Theorem fdiagfn 8833

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6725	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
3		elmapg 8781	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
5	2, 4	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
6		fdiagfn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	5, 6	fmptd 7062	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5624  ⟶wf 6490  (class class class)co 7362   ↑_m cmap 8768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8770

This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  18794