Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccpartgt 46830
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the bounds are strictly ordered. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartgt (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗,𝑖   πœ‘,𝑗
Proof of Theorem iccpartgt
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21nnnn0d 12562 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 elnn0uz 12897 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
42, 3sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5 fzpred 13581 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0...𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)))
7 0p1e1 12364 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
87oveq1i 7426 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
109uneq2d 4156 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)) = ({0} βˆͺ (1...𝑀)))
116, 10eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = ({0} βˆͺ (1...𝑀)))
1211eleq2d 2811 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1...𝑀))))
13 elun 4141 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
14 velsn 4640 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1514orbi1i 911 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1613, 15bitri 274 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
17 fzisfzounsn 13776 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0...𝑀) = ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
184, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
1918eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀})))
20 elun 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 ∈ {𝑀}))
21 velsn 4640 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑀} ↔ 𝑗 = 𝑀)
2221orbi2i 910 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀))
2320, 22bitri 274 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀))
2419, 23bitrdi 286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀)))
25 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 0 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
26 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 0 < 𝑗) β†’ 0 < 𝑗)
2726gt0ne0d 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 0 < 𝑗) β†’ 𝑗 β‰  0)
28 fzo1fzo0n0 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 β‰  0))
2925, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 0 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (1..^𝑀))
30 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
311, 30iccpartigtl 46826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘—))
3332breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
3433rspcv 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
3529, 31, 34syl2imc 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 0 < 𝑗) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
3635expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ (0 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
3736impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (0 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
38 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ 0 < 𝑗))
39 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜0))
4039breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
4138, 40imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ (0 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
4237, 41imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
4342expd 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 β†’ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 = 0 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
451, 30iccpartlt 46827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
46 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
4739, 46breqan12rd 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 = 𝑀 ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
4845, 47imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 = 𝑀 ∧ 𝑖 = 0) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
4948a1dd 50 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 = 𝑀 ∧ 𝑖 = 0) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
5049ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑀 β†’ (𝑖 = 0 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
5144, 50jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀) β†’ (𝑖 = 0 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
5251com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 β†’ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
53 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
5453ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
5553peano2zd 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
5655ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
57 elfzoelz 13664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
59 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 < 𝑗)
6057, 53anim12ci 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€))
62 zltp1le 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
6459, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗)
6556, 58, 643jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((𝑖 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ ((𝑖 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
67 eluz2 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)))
691ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7030ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
71 1zzd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 1 ∈ β„€)
72 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
74 elfzle1 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑖)
75 elfzle1 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ 𝑖 ≀ π‘˜)
76 1red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ 1 ∈ ℝ)
77 elfzel1 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
7877zred 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
7972zred 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
80 letr 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((1 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜) β†’ 1 ≀ π‘˜))
8176, 78, 79, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ ((1 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜) β†’ 1 ≀ π‘˜))
8275, 81mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ (1 ≀ 𝑖 β†’ 1 ≀ π‘˜))
8374, 82syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ 1 ≀ π‘˜))
8483ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ 1 ≀ π‘˜))
8584imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 1 ≀ π‘˜)
86 eluz2 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ (1 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜))
8771, 73, 85, 86syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
88 elfzel2 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8988ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9089ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9179adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
9257zred 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
9392ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
9469nnred 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
95 elfzle2 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
9695adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
97 elfzolt2 13673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 < 𝑀)
9897ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ 𝑗 < 𝑀)
9991, 93, 94, 96, 98lelttrd 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ π‘˜ < 𝑀)
100 elfzo2 13667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1..^𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ < 𝑀))
10187, 90, 99, 100syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))
10269, 70, 101iccpartipre 46824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑗)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1031ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
10430ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
10557ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
106 fzoval 13665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (𝑖..^𝑗) = (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1)))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ (𝑖..^𝑗) = (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1)))
108 elfzo0le 13708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
109 0le1 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≀ 1
110 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
111 1red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ∈ ℝ)
11253zred 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
113 letr 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 𝑖) β†’ 0 ≀ 𝑖))
114110, 111, 112, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ ((0 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 𝑖) β†’ 0 ≀ 𝑖))
115109, 114mpani 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (1 ≀ 𝑖 β†’ 0 ≀ 𝑖))
11674, 115mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑖)
117108, 116anim12ci 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑗 ≀ 𝑀))
118117adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑗 ≀ 𝑀))
119 0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 0 ∈ β„€)
120 elfzoel2 13663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
121119, 120jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€))
122121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€))
123 ssfzo12bi 13759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((𝑖..^𝑗) βŠ† (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑗 ≀ 𝑀)))
12461, 122, 59, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((𝑖..^𝑗) βŠ† (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑗 ≀ 𝑀)))
125118, 124mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖..^𝑗) βŠ† (0..^𝑀))
126125adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ (𝑖..^𝑗) βŠ† (0..^𝑀))
127107, 126eqsstrrd 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑀))
128127sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))
129 iccpartimp 46820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
130103, 104, 128, 129syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
131130simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
13254, 68, 102, 131smonoord 46774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—))
133132exp31 418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
134133com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
135134ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
136 elfzuz 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
137136adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
13888adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
139 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
140 elfzo2 13667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀))
141137, 138, 139, 140syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
1421, 30iccpartiltu 46825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
143 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
144143breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
145144rspcv 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
146141, 142, 145syl2imc 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
147146expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
148147impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
149148imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑀 β†’ (((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
151 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑀 β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ 𝑖 < 𝑀))
152151anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑀 β†’ (((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 < 𝑗) ↔ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 < 𝑀)))
15346breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑀 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
154150, 152, 1533imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑀 β†’ (((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
155154exp4c 431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑀 β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
156135, 155jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
157156com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
15852, 157jaoi 855 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
159158com13 88 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑗 = 𝑀) β†’ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
16024, 159sylbid 239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
161160com3r 87 . . . . . 6 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
16216, 161sylbi 216 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
163162com12 32 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1...𝑀)) β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
16412, 163sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))))
165164imp32 417 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀))) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
166165ralrimivva 3191 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βˆͺ cun 3937   βŠ† wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑m cmap 8843  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  RePartciccp 46816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-iccp 46817
This theorem is referenced by:  icceuelpartlem  46838  iccpartnel  46841
  Copyright terms: Public domain W3C validator