Theorem funfvop 7050

Description: Ordered pair with function value. Part of Theorem 4.3(i) of [Monk1] p. 41. (Contributed by NM, 14-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
funfvop	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem funfvop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)
2		funopfvb 6940	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
3	1, 2	mpbii 236	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597  dom cdm 5663  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-fv 6549

This theorem is used by:  funfvbrb  7051  fvimacnv  7053  fnopfv  7075  fvelrn  7076  dff3  7100  fnsnbg  7169  fnsnbOLD  7171  funfvima3  7242  fprresex  8314  tfrlem9a  8380  fundmen  9036  adj1  32361  fgreu  33092