HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adj1 30680
Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adj1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))

Proof of Theorem adj1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funadj 30633 . . . . . . 7 Fun adjโ„Ž
2 funfvop 6996 . . . . . . 7 ((Fun adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
31, 2mpan 689 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4 dfadj2 30632 . . . . . 6 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
53, 4eleqtrdi 2849 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))})
6 fvex 6851 . . . . . 6 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ V
7 feq1 6645 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
8 fveq1 6837 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘งโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
98oveq2d 7366 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
109eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
11102ralbidv 3211 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
127, 113anbi13d 1439 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
13 feq1 6645 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
14 fveq1 6837 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (๐‘คโ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
1514oveq1d 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
1615eqeq2d 2749 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
17162ralbidv 3211 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1813, 173anbi23d 1440 . . . . . . 7 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1912, 18opelopabg 5493 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ V) โ†’ (โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
206, 19mpan2 690 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
215, 20mpbid 231 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2221simp3d 1145 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
23 oveq1 7357 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
24 fveq2 6838 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))
2524oveq1d 7365 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ))
2623, 25eqeq12d 2754 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ)))
27 fveq2 6838 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐ต))
2827oveq2d 7366 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))
29 oveq2 7358 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))
3028, 29eqeq12d 2754 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
3126, 30rspc2v 3589 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
3222, 31syl5com 31 . 2 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
33323impib 1117 1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3063  Vcvv 3444  โŸจcop 4591  {copab 5166  dom cdm 5631  Fun wfun 6486  โŸถwf 6488  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   โ„‹chba 29666   ยทih csp 29669  adjโ„Žcado 29702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-hfvadd 29747  ax-hvcom 29748  ax-hvass 29749  ax-hv0cl 29750  ax-hvaddid 29751  ax-hfvmul 29752  ax-hvmulid 29753  ax-hvdistr2 29756  ax-hvmul0 29757  ax-hfi 29826  ax-his1 29829  ax-his2 29830  ax-his3 29831  ax-his4 29832
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-hvsub 29718  df-adjh 30596
This theorem is referenced by:  adj2  30681  adjadj  30683  hmopadj2  30688
  Copyright terms: Public domain W3C validator