Theorem pwsdiagmhm 19020

Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Mnd)
2		pwsdiagmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsmnd 18959	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Mnd)
4		pwsdiagmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4	fvexi 6897	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6		pwsdiagmhm.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	6	fdiagfn 8911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
8	5, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
10	2, 4	pwsbas 17651	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
11	10	feq3d 6692	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌)))
12	9, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌))
13		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4, 14	mndcl 18924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
16	15	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17	16	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	6	fvdiagfn 8912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
19	13, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
20	6	fvdiagfn 8912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = (𝐼 × {𝑎}))
21	6	fvdiagfn 8912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
22	20, 21	oveqan12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
23	22	anandis 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
24	23	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
27	2, 4, 25	pwsdiagel 17662	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
28	27	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
29	2, 4, 25	pwsdiagel 17662	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
30	29	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
31		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
32	2, 25, 26, 13, 28, 30, 14, 31	pwsplusgval 17655	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
33		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
34		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
36		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
38	33, 35, 37	ofc12 7721	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
39	38	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
40	24, 32, 39	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
41	19, 40	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
42	41	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
43		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
44		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	4, 44	mndidcl 18932	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	6	fvdiagfn 8912	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
48	43, 46, 47	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
49	2, 44	pws0g 18960	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
50	48, 49	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))
51	12, 42, 50	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌)))
52		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
53	4, 25, 14, 31, 44, 52	ismhm 18973	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))))
54	1, 3, 51, 53	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∘_f cof 7689   ↑_m cmap 8840  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603   ↑_s cpws 17610  Mndcmnd 18916   MndHom cmhm 18969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971

This theorem is used by:  pwsdiagghm  19451  pwsdiagrhm  20852