Theorem prds1 20403

Description: Value of the ring unity in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prds1.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prds1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prds1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prds1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)

Assertion

Ref	Expression
prds1	⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Proof of Theorem prds1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
2		prds1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prds1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		mgpf 20329	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd
5		prds1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
6		fco2 6733	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟶Ring) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
7	4, 5, 6	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
8	1, 2, 3, 7	prds0g 18828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
9		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
10		prds1.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
12	5	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
13	10, 11, 1, 2, 3, 12	prdsmgp 20226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
14	13	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
15	13	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
16	15	oveqdr 7439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
17	9, 14, 16	grpidpropd 18719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑌)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
18	8, 17	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑌)))
19		df-ur 20263	. . . 4 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
20	19	coeq1i 5846	. . 3 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅)
21		coass 6268	. . 3 ⊢ ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
22	20, 21	eqtri 2792	. 2 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
23		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
24	11, 23	ringidval 20264	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘(mulGrp‘𝑌))
25	18, 22, 24	3eqtr4g 2829	1 ⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491  X_scprds 17497  Mndcmnd 18791  mulGrpcmgp 20215  1_rcur 20262  Ringcrg 20314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-prds 17499  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316

This theorem is referenced by:  pws1  20405