Theorem mapss 8819

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8779	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 6674	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 8778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 8770	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶)))
12	11	ssrdv 3935	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ⟶wf 6483  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-map 8758

This theorem is referenced by:  mapdom1  9061  ssfin3ds  10227  ingru  10712  resspsrbas  21917  resspsradd  21918  resspsrmul  21919  plyss  26137  eulerpartlem1  34387  eulerpartlemn  34401  reprss  34637  poimirlem29  37695  poimirlem30  37696  poimirlem31  37697  poimirlem32  37698  poimir  37699  broucube  37700  diophrw  42857  diophin  42870  diophun  42871  eq0rabdioph  42874  eqrabdioph  42875  rabdiophlem1  42899  diophren  42911  k0004ss1  44249  ixpssmapc  45175  mapss2  45307  difmap  45309  inmap  45311  mapssbi  45315  iunmapss  45317  dvnprodlem2  46050  etransclem24  46361  etransclem25  46362  etransclem26  46363  etransclem28  46365  etransclem35  46372  etransclem37  46374  qndenserrnbllem  46397  qndenserrn  46402  hoissrrn  46652  hoissrrn2  46681  hspmbl  46732  opnvonmbllem2  46736  ovolval2lem  46746  ovolval2  46747  ovolval3  46750  ovolval4lem2  46753  ovnovollem3  46761  vonvolmbl  46764  smfmullem4  46897