Theorem fprg 7021

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3448	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3448	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐹 → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	anim12i 612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4		elex 3448	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐺 → 𝐶 ∈ V)
5		elex 3448	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐻 → 𝐷 ∈ V)
6	4, 5	anim12i 612	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
7		neeq1 3007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵))
8		opeq1 4809	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩)
9	8	preq1d 4680	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
10		preq1 4674	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → {𝐴, 𝐵} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵})
11	9, 10	feq12d 6584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}))
12	7, 11	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵 → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})))
13		neeq2 3008	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)))
14		opeq1 4809	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ = ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩)
15	14	preq2d 4681	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩})
16		preq2 4675	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)})
17	15, 16	feq12d 6584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → ({⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷}))
18	13, 17	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵 → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷})))
19		opeq2 4810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → ⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩ = ⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩)
20	19	preq1d 4680	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩})
21		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)})
22		preq1 4674	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → {𝐶, 𝐷} = {if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷})
23	20, 21, 22	feq123d 6585	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → ({⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷}))
24	23	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷})))
25		opeq2 4810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩ = ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩)
26	25	preq2d 4681	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩})
27		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)})
28		preq2 4675	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → {if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷} = {if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)})
29	26, 27, 28	feq123d 6585	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → ({⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)}))
30	29	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)})))
31		0ex 5234	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
32	31	elimel 4533	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
33	31	elimel 4533	. . . . 5 ⊢ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) ∈ V
34	31	elimel 4533	. . . . 5 ⊢ if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) ∈ V
35	31	elimel 4533	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) ∈ V
36	32, 33, 34, 35	fpr 7020	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)})
37	12, 18, 24, 30, 36	dedth4h 4525	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}))
38	3, 6, 37	syl2an 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}))
39	38	3impia 1115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  Vcvv 3430  ∅c0 4261  ifcif 4464  {cpr 4568  ⟨cop 4572  ⟶wf 6426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-br 5079  df-opab 5141  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434

This theorem is referenced by:  ftpg  7022  fpropnf1  7134  wrdlen2i  14636  umgr2v2e  27873  linds2eq  31554  fprmappr  45633  zlmodzxzel  45643  ldepspr  45766  zlmodzxzldeplem1  45793  2arymaptfo  45952  prelrrx2  46011  line2  46050  line2x  46052  line2y  46053