Theorem fcod 6716

Description: Composition of two mappings. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
fcod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fcod	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
2		fcod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
3		fco 6715	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518

This theorem is referenced by:  suppcoss  8189  mapen  9111  mapfienlem3  9365  mapfien  9366  cofsmo  10229  canthp1lem2  10613  gsumval3lem2  19843  psrass1lem  21848  psdmplcl  22056  mhmcompl  22274  comet  24408  dvcobr  25856  wrdpmcl  32866  gsumpart  33004  elrgspnlem1  33200  1arithidomlem2  33514  1arithidom  33515  subfacp1lem5  35178  mapcod  42238  mhmcopsr  42544  selvvvval  42580  upgrimwlklem4  47904  itcovalendof  48662  fucoid  49341