Theorem funfvop 7025

Description: Ordered pair with function value. Part of Theorem 4.3(i) of [Monk1] p. 41. (Contributed by NM, 14-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
funfvop	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem funfvop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)
2		funopfvb 6918	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
3	1, 2	mpbii 233	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4598  dom cdm 5641  Fun wfun 6508  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  funfvbrb  7026  fvimacnv  7028  fnopfv  7050  fvelrn  7051  dff3  7075  fnsnbg  7141  fnsnbOLD  7143  funfvima3  7213  fprresex  8292  tfrlem9a  8357  fundmen  9005  adj1  31869  fgreu  32603