Theorem prds1 20275

Description: Value of the ring unity in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prds1.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prds1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prds1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prds1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)

Assertion

Ref	Expression
prds1	⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Proof of Theorem prds1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
2		prds1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prds1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		mgpf 20200	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd
5		prds1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
6		fco2 6698	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟶Ring) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
7	4, 5, 6	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
8	1, 2, 3, 7	prds0g 18710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
9		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
10		prds1.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
12	5	ffnd 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
13	10, 11, 1, 2, 3, 12	prdsmgp 20103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
15	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
16	15	oveqdr 7398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
17	9, 14, 16	grpidpropd 18601	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑌)) = (0g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
18	8, 17	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑌)))
19		df-ur 20134	. . . 4 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
20	19	coeq1i 5818	. . 3 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅)
21		coass 6234	. . 3 ⊢ ((0g ∘ mulGrp) ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
22	20, 21	eqtri 2760	. 2 ⊢ (1r ∘ 𝑅) = (0g ∘ (mulGrp ∘ 𝑅))
23		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
24	11, 23	ringidval 20135	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘(mulGrp‘𝑌))
25	18, 22, 24	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → (1r ∘ 𝑅) = (1r‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↾ cres 5636   ∘ ccom 5638  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  0_gc0g 17373  X_scprds 17379  Mndcmnd 18673  mulGrpcmgp 20092  1_rcur 20133  Ringcrg 20185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-prds 17381  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187

This theorem is referenced by:  pws1  20277