Theorem hstosum 32816

Description: Orthogonal sum property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstosum	⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem hstosum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstel2 32814	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐵)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘𝐵))))
2	1	simprd 501	1 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193   +_ℎ cva 31515   ·_ih csp 31517   C_ℋ cch 31524  ⊥cort 31525   ∨_ℋ chj 31528  CHStateschst 31558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-hilex 31594

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-map 8842  df-sh 31802  df-ch 31816  df-hst 32807

This theorem is used by:  hstoc  32817  hstpyth  32824