Theorem iccpartimp 48166

Description: Implications for a class being a partition. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iccpartimp	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartimp

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpart 48165	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
2		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝐼))
3		fvoveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
4	2, 3	breq12d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
5	4	rspccv 3578	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
7		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
8	6, 7	jctild 534	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
9	1, 8	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))))
10	9	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  ℕcn 12228  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  RePartciccp 48162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-iccp 48163

This theorem is referenced by:  iccpartgtprec  48169  iccpartipre  48170  iccpartiltu  48171  iccpartigtl  48172  iccpartlt  48173  iccpartgt  48176