Theorem pwsdiagmhm 18866

Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Mnd)
2		pwsdiagmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsmnd 18807	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Mnd)
4		pwsdiagmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4	fvexi 6934	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6		pwsdiagmhm.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	6	fdiagfn 8948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
8	5, 7	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
10	2, 4	pwsbas 17547	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
11	10	feq3d 6734	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌)))
12	9, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌))
13		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4, 14	mndcl 18780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
16	15	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17	16	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	6	fvdiagfn 8949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
19	13, 17, 18	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
20	6	fvdiagfn 8949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = (𝐼 × {𝑎}))
21	6	fvdiagfn 8949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
22	20, 21	oveqan12d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
23	22	anandis 677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
24	23	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
27	2, 4, 25	pwsdiagel 17557	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
28	27	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
29	2, 4, 25	pwsdiagel 17557	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
30	29	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
31		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
32	2, 25, 26, 13, 28, 30, 14, 31	pwsplusgval 17550	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
33		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
34		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
36		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
38	33, 35, 37	ofc12 7743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
39	38	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
40	24, 32, 39	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
41	19, 40	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
42	41	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
43		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
44		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	4, 44	mndidcl 18787	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	6	fvdiagfn 8949	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
48	43, 46, 47	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
49	2, 44	pws0g 18808	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
50	48, 49	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))
51	12, 42, 50	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌)))
52		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
53	4, 25, 14, 31, 44, 52	ismhm 18820	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))))
54	1, 3, 51, 53	syl21anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ↑_m cmap 8884  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499   ↑_s cpws 17506  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818

This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  19284  pwsdiagrhm  20635