Theorem fdiagfn 8896

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6759	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
3		elmapg 8837	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
5	2, 4	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
6		fdiagfn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	5, 6	fmptd 7102	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4583   ↦ cmpt 5185   × cxp 5645  ⟶wf 6523  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8827

This theorem is used by:  pwsdiagmhm  18988