Theorem grimedgi 48412

Description: Graph isomorphisms map edges onto the corresponding edges. (Contributed by AV, 30-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimedg.i	⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
grimedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimedgi	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grimedgi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		grimedg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
3		grimedg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐻)
4	1, 2, 3	grimedg 48411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 ↔ ((𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑉)))
5		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸)
6	4, 5	biimtrdi 253	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Vtxcvtx 29065  Edgcedg 29116  UHGraphcuhgr 29125   GraphIso cgrim 48351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-grim 48354

This theorem is referenced by: (None)