Theorem mapss 8834

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8794	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 6691	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 8793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 8786	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
11	10	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶)))
12	11	ssrdv 3953	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913  ⟶wf 6497  (class class class)co 7362   ↑_m cmap 8772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774

This theorem is referenced by:  mapdom1  9093  ssfin3ds  10275  ingru  10760  resspsrbas  21421  resspsradd  21422  resspsrmul  21423  plyss  25597  eulerpartlem1  33056  eulerpartlemn  33070  reprss  33319  poimirlem29  36180  poimirlem30  36181  poimirlem31  36182  poimirlem32  36183  poimir  36184  broucube  36185  diophrw  41140  diophin  41153  diophun  41154  eq0rabdioph  41157  eqrabdioph  41158  rabdiophlem1  41182  diophren  41194  k0004ss1  42545  ixpssmapc  43404  mapss2  43547  difmap  43549  inmap  43551  mapssbi  43555  iunmapss  43557  dvnprodlem2  44308  etransclem24  44619  etransclem25  44620  etransclem26  44621  etransclem28  44623  etransclem35  44630  etransclem37  44632  qndenserrnbllem  44655  qndenserrn  44660  hoissrrn  44910  hoissrrn2  44939  hspmbl  44990  opnvonmbllem2  44994  ovolval2lem  45004  ovolval2  45005  ovolval3  45008  ovolval4lem2  45011  ovnovollem3  45019  vonvolmbl  45022  smfmullem4  45155