Theorem fdiagfn 8814

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6712	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
3		elmapg 8763	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
5	2, 4	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
6		fdiagfn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	5, 6	fmptd 7047	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  18739