HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstorth 32050
Description: Orthogonality property of a Hilbert-space-valued state. This is a key feature distinguishing it from a real-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstorth (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โІ (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0)

Proof of Theorem hstorth
StepHypRef Expression
1 hstel2 32049 . 2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โІ (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))
21simpld 493 1 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โІ (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3949  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146   +โ„Ž cva 30750   ยทih csp 30752   Cโ„‹ cch 30759  โŠฅcort 30760   โˆจโ„‹ chj 30763  CHStateschst 30793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-hilex 30829
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-sh 31037  df-ch 31051  df-hst 32042
This theorem is referenced by:  hstnmoc  32053  hstpyth  32059  hstoh  32062  hst0  32063
  Copyright terms: Public domain W3C validator