Theorem pwsdiagmhm 18790

Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Mnd)
2		pwsdiagmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsmnd 18731	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Mnd)
4		pwsdiagmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6		pwsdiagmhm.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	6	fdiagfn 8831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
8	5, 7	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
10	2, 4	pwsbas 17441	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
11	10	feq3d 6647	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌)))
12	9, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌))
13		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4, 14	mndcl 18701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
16	15	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17	16	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	6	fvdiagfn 8832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
19	13, 17, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
20	6	fvdiagfn 8832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = (𝐼 × {𝑎}))
21	6	fvdiagfn 8832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
22	20, 21	oveqan12d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
23	22	anandis 679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
24	23	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
27	2, 4, 25	pwsdiagel 17452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
28	27	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
29	2, 4, 25	pwsdiagel 17452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
30	29	adantrl 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
32	2, 25, 26, 13, 28, 30, 14, 31	pwsplusgval 17445	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
33		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
34		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
36		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
38	33, 35, 37	ofc12 7654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
39	38	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
40	24, 32, 39	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
41	19, 40	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
42	41	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
43		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
44		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	4, 44	mndidcl 18708	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	6	fvdiagfn 8832	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
48	43, 46, 47	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
49	2, 44	pws0g 18732	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
50	48, 49	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))
51	12, 42, 50	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌)))
52		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
53	4, 25, 14, 31, 44, 52	ismhm 18744	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))))
54	1, 3, 51, 53	syl21anbrc 1346	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393   ↑_s cpws 17400  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742

This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  19210  pwsdiagrhm  20575