Theorem prds1 20258

Description: Value of the ring unity in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prds1.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prds1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prds1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prds1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)

Assertion

Ref	Expression
prds1	⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Proof of Theorem prds1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
2		prds1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prds1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		mgpf 20183	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd
5		prds1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
6		fco2 6688	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟶Ring) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
8	1, 2, 3, 7	prds0g 18696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
9		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
10		prds1.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
12	5	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
13	10, 11, 1, 2, 3, 12	prdsmgp 20086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
15	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
16	15	oveqdr 7386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
17	9, 14, 16	grpidpropd 18587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑌)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
18	8, 17	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑌)))
19		df-ur 20117	. . . 4 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
20	19	coeq1i 5808	. . 3 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅)
21		coass 6224	. . 3 ⊢ ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
22	20, 21	eqtri 2759	. 2 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
23		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
24	11, 23	ringidval 20118	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘(mulGrp‘𝑌))
25	18, 22, 24	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  X_scprds 17365  Mndcmnd 18659  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  Ringcrg 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170

This theorem is referenced by:  pws1  20260