HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstorth 31977
Description: Orthogonality property of a Hilbert-space-valued state. This is a key feature distinguishing it from a real-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstorth (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โІ (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0)

Proof of Theorem hstorth
StepHypRef Expression
1 hstel2 31976 . 2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โІ (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))
21simpld 494 1 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โІ (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109   +โ„Ž cva 30677   ยทih csp 30679   Cโ„‹ cch 30686  โŠฅcort 30687   โˆจโ„‹ chj 30690  CHStateschst 30720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-hilex 30756
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-sh 30964  df-ch 30978  df-hst 31969
This theorem is referenced by:  hstnmoc  31980  hstpyth  31986  hstoh  31989  hst0  31990
  Copyright terms: Public domain W3C validator