Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartlt 47349
Description: If there is a partition, then the lower bound is strictly less than the upper bound. Corresponds to fourierdlem11 46074 in GS's mathbox. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartlt (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))

Proof of Theorem iccpartlt
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 lbfzo0 13736 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
41, 3sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
5 iccpartimp 47342 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
61, 2, 4, 5syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
76simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
87adantl 481 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
9 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘1))
10 1e0p1 12773 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1110fveq2i 6910 . . . . . 6 (𝑃‘1) = (𝑃‘(0 + 1))
129, 11eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
1312adantr 480 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
148, 13breqtrrd 5176 . . 3 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
1514ex 412 . 2 (𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
161, 2iccpartiltu 47347 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
171, 2iccpartigtl 47348 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
18 1nn 12275 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ)
201adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
21 df-ne 2939 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑀 = 1)
221nnge1d 12312 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
23 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
241nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2523, 24ltlend 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1)))
2625biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1) → 1 < 𝑀))
2722, 26mpand 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ≠ 1 → 1 < 𝑀))
2821, 27biimtrrid 243 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 1 < 𝑀))
2928imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 < 𝑀)
30 elfzo1 13749 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
3119, 20, 29, 30syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (1..^𝑀))
32 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘1))
3332breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3433rspcv 3618 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3531, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3632breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3736rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3831, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
39 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 0elfz 13661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
411, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
421, 2, 41iccpartxr 47344 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
442adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
45 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ0)
471, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4922adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ≤ 𝑀)
50 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
5146, 48, 49, 50syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (0...𝑀))
5220, 44, 51iccpartxr 47344 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘1) ∈ ℝ*)
53 nn0fz0 13662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
5439, 53sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
561, 2, 55iccpartxr 47344 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
58 xrlttr 13179 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘1) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
5943, 52, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6059expcomd 416 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘1) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6138, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6261com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6335, 62syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6463ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6564com24 95 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6616, 17, 65mp2d 49 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6766com12 32 . 2 𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6815, 67pm2.61i 182 1 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  RePartciccp 47338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-iccp 47339
This theorem is referenced by:  iccpartltu  47350  iccpartgtl  47351  iccpartgt  47352
  Copyright terms: Public domain W3C validator