MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdiagfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdiagfn 8187
Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fdiagfn.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
fdiagfn ((𝐵𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵𝑚 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fdiagfn
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6344 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵)
21adantl 475 . . 3 (((𝐵𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵)
3 elmapg 8153 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐼𝑊) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵))
43adantr 474 . . 3 (((𝐵𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵))
52, 4mpbird 249 . 2 (((𝐵𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
6 fdiagfn.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
75, 6fmptd 6648 1 ((𝐵𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵𝑚 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {csn 4398  cmpt 4965   × cxp 5353  wf 6131  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-map 8142
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17755
  Copyright terms: Public domain W3C validator