Theorem grimedgi 48434

Description: Graph isomorphisms map edges onto the corresponding edges. (Contributed by AV, 30-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimedg.i	⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
grimedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimedgi	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grimedgi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		grimedg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
3		grimedg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐻)
4	1, 2, 3	grimedg 48433	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 ↔ ((𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑉)))
5		simpl 483	. 2 ⊢ (((𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸)
6	4, 5	biimtrdi 254	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   “ cima 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Vtxcvtx 29090  Edgcedg 29141  UHGraphcuhgr 29150   GraphIso cgrim 48373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-map 8772  df-edg 29142  df-uhgr 29152  df-grim 48376

This theorem is referenced by: (None)