Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartlt 44309
 Description: If there is a partition, then the lower bound is strictly less than the upper bound. Corresponds to fourierdlem11 43126 in GS's mathbox. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartlt (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))

Proof of Theorem iccpartlt
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 lbfzo0 13126 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
41, 3sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
5 iccpartimp 44302 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
61, 2, 4, 5syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
76simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
87adantl 485 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
9 fveq2 6658 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘1))
10 1e0p1 12179 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1110fveq2i 6661 . . . . . 6 (𝑃‘1) = (𝑃‘(0 + 1))
129, 11eqtrdi 2809 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
1312adantr 484 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
148, 13breqtrrd 5060 . . 3 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
1514ex 416 . 2 (𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
161, 2iccpartiltu 44307 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
171, 2iccpartigtl 44308 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
18 1nn 11685 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ)
201adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
21 df-ne 2952 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑀 = 1)
221nnge1d 11722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
23 1red 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
241nnred 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2523, 24ltlend 10823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1)))
2625biimprd 251 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1) → 1 < 𝑀))
2722, 26mpand 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ≠ 1 → 1 < 𝑀))
2821, 27syl5bir 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 1 < 𝑀))
2928imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 < 𝑀)
30 elfzo1 13136 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
3119, 20, 29, 30syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (1..^𝑀))
32 fveq2 6658 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘1))
3332breq2d 5044 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3433rspcv 3536 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3531, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3632breq1d 5042 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3736rspcv 3536 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3831, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
39 nnnn0 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 0elfz 13053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
411, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
421, 2, 41iccpartxr 44304 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
4342adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
442adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
45 1nn0 11950 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ0)
471, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4922adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ≤ 𝑀)
50 elfz2nn0 13047 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
5146, 48, 49, 50syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (0...𝑀))
5220, 44, 51iccpartxr 44304 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘1) ∈ ℝ*)
53 nn0fz0 13054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
5439, 53sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
561, 2, 55iccpartxr 44304 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
5756adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
58 xrlttr 12574 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘1) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
5943, 52, 57, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6059expcomd 420 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘1) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6138, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6261com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6335, 62syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6463ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6564com24 95 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6616, 17, 65mp2d 49 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6766com12 32 . 2 𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6815, 67pm2.61i 185 1 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8416  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  ...cfz 12939  ..^cfzo 13082  RePartciccp 44298 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-iccp 44299 This theorem is referenced by:  iccpartltu  44310  iccpartgtl  44311  iccpartgt  44312
 Copyright terms: Public domain W3C validator