Theorem fcod 6732

Description: Composition of two mappings. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
fcod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fcod	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
2		fcod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
3		fco 6731	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is used by:  suppcoss  8209  mapen  9143  mapfienlem3  9381  mapfien  9382  cofsmo  10275  canthp1lem2  10666  gsumval3lem2  20039  psrass1lem  22154  mhmcompl  22343  selvvvval  22364  psdmplcl  22396  comet  24745  dvcobr  26180  wrdpmcl  33392  gsumpart  33511  elrgspnlem1  33690  1arithidomlem2  33954  1arithidom  33955  mplasclco  34034  mplvrpmlem  34061  mplvrpmfgalem  34062  mplvrpmga  34063  mplvrpmmhm  34064  mplvrpmrhm  34065  mplmonprod  34072  esplympl  34085  esplysply  34089  subfacp1lem5  35771  mapcod  43118  mhmcopsr  43434  chnsubseqword  47714  upgrimwlklem4  48824  itcovalendof  49607  fucoid  50282