HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstel2 31737
Description: Properties of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstel2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))

Proof of Theorem hstel2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishst 31732 . . . 4 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
21simp3bi 1145 . . 3 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
32ad2antrr 722 . 2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
4 sseq1 4008 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ)))
5 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐ด))
65oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
76eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0))
8 fvoveq1 7436 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)))
95oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
108, 9eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
117, 10anbi12d 629 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
124, 11imbi12d 343 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
13 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) = (โŠฅโ€˜๐ต))
1413sseq2d 4015 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)))
15 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐ต))
1615oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)))
1716eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0))
18 oveq2 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ) = (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต))
1918fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)))
2015oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))
2119, 20eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))
2217, 21anbi12d 629 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))))
2314, 22imbi12d 343 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))))
2412, 23rspc2v 3623 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))))
2524com23 86 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))))
2625impr 453 . . 3 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))))
2726adantll 710 . 2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))))
283, 27mpd 15 1 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059   โŠ† wss 3949  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  1c1 11115   โ„‹chba 30437   +โ„Ž cva 30438   ยทih csp 30440  normโ„Žcno 30441   Cโ„‹ cch 30447  โŠฅcort 30448   โˆจโ„‹ chj 30451  CHStateschst 30481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-hilex 30517
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8826  df-sh 30725  df-ch 30739  df-hst 31730
This theorem is referenced by:  hstorth  31738  hstosum  31739
  Copyright terms: Public domain W3C validator