Theorem hstosum 32620

Description: Orthogonal sum property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstosum	⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem hstosum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstel2 32618	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐵)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘𝐵))))
2	1	simprd 501	1 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111   +_ℎ cva 31319   ·_ih csp 31321   C_ℋ cch 31328  ⊥cort 31329   ∨_ℋ chj 31332  CHStateschst 31362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-hilex 31398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8828  df-sh 31606  df-ch 31620  df-hst 32611

This theorem is used by:  hstoc  32621  hstpyth  32628