	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5748	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
33	3	feqmptd 6975	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑥)))
34	29, 30, 4, 32, 33	offval2 7715	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
35	34	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
36	24, 25, 26, 28, 35	offval2 7715	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
37		absf 15363	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6975	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
40		fveq2 6905	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
41	22, 36, 39, 40	fmptco 7148	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))))
42	8, 8	mulcld 11291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
43	10, 10	mulcld 11291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
44		addcl 11247	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
46	45	anandirs 677	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
47	42	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
48	43	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
49	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50	49, 2, 2, 27, 27	offval2 7715	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
51	50	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
52	29, 4, 4, 33, 33	offval2 7715	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
53	52	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
54	24, 47, 48, 51, 53	offval2 7715	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
55		sqrtf 15389	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
57	56	feqmptd 6975	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
58		fveq2 6905	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
59	46, 54, 57, 58	fmptco 7148	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
60	16, 41, 59	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))))
61		elrege0 13495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
62		resqrtcl 15279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
63	61, 62	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
64	63	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6975	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
67	55, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
68	67	reseq1i 5990	. . . . . 6 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
69		rge0ssre 13497	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
70		ax-resscn 11222	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
71	69, 70	sstri 4001	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
72		resmpt 6051	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
74	68, 73	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
75	64, 74	fmptd 7133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
76		ge0addcl 13501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
77	76	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78		oveq12 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐹) → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐹 ∘f · 𝐹))
79	78	anidms 565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐹 ∘f · 𝐹))
80	79	feq1d 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
81		i1ff 25719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧:ℝ⟶ℝ)
82	81	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧‘𝑥) ∈ ℝ)
83	82, 82	remulcld 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	82	msqge0d 11839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)))
85		elrege0 13495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
86	83, 84, 85	sylanbrc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
87	86	fmpttd 7134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
88	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
89	81	feqmptd 6975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧‘𝑥)))
90	88, 82, 82, 89, 89	offval2 7715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
91	90	feq1d 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
92	87, 91	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
93	80, 92	vtoclga 3574	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
94	93	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
95		oveq12 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐺 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐺 ∘f · 𝐺))
96	95	anidms 565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧 ∘f · 𝑧) = (𝐺 ∘f · 𝐺))
97	96	feq1d 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧 ∘f · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
98	97, 92	vtoclga 3574	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
99	98	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
100		inidm 4230	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
101	77, 94, 99, 24, 24, 100	off 7713	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
102		fco2 6759	. . . 4 ⊢ (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
103	75, 101, 102	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
104		rnco 6268	. . . 4 ⊢ ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
105		ffn 6732	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
106	55, 105	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ Fn ℂ
107		readdcl 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
108	107	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109		remulcl 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
110	109	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
111	110, 1, 1, 49, 49, 100	off 7713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
112	111	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
113	109	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
114	113, 3, 3, 29, 29, 100	off 7713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
115	114	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
116	108, 112, 115, 24, 24, 100	off 7713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
117	116	frnd 6740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℝ)
118	117, 70	sstrdi 4004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℂ)
119		fnssres 6688	. . . . . . 7 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
120	106, 118, 119	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)))
121		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
122	121, 121	i1fmul 25739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
123	122	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
124		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
125	124, 124	i1fmul 25739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
126	125	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
127	123, 126	i1fadd 25738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
128		i1frn 25720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin)
129	127, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin)
130		fnfi 9223	. . . . . 6 ⊢ (((√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
131	120, 129, 130	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
132		rnfi 9389	. . . . 5 ⊢ ((√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
133	131, 132	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
134	104, 133	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ Fin)
135		cnvco 5896	. . . . . . 7 ⊢ ◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√)
136	135	imaeq1i 6071	. . . . . 6 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥})
137		imaco 6267	. . . . . 6 ⊢ ((◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
138	136, 137	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
139		i1fima 25721	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
140	127, 139	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
141	138, 140	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
142	141	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
143	138	fveq2i 6908	. . . 4 ⊢ (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})))
144		eldifsni 4802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
145		c0ex 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
146	145	elsn 4651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
147		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 0)
148	146, 147	bitri 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
149	148	necon3bbii 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
150		sqrt0 15267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
151	150	eleq1i 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
152	149, 151	xchnxbir 332	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
153	144, 152	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
154	153	olcd 872	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
155		ianor 979	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
156		elpreima 7076	. . . . . . . 8 ⊢ (√ Fn ℂ → (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
157	55, 105, 156	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
158	155, 157	xchnxbir 332	. . . . . 6 ⊢ (¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
159	154, 158	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}))
160		i1fima2 25722	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
161	127, 159, 160	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
162	143, 161	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
163	103, 134, 142, 162	i1fd 25724	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘f · 𝐹) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
164	60, 163	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘f + ((ℝ × {i}) ∘f · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  Vcvv 3472   ∖ cdif 3956   ⊆ wss 3959  {csn 4636   class class class wbr 5156   ↦ cmpt 5239   × cxp 5684  ^◡ccnv 5685  dom cdm 5686  ran crn 5687   ↾ cres 5688   “ cima 5689   ∘ ccom 5690   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7693  Fincfn 8982  ℂcc 11163  ℝcr 11164  0cc0 11165  ici 11167   + caddc 11168   · cmul 11170  +∞cpnf 11302   ≤ cle 11306  2c2 12329  [,)cico 13390  ↑cexp 14092  √csqrt 15259  abscabs 15260  volcvol 25506  ∫₁citg1 25658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-inf2 9691  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7695  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8742  df-map 8865  df-pm 8866  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-sup 9492  df-inf 9493  df-oi 9560  df-dju 9951  df-card 9989  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-q 12995  df-rp 13039  df-xadd 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13692  df-fl 13823  df-seq 14033  df-exp 14093  df-hash 14360  df-cj 15125  df-re 15126  df-im 15127  df-sqrt 15261  df-abs 15262  df-clim 15511  df-sum 15712  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25507  df-vol 25508  df-mbf 25662  df-itg1 25663

This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  37467  ftc1anclem8  37468