Theorem funiun 7150

Description: A function is a union of singletons of ordered pairs indexed by its domain. (Contributed by AV, 18-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
funiun	⊢ (Fun 𝐹 → 𝐹 = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝐹{⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩})

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6570	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		dffn5 6943	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3	1, 2	sylbb 222	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4		fvex 6898	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
5	4	dfmpt 7147	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝐹{⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩}
6	3, 5	eqtrdi 2812	1 ⊢ (Fun 𝐹 → 𝐹 = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝐹{⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  {csn 4584  ⟨cop 4590  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is used by:  funopsn  7151  funopsnOLD  7152