Theorem mapss 8839

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8798	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 6687	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 8797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 8789	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶)))
12	11	ssrdv 3941	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777

This theorem is referenced by:  mapdom1  9082  ssfin3ds  10252  ingru  10738  resspsrbas  21941  resspsradd  21942  resspsrmul  21943  plyss  26172  eulerpartlem1  34544  eulerpartlemn  34558  reprss  34794  poimirlem29  37894  poimirlem30  37895  poimirlem31  37896  poimirlem32  37897  poimir  37898  broucube  37899  diophrw  43110  diophin  43123  diophun  43124  eq0rabdioph  43127  eqrabdioph  43128  rabdiophlem1  43152  diophren  43164  k0004ss1  44501  ixpssmapc  45427  mapss2  45557  difmap  45559  inmap  45561  mapssbi  45565  iunmapss  45567  dvnprodlem2  46299  etransclem24  46610  etransclem25  46611  etransclem26  46612  etransclem28  46614  etransclem35  46621  etransclem37  46623  qndenserrnbllem  46646  qndenserrn  46651  hoissrrn  46901  hoissrrn2  46930  hspmbl  46981  opnvonmbllem2  46985  ovolval2lem  46995  ovolval2  46996  ovolval3  46999  ovolval4lem2  47002  ovnovollem3  47010  vonvolmbl  47013  smfmullem4  47146