Theorem grimedgi 47921

Description: Graph isomorphisms map edges onto the corresponding edges. (Contributed by AV, 30-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimedg.i	⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
grimedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimedgi	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grimedgi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		grimedg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
3		grimedg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐻)
4	1, 2, 3	grimedg 47920	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 ↔ ((𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑉)))
5		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸)
6	4, 5	biimtrdi 253	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐾 ∈ 𝐼 → (𝐹 “ 𝐾) ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Vtxcvtx 28959  Edgcedg 29010  UHGraphcuhgr 29019   GraphIso cgrim 47860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762  df-edg 29011  df-uhgr 29021  df-grim 47863

This theorem is referenced by: (None)