Theorem pwsdiagmhm 17722

Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Mnd)
2		pwsdiagmhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsmnd 17678	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Mnd)
4	1, 3	jca 507	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd))
5		pwsdiagmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	fvexi 6447	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		pwsdiagmhm.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
8	7	fdiagfn 8168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼))
9	6, 8	mpan 681	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼))
10	9	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼))
11	2, 5	pwsbas 16500	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
12	11	feq3d 6265	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌)))
13	10, 12	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌))
14		simplr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16	5, 15	mndcl 17654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	adantlr 706	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19	7	fvdiagfn 8169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
20	14, 18, 19	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
21	7	fvdiagfn 8169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = (𝐼 × {𝑎}))
22	7	fvdiagfn 8169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
23	21, 22	oveqan12d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
24	23	anandis 668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25	24	adantll 705	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
26		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
27		simpll 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
28	2, 5, 26	pwsdiagel 16510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
29	28	adantrr 708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
30	2, 5, 26	pwsdiagel 16510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
31	30	adantrl 707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
32		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
33	2, 26, 27, 14, 29, 31, 15, 32	pwsplusgval 16503	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
34		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
35		vex 3417	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
37		vex 3417	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
39	34, 36, 38	ofc12 7182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
40	39	ad2antlr 718	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
41	25, 33, 40	3eqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
42	20, 41	eqtr4d 2864	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
43	42	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
44		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
45		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
46	5, 45	mndidcl 17661	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	46	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
48	7	fvdiagfn 8169	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
49	44, 47, 48	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
50	2, 45	pws0g 17679	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
51	49, 50	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))
52	13, 43, 51	3jca 1162	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌)))
53		eqid 2825	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
54	5, 26, 15, 32, 45, 53	ismhm 17690	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))))
55	4, 52, 54	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  Vcvv 3414  {csn 4397   ↦ cmpt 4952   × cxp 5340  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ∘_𝑓 cof 7155   ↑_𝑚 cmap 8122  Basecbs 16222  +_gcplusg 16305  0_gc0g 16453   ↑_s cpws 16460  Mndcmnd 17647   MndHom cmhm 17686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688

This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  18039  pwsdiagrhm  19169