MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss 8447
Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))

Proof of Theorem mapss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8423 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐴)
21adantl 482 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐴)
3 simplr 765 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐴𝐵)
42, 3fssd 6527 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐵)
5 simpll 763 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐵𝑉)
6 elmapex 8422 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
76simprd 496 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
87adantl 482 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
95, 8elmapd 8415 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
104, 9mpbird 258 . . 3 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶))
1110ex 413 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶)))
1211ssrdv 3977 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  Vcvv 3500  wss 3940  wf 6350  (class class class)co 7150  m cmap 8401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-map 8403
This theorem is referenced by:  mapdom1  8676  ssfin3ds  9746  ingru  10231  resspsrbas  20130  resspsradd  20131  resspsrmul  20132  plyss  24723  eulerpartlem1  31530  eulerpartlemn  31544  reprss  31793  poimirlem29  34807  poimirlem30  34808  poimirlem31  34809  poimirlem32  34810  poimir  34811  broucube  34812  diophrw  39240  diophin  39253  diophun  39254  eq0rabdioph  39257  eqrabdioph  39258  rabdiophlem1  39282  diophren  39294  k0004ss1  40385  ixpssmapc  41220  mapss2  41352  difmap  41354  inmap  41356  mapssbi  41360  iunmapss  41362  dvnprodlem2  42116  etransclem24  42428  etransclem25  42429  etransclem26  42430  etransclem28  42432  etransclem35  42439  etransclem37  42441  qndenserrnbllem  42464  qndenserrn  42469  hoissrrn  42716  hoissrrn2  42745  hspmbl  42796  opnvonmbllem2  42800  ovolval2lem  42810  ovolval2  42811  ovolval3  42814  ovolval4lem2  42817  ovnovollem3  42825  vonvolmbl  42828  smfmullem4  42954
  Copyright terms: Public domain W3C validator