HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adj1 30761
Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adj1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))

Proof of Theorem adj1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funadj 30714 . . . . . . 7 Fun adjโ„Ž
2 funfvop 6997 . . . . . . 7 ((Fun adjโ„Ž โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
31, 2mpan 688 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4 dfadj2 30713 . . . . . 6 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
53, 4eleqtrdi 2848 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))})
6 fvex 6852 . . . . . 6 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ V
7 feq1 6646 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
8 fveq1 6838 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘งโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
98oveq2d 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
109eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
11102ralbidv 3210 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
127, 113anbi13d 1438 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
13 feq1 6646 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
14 fveq1 6838 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (๐‘คโ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
1514oveq1d 7368 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
1615eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
17162ralbidv 3210 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1813, 173anbi23d 1439 . . . . . . 7 (๐‘ค = (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โ†’ ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1912, 18opelopabg 5493 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ V) โ†’ (โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
206, 19mpan2 689 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (โŸจ๐‘‡, (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘งโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘คโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
215, 20mpbid 231 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2221simp3d 1144 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
23 oveq1 7360 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
24 fveq2 6839 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))
2524oveq1d 7368 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ))
2623, 25eqeq12d 2752 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ)))
27 fveq2 6839 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐ต))
2827oveq2d 7369 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))
29 oveq2 7361 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))
3028, 29eqeq12d 2752 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
3126, 30rspc2v 3588 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
3222, 31syl5com 31 . 2 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)))
33323impib 1116 1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  Vcvv 3443  โŸจcop 4590  {copab 5165  dom cdm 5631  Fun wfun 6487  โŸถwf 6489  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   โ„‹chba 29747   ยทih csp 29750  adjโ„Žcado 29783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-2 12212  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-hvsub 29799  df-adjh 30677
This theorem is referenced by:  adj2  30762  adjadj  30764  hmopadj2  30769
  Copyright terms: Public domain W3C validator