MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss 8927
Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))

Proof of Theorem mapss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8887 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐴)
21adantl 481 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐴)
3 simplr 769 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐴𝐵)
42, 3fssd 6753 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐵)
5 simpll 767 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐵𝑉)
6 elmapex 8886 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
76simprd 495 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
87adantl 481 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
95, 8elmapd 8878 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
104, 9mpbird 257 . . 3 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶))
1110ex 412 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶)))
1211ssrdv 4000 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  wf 6558  (class class class)co 7430  m cmap 8864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-map 8866
This theorem is referenced by:  mapdom1  9180  ssfin3ds  10367  ingru  10852  resspsrbas  22011  resspsradd  22012  resspsrmul  22013  plyss  26252  eulerpartlem1  34348  eulerpartlemn  34362  reprss  34610  poimirlem29  37635  poimirlem30  37636  poimirlem31  37637  poimirlem32  37638  poimir  37639  broucube  37640  diophrw  42746  diophin  42759  diophun  42760  eq0rabdioph  42763  eqrabdioph  42764  rabdiophlem1  42788  diophren  42800  k0004ss1  44140  ixpssmapc  45012  mapss2  45147  difmap  45149  inmap  45151  mapssbi  45155  iunmapss  45157  dvnprodlem2  45902  etransclem24  46213  etransclem25  46214  etransclem26  46215  etransclem28  46217  etransclem35  46224  etransclem37  46226  qndenserrnbllem  46249  qndenserrn  46254  hoissrrn  46504  hoissrrn2  46533  hspmbl  46584  opnvonmbllem2  46588  ovolval2lem  46598  ovolval2  46599  ovolval3  46602  ovolval4lem2  46605  ovnovollem3  46613  vonvolmbl  46616  smfmullem4  46749
  Copyright terms: Public domain W3C validator