Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstpyth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstpyth 30015
 Description: Pythagorean property of a Hilbert-space-valued state for orthogonal vectors 𝐴 and 𝐵. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstpyth (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))

Proof of Theorem hstpyth
StepHypRef Expression
1 hstosum 30007 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))
21fveq2d 6665 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵))) = (norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵))))
32oveq1d 7164 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵)))↑2) = ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2))
4 hstcl 30003 . . . 4 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
54adantr 484 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
6 hstcl 30003 . . . 4 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
76ad2ant2r 746 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
8 hstorth 30006 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐵)) = 0)
9 normpyth 28931 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝐵) ∈ ℋ) → (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐵)) = 0 → ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2))))
1093impia 1114 . . 3 (((𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝐵) ∈ ℋ ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐵)) = 0) → ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
115, 7, 8, 10syl3anc 1368 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
123, 11eqtrd 2859 1 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535   + caddc 10538  2c2 11689  ↑cexp 13434   ℋchba 28705   +ℎ cva 28706   ·ih csp 28708  normℎcno 28709   Cℋ cch 28715  ⊥cort 28716   ∨ℋ chj 28719  CHStateschst 28749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hv0cl 28789  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-hnorm 28754  df-sh 28993  df-ch 29007  df-hst 29998 This theorem is referenced by:  hstle  30016
 Copyright terms: Public domain W3C validator