Theorem fprg 7099

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3452	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐹 → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	anim12i 619	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4		elex 3452	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐺 → 𝐶 ∈ V)
5		elex 3452	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐻 → 𝐷 ∈ V)
6	4, 5	anim12i 619	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
7		neeq1 2996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵))
8		opeq1 4805	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩)
9	8	preq1d 4672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
10		preq1 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → {𝐴, 𝐵} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵})
11	9, 10	feq12d 6644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}))
12	7, 11	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵 → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})))
13		neeq2 2997	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)))
14		opeq1 4805	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ = ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩)
15	14	preq2d 4673	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩})
16		preq2 4667	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)})
17	15, 16	feq12d 6644	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → ({⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷}))
18	13, 17	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ 𝐵 → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷})))
19		opeq2 4806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → ⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩ = ⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩)
20	19	preq1d 4672	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩})
21		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)})
22		preq1 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → {𝐶, 𝐷} = {if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷})
23	20, 21, 22	feq123d 6645	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → ({⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷}))
24	23	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), 𝐶⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{𝐶, 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷})))
25		opeq2 4806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩ = ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩)
26	25	preq2d 4673	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩} = {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩})
27		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)} = {if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)})
28		preq2 4667	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → {if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷} = {if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)})
29	26, 27, 28	feq123d 6645	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → ({⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷} ↔ {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)}))
30	29	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), 𝐷⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), 𝐷}) ↔ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)})))
31		0ex 5230	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
32	31	elimel 4525	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
33	31	elimel 4525	. . . . 5 ⊢ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) ∈ V
34	31	elimel 4525	. . . . 5 ⊢ if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅) ∈ V
35	31	elimel 4525	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅) ∈ V
36	32, 33, 34, 35	fpr 7098	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ≠ if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅) → {⟨if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅)⟩, ⟨if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)⟩}:{if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅), if(𝐵 ∈ V, 𝐵, ∅)}⟶{if(𝐶 ∈ V, 𝐶, ∅), if(𝐷 ∈ V, 𝐷, ∅)})
37	12, 18, 24, 30, 36	dedth4h 4517	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}))
38	3, 6, 37	syl2an 602	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷}))
39	38	3impia 1123	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431  ∅c0 4262  ifcif 4455  {cpr 4558  ⟨cop 4562  ⟶wf 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490

This theorem is referenced by:  ftpg  7100  fpropnf1  7212  wrdlen2i  14896  umgr2v2e  29613  linds2eq  33465  fprmappr  48844  zlmodzxzel  48854  ldepspr  48972  zlmodzxzldeplem1  48999  2arymaptfo  49153  prelrrx2  49212  line2  49251  line2x  49253  line2y  49254