Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccpartlt 46082
Description: If there is a partition, then the lower bound is strictly less than the upper bound. Corresponds to fourierdlem11 44824 in GS's mathbox. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartlt (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Proof of Theorem iccpartlt
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
3 lbfzo0 13671 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ β„•)
41, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
5 iccpartimp 46075 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
61, 2, 4, 5syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
76simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
87adantl 482 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
9 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜1))
10 1e0p1 12718 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1110fveq2i 6894 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜1) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1))
129, 11eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
1312adantr 481 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
148, 13breqtrrd 5176 . . 3 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
1514ex 413 . 2 (𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
161, 2iccpartiltu 46080 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
171, 2iccpartigtl 46081 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
18 1nn 12222 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ β„•)
201adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21 df-ne 2941 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 β‰  1 ↔ Β¬ 𝑀 = 1)
221nnge1d 12259 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
23 1red 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
241nnred 12226 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2523, 24ltlend 11358 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 < 𝑀 ↔ (1 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  1)))
2625biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  1) β†’ 1 < 𝑀))
2722, 26mpand 693 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 β‰  1 β†’ 1 < 𝑀))
2821, 27biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ 1 < 𝑀))
2928imp 407 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 < 𝑀)
30 elfzo1 13681 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
3119, 20, 29, 30syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ (1..^𝑀))
32 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜1))
3332breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3433rspcv 3608 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3531, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3632breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3736rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3831, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
39 nnnn0 12478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
40 0elfz 13597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
411, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
421, 2, 41iccpartxr 46077 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
442adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
45 1nn0 12487 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ β„•0)
471, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4922adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ≀ 𝑀)
50 elfz2nn0 13591 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑀))
5146, 48, 49, 50syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ (0...𝑀))
5220, 44, 51iccpartxr 46077 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ ℝ*)
53 nn0fz0 13598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5439, 53sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
561, 2, 55iccpartxr 46077 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
58 xrlttr 13118 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
5943, 52, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6059expcomd 417 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6138, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6261com23 86 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6335, 62syld 47 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6463ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
6564com24 95 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
6616, 17, 65mp2d 49 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6766com12 32 . 2 (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6815, 67pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  RePartciccp 46071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-iccp 46072
This theorem is referenced by:  iccpartltu  46083  iccpartgtl  46084  iccpartgt  46085
  Copyright terms: Public domain W3C validator