Theorem mapss 8875

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8834	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 6713	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 8833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 8825	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
11	10	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶)))
12	11	ssrdv 3945	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ⟶wf 6521  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814

This theorem is referenced by:  mapdom1  9118  ssfin3ds  10302  ingru  10788  resspsrbas  22083  resspsradd  22084  resspsrmul  22085  plyss  26317  eulerpartlem1  34674  eulerpartlemn  34688  reprss  34921  poimirlem29  38160  poimirlem30  38161  poimirlem31  38162  poimirlem32  38163  poimir  38164  broucube  38165  diophrw  43352  diophin  43365  diophun  43366  eq0rabdioph  43369  eqrabdioph  43370  rabdiophlem1  43390  diophren  43402  k0004ss1  44739  ixpssmapc  45651  mapss2  45780  difmap  45781  inmap  45783  mapssbi  45787  iunmapss  45789  dvnprodlem2  46519  etransclem24  46830  etransclem25  46831  etransclem26  46832  etransclem28  46834  etransclem35  46841  etransclem37  46843  qndenserrnbllem  46866  qndenserrn  46871  hoissrrn  47121  hoissrrn2  47150  hspmbl  47201  opnvonmbllem2  47205  ovolval2lem  47215  ovolval2  47216  ovolval3  47219  ovolval4lem2  47222  ovnovollem3  47230  vonvolmbl  47233  smfmullem4  47366