MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiagmhm 18844
Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiagmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagmhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiagmhm ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ Mnd)
2 pwsdiagmhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
32pwsmnd 18785 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ Mnd)
4 pwsdiagmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
54fvexi 6920 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
6 pwsdiagmhm.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
76fdiagfn 8930 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵m 𝐼))
85, 7mpan 690 . . . . 5 (𝐼𝑊𝐹:𝐵⟶(𝐵m 𝐼))
98adantl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵m 𝐼))
102, 4pwsbas 17532 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐵m 𝐼) = (Base‘𝑌))
1110feq3d 6723 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(𝐵m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌)))
129, 11mpbid 232 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌))
13 simplr 769 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐼𝑊)
14 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
154, 14mndcl 18755 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
16153expb 1121 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1716adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
186fvdiagfn 8931 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g𝑅)𝑏)}))
1913, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g𝑅)𝑏)}))
206fvdiagfn 8931 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) = (𝐼 × {𝑎}))
216fvdiagfn 8931 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2220, 21oveqan12d 7450 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑊𝑎𝐵) ∧ (𝐼𝑊𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
2322anandis 678 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
2423adantll 714 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
272, 4, 25pwsdiagel 17542 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑎𝐵) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
2827adantrr 717 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
292, 4, 25pwsdiagel 17542 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
3029adantrl 716 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
31 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝑌) = (+g𝑌)
322, 25, 26, 13, 28, 30, 14, 31pwsplusgval 17535 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎})(+g𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
33 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝑊𝐼𝑊)
34 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼𝑊𝑎 ∈ V)
36 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼𝑊𝑏 ∈ V)
3833, 35, 37ofc12 7727 . . . . . . 7 (𝐼𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g𝑅)𝑏)}))
3938ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g𝑅)𝑏)}))
4024, 32, 393eqtrd 2781 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g𝑅)𝑏)}))
4119, 40eqtr4d 2780 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)))
4241ralrimivva 3202 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)))
43 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
44 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
454, 44mndidcl 18762 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Mnd → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
4645adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
476fvdiagfn 8931 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
4843, 46, 47syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
492, 44pws0g 18786 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g𝑌))
5048, 49eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑌))
5112, 42, 503jca 1129 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑌)))
52 eqid 2737 . . 3 (0g𝑌) = (0g𝑌)
534, 25, 14, 31, 44, 52ismhm 18798 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑌)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑌))))
541, 3, 51, 53syl21anbrc 1345 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  s cpws 17491  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796
This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  19262  pwsdiagrhm  20607
  Copyright terms: Public domain W3C validator