Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccpartlt 46392
Description: If there is a partition, then the lower bound is strictly less than the upper bound. Corresponds to fourierdlem11 45134 in GS's mathbox. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartlt (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Proof of Theorem iccpartlt
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
3 lbfzo0 13677 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ β„•)
41, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
5 iccpartimp 46385 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
61, 2, 4, 5syl3anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
76simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
87adantl 481 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
9 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜1))
10 1e0p1 12724 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1110fveq2i 6895 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜1) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1))
129, 11eqtrdi 2787 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
1312adantr 480 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
148, 13breqtrrd 5177 . . 3 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
1514ex 412 . 2 (𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
161, 2iccpartiltu 46390 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
171, 2iccpartigtl 46391 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
18 1nn 12228 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ β„•)
201adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21 df-ne 2940 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 β‰  1 ↔ Β¬ 𝑀 = 1)
221nnge1d 12265 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
23 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
241nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2523, 24ltlend 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 < 𝑀 ↔ (1 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  1)))
2625biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  1) β†’ 1 < 𝑀))
2722, 26mpand 692 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 β‰  1 β†’ 1 < 𝑀))
2821, 27biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ 1 < 𝑀))
2928imp 406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 < 𝑀)
30 elfzo1 13687 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
3119, 20, 29, 30syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ (1..^𝑀))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜1))
3332breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3433rspcv 3609 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3531, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3632breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3736rspcv 3609 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3831, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
39 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
40 0elfz 13603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
411, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
421, 2, 41iccpartxr 46387 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
442adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
45 1nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ β„•0)
471, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4922adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ≀ 𝑀)
50 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑀))
5146, 48, 49, 50syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ (0...𝑀))
5220, 44, 51iccpartxr 46387 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ ℝ*)
53 nn0fz0 13604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5439, 53sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
561, 2, 55iccpartxr 46387 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
58 xrlttr 13124 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
5943, 52, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6059expcomd 416 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6138, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6261com23 86 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6335, 62syld 47 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6463ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
6564com24 95 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
6616, 17, 65mp2d 49 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6766com12 32 . 2 (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6815, 67pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  RePartciccp 46381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-iccp 46382
This theorem is referenced by:  iccpartltu  46393  iccpartgtl  46394  iccpartgt  46395
  Copyright terms: Public domain W3C validator