MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prds1 20346
Description: Value of the ring unity in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prds1.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prds1.i (𝜑𝐼𝑊)
prds1.s (𝜑𝑆𝑉)
prds1.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Ring)
Assertion
Ref Expression
prds1 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r𝑌))

Proof of Theorem prds1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . . 4 (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
2 prds1.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
3 prds1.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 mgpf 20275 . . . . 5 (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd
5 prds1.r . . . . 5 (𝜑𝑅:𝐼⟶Ring)
6 fco2 6774 . . . . 5 (((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟶Ring) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
74, 5, 6sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
81, 2, 3, 7prds0g 18806 . . 3 (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
9 eqidd 2741 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
10 prds1.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
11 eqid 2740 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
125ffnd 6748 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1310, 11, 1, 2, 3, 12prdsmgp 20178 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
1413simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
1513simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
1615oveqdr 7476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
179, 14, 16grpidpropd 18700 . . 3 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑌)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
188, 17eqtr4d 2783 . 2 (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑌)))
19 df-ur 20209 . . . 4 1r = (0g ∘ mulGrp)
2019coeq1i 5884 . . 3 (1r𝑅) = ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅)
21 coass 6296 . . 3 ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
2220, 21eqtri 2768 . 2 (1r𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
23 eqid 2740 . . 3 (1r𝑌) = (1r𝑌)
2411, 23ringidval 20210 . 2 (1r𝑌) = (0g‘(mulGrp‘𝑌))
2518, 22, 243eqtr4g 2805 1 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  cres 5702  ccom 5704  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  0gc0g 17499  Xscprds 17505  Mndcmnd 18772  mulGrpcmgp 20161  1rcur 20208  Ringcrg 20260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262
This theorem is referenced by:  pws1  20348
  Copyright terms: Public domain W3C validator