HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adj1 31113
Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adj1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))

Proof of Theorem adj1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funadj 31066 . . . . . . 7 Fun adjโ„Ž
2 funfvop 7037 . . . . . . 7 ((Fun adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
31, 2mpan 688 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4 dfadj2 31065 . . . . . 6 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
53, 4eleqtrdi 2843 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))})
6 fvex 6892 . . . . . 6 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ V
7 feq1 6686 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
8 fveq1 6878 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘งโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
98oveq2d 7410 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
109eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
11102ralbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
127, 113anbi13d 1438 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
13 feq1 6686 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
14 fveq1 6878 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (๐‘คโ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
1514oveq1d 7409 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
1615eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
17162ralbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1813, 173anbi23d 1439 . . . . . . 7 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1912, 18opelopabg 5532 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ V) โ†’ (โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
206, 19mpan2 689 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
215, 20mpbid 231 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2221simp3d 1144 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
23 oveq1 7401 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
24 fveq2 6879 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))
2524oveq1d 7409 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ))
2623, 25eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ)))
27 fveq2 6879 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐ต))
2827oveq2d 7410 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))
29 oveq2 7402 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))
3028, 29eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
3126, 30rspc2v 3619 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
3222, 31syl5com 31 . 2 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
33323impib 1116 1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โŸจcop 4629  {copab 5204  dom cdm 5670  Fun wfun 6527  โŸถwf 6529  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7394   โ„‹chba 30099   ยทih csp 30102  adjโ„Žcado 30135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-hfvadd 30180  ax-hvcom 30181  ax-hvass 30182  ax-hv0cl 30183  ax-hvaddid 30184  ax-hfvmul 30185  ax-hvmulid 30186  ax-hvdistr2 30189  ax-hvmul0 30190  ax-hfi 30259  ax-his1 30262  ax-his2 30263  ax-his3 30264  ax-his4 30265
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-2 12259  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-hvsub 30151  df-adjh 31029
This theorem is referenced by:  adj2  31114  adjadj  31116  hmopadj2  31121
  Copyright terms: Public domain W3C validator