HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstel2 31203
Description: Properties of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstel2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))

Proof of Theorem hstel2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishst 31198 . . . 4 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
21simp3bi 1148 . . 3 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
32ad2antrr 725 . 2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
4 sseq1 3974 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ)))
5 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐ด))
65oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
76eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0))
8 fvoveq1 7385 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)))
95oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
108, 9eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
117, 10anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
124, 11imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
13 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) = (โŠฅโ€˜๐ต))
1413sseq2d 3981 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)))
15 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐ต))
1615oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)))
1716eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0))
18 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ) = (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต))
1918fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)))
2015oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))
2119, 20eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))
2217, 21anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))))
2314, 22imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))))
2412, 23rspc2v 3593 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))))
2524com23 86 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))))
2625impr 456 . . 3 ((๐ด โˆˆ Cโ„‹ โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))))
2726adantll 713 . 2 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต)))))
283, 27mpd 15 1 (((๐‘† โˆˆ CHStates โˆง ๐ด โˆˆ Cโ„‹ ) โˆง (๐ต โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐ด) ยทih (๐‘†โ€˜๐ต)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)) = ((๐‘†โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โŠ† wss 3915  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทih csp 29906  normโ„Žcno 29907   Cโ„‹ cch 29913  โŠฅcort 29914   โˆจโ„‹ chj 29917  CHStateschst 29947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-hilex 29983
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-sh 30191  df-ch 30205  df-hst 31196
This theorem is referenced by:  hstorth  31204  hstosum  31205
  Copyright terms: Public domain W3C validator