Theorem fcod 6721

Description: Composition of two mappings. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
fcod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fcod	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
2		fcod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
3		fco 6720	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∘ ccom 5656  ⟶wf 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529

This theorem is referenced by:  suppcoss  8191  mapen  9117  mapfienlem3  9355  mapfien  9356  cofsmo  10241  canthp1lem2  10626  gsumval3lem2  19967  psrass1lem  22043  mhmcompl  22232  selvvvval  22253  psdmplcl  22285  comet  24631  dvcobr  26066  wrdpmcl  33171  gsumpart  33296  elrgspnlem1  33475  1arithidomlem2  33743  1arithidom  33744  mplasclco  33823  mplvrpmlem  33850  mplvrpmfgalem  33851  mplvrpmga  33852  mplvrpmmhm  33853  mplvrpmrhm  33854  mplmonprod  33861  esplympl  33874  esplysply  33878  subfacp1lem5  35547  mapcod  42871  mhmcopsr  43174  chnsubseqword  47452  upgrimwlklem4  48520  itcovalendof  49300  fucoid  49977