MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss 8830
Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))

Proof of Theorem mapss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8790 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐴)
21adantl 483 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐴)
3 simplr 768 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐴𝐵)
42, 3fssd 6687 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐵)
5 simpll 766 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐵𝑉)
6 elmapex 8789 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
76simprd 497 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
87adantl 483 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
95, 8elmapd 8782 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
104, 9mpbird 257 . . 3 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶))
1110ex 414 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶)))
1211ssrdv 3951 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  wf 6493  (class class class)co 7358  m cmap 8768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8770
This theorem is referenced by:  mapdom1  9089  ssfin3ds  10271  ingru  10756  resspsrbas  21400  resspsradd  21401  resspsrmul  21402  plyss  25576  eulerpartlem1  33024  eulerpartlemn  33038  reprss  33287  poimirlem29  36153  poimirlem30  36154  poimirlem31  36155  poimirlem32  36156  poimir  36157  broucube  36158  diophrw  41125  diophin  41138  diophun  41139  eq0rabdioph  41142  eqrabdioph  41143  rabdiophlem1  41167  diophren  41179  k0004ss1  42511  ixpssmapc  43370  mapss2  43513  difmap  43515  inmap  43517  mapssbi  43521  iunmapss  43523  dvnprodlem2  44274  etransclem24  44585  etransclem25  44586  etransclem26  44587  etransclem28  44589  etransclem35  44596  etransclem37  44598  qndenserrnbllem  44621  qndenserrn  44626  hoissrrn  44876  hoissrrn2  44905  hspmbl  44956  opnvonmbllem2  44960  ovolval2lem  44970  ovolval2  44971  ovolval3  44974  ovolval4lem2  44977  ovnovollem3  44985  vonvolmbl  44988  smfmullem4  45121
  Copyright terms: Public domain W3C validator