Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartlt 45706
Description: If there is a partition, then the lower bound is strictly less than the upper bound. Corresponds to fourierdlem11 44449 in GS's mathbox. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartlt (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))

Proof of Theorem iccpartlt
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
3 lbfzo0 13621 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ β„•)
41, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
5 iccpartimp 45699 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
61, 2, 4, 5syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
76simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
87adantl 483 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
9 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜1))
10 1e0p1 12668 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1110fveq2i 6849 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜1) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1))
129, 11eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
1312adantr 482 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
148, 13breqtrrd 5137 . . 3 ((𝑀 = 1 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
1514ex 414 . 2 (𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
161, 2iccpartiltu 45704 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
171, 2iccpartigtl 45705 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
18 1nn 12172 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ β„•)
201adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21 df-ne 2941 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 β‰  1 ↔ Β¬ 𝑀 = 1)
221nnge1d 12209 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
23 1red 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
241nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2523, 24ltlend 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 < 𝑀 ↔ (1 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  1)))
2625biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  1) β†’ 1 < 𝑀))
2722, 26mpand 694 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 β‰  1 β†’ 1 < 𝑀))
2821, 27biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ 1 < 𝑀))
2928imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 < 𝑀)
30 elfzo1 13631 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
3119, 20, 29, 30syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ (1..^𝑀))
32 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜1))
3332breq2d 5121 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3433rspcv 3579 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3531, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1)))
3632breq1d 5119 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3736rspcv 3579 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (1..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3831, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
39 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
40 0elfz 13547 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
411, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
421, 2, 41iccpartxr 45701 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
442adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
45 1nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ β„•0)
471, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4922adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ≀ 𝑀)
50 elfz2nn0 13541 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑀))
5146, 48, 49, 50syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 1 ∈ (0...𝑀))
5220, 44, 51iccpartxr 45701 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ ℝ*)
53 nn0fz0 13548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5439, 53sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
561, 2, 55iccpartxr 45701 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
58 xrlttr 13068 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
5943, 52, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6059expcomd 418 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6138, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6261com23 86 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6335, 62syld 47 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
6463ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
6564com24 95 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
6616, 17, 65mp2d 49 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6766com12 32 . 2 (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
6815, 67pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by:  iccpartltu  45707  iccpartgtl  45708  iccpartgt  45709
  Copyright terms: Public domain W3C validator