Theorem fcod 6610

Description: Composition of two mappings. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
fcod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fcod	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
2		fcod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
3		fco 6608	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422

This theorem is referenced by:  suppcoss  7994  mapen  8877  mapfienlem3  9096  mapfien  9097  cofsmo  9956  canthp1lem2  10340  gsumval3lem2  19422  psrass1lem  21056  comet  23575  gsumpart  31217  subfacp1lem5  33046  metakunt33  40085  selvval2lem4  40154  itcovalendof  45903