Theorem mapss 8883

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8843	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 6736	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 8834	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
11	10	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶)))
12	11	ssrdv 3989	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822

This theorem is referenced by:  mapdom1  9142  ssfin3ds  10325  ingru  10810  resspsrbas  21535  resspsradd  21536  resspsrmul  21537  plyss  25713  eulerpartlem1  33366  eulerpartlemn  33380  reprss  33629  poimirlem29  36517  poimirlem30  36518  poimirlem31  36519  poimirlem32  36520  poimir  36521  broucube  36522  diophrw  41497  diophin  41510  diophun  41511  eq0rabdioph  41514  eqrabdioph  41515  rabdiophlem1  41539  diophren  41551  k0004ss1  42902  ixpssmapc  43761  mapss2  43904  difmap  43906  inmap  43908  mapssbi  43912  iunmapss  43914  dvnprodlem2  44663  etransclem24  44974  etransclem25  44975  etransclem26  44976  etransclem28  44978  etransclem35  44985  etransclem37  44987  qndenserrnbllem  45010  qndenserrn  45015  hoissrrn  45265  hoissrrn2  45294  hspmbl  45345  opnvonmbllem2  45349  ovolval2lem  45359  ovolval2  45360  ovolval3  45363  ovolval4lem2  45366  ovnovollem3  45374  vonvolmbl  45377  smfmullem4  45510