Theorem prds1 20135

Description: Value of the ring unity in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prds1.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prds1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prds1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prds1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)

Assertion

Ref	Expression
prds1	⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Proof of Theorem prds1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
2		prds1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prds1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		mgpf 20070	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd
5		prds1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
6		fco2 6744	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟶Ring) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
8	1, 2, 3, 7	prds0g 18658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
9		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
10		prds1.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
11		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
12	5	ffnd 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
13	10, 11, 1, 2, 3, 12	prdsmgp 20131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
14	13	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
15	13	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
16	15	oveqdr 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
17	9, 14, 16	grpidpropd 18580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑌)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
18	8, 17	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑌)))
19		df-ur 20004	. . . 4 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
20	19	coeq1i 5859	. . 3 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅)
21		coass 6264	. . 3 ⊢ ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
22	20, 21	eqtri 2760	. 2 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
23		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
24	11, 23	ringidval 20005	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘(mulGrp‘𝑌))
25	18, 22, 24	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384  X_scprds 17390  Mndcmnd 18624  mulGrpcmgp 19986  1_rcur 20003  Ringcrg 20055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057

This theorem is referenced by:  pws1  20137