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Theorem iccpartiltu 42954
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartiltu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartiltu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 ral0 4333 . . . . 5 𝑖 ∈ ∅ (𝑃𝑖) < (𝑃‘1)
3 oveq2 6978 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = (1..^1))
4 fzo0 12870 . . . . . . 7 (1..^1) = ∅
53, 4syl6eq 2824 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = ∅)
6 fveq2 6493 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘1))
76breq2d 4935 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃‘1)))
85, 7raleqbidv 3335 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑃𝑖) < (𝑃‘1)))
92, 8mpbiri 250 . . . 4 (𝑀 = 1 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
1092a1d 26 . . 3 (𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))))
11 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
12 iccpartgtprec.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
1312adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
1413adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
15 nnnn0 11709 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0fz0 12815 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
1715, 16sylib 210 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1817adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1911, 14, 18iccpartxr 42951 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
20 elxr 12322 . . . . . . 7 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ↔ ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞))
21 elfzoelz 12848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
2221ad2antll 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑖 ∈ ℤ)
23 elfzo2 12851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀))
24 eluzelz 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → 𝑖 ∈ ℤ)
2524peano2zd 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
26253ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
27 simp2 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 zltp1le 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀))
2924, 28sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀))
3029biimp3a 1448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
31 eluz2 12058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀))
3226, 27, 30, 31syl3anbrc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)))
3323, 32sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)))
3433ad2antll 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)))
35 fveq2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑀))
3635eqcomd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑘))
3736eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
3837biimpcd 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ → (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
3938adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
4039adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑀 → ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
4211adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4342adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
4443adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4544adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
4614adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4746adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4847adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4948adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
50 elfz2 12709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)))
51 eluz2 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑖))
52 1red 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
53 zre 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5453adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
55 zre 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
5655adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
57 letr 10528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑖𝑖𝑘) → 1 ≤ 𝑘))
5852, 54, 56, 57syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑖𝑖𝑘) → 1 ≤ 𝑘))
5958expcomd 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑖𝑘 → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘)))
6059adantrd 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖𝑘𝑘𝑀) → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘)))
61603adant2 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖𝑘𝑘𝑀) → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘)))
6261imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘))
6362com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (1 ≤ 𝑖 → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
64633ad2ant3 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑖) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
6551, 64sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
66653ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
6723, 66sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
6850, 67syl5bi 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 1 ≤ 𝑘))
6968imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → 1 ≤ 𝑘)
70693adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 1 ≤ 𝑘)
71 zre 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7271, 55anim12ci 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
73723adant1 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
74 ltlen 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
76 nesym 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = 𝑀)
7776anbi2i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑘𝑀𝑀𝑘) ↔ (𝑘𝑀 ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀))
7875, 77syl6rbb 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑀 ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) ↔ 𝑘 < 𝑀))
7978biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑀 ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))
8079expd 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝑀 → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀)))
8180adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖𝑘𝑘𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀)))
8281imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀))
8350, 82sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀))
8483imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
85843adant1 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
8670, 85jca 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → (1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑀))
87 elfzelz 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
88 1zzd 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 1 ∈ ℤ)
89 elfzel2 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9087, 88, 893jca 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
91903ad2ant2 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
92 elfzo 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑀)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → (𝑘 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑀)))
9486, 93mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
95943exp 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (1..^𝑀))))
9695ad2antll 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (1..^𝑀))))
9796imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (1..^𝑀)))
9897impcom 399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
9945, 49, 98iccpartipre 42953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
10099ex 405 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 = 𝑀 → ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
10141, 100pm2.61i 177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
10243adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
10347adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
104 1eluzge0 12100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ (ℤ‘0)
105 fzoss1 12873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
106104, 105mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
107 elfzoel2 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
108 fzoval 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑖..^𝑀) = (𝑖...(𝑀 − 1)))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑖..^𝑀) = (𝑖...(𝑀 − 1)))
110109eqcomd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑖...(𝑀 − 1)) = (𝑖..^𝑀))
111110eleq2d 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑖..^𝑀)))
112 elfzouz 12852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
113 fzoss1 12873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑖..^𝑀) ⊆ (1..^𝑀))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑖..^𝑀) ⊆ (1..^𝑀))
115114sseld 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖..^𝑀) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)))
116111, 115sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)))
117116imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
118106, 117sseldd 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
119118ex 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
120119ad2antll 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
121120imp 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
122 iccpartimp 42949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
123102, 103, 121, 122syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
124123simprd 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
12522, 34, 101, 124smonoord 42937 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
126125ex 405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
127 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
12842, 46, 127iccpartipre 42953 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
129 ltpnf 12326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑖) ∈ ℝ → (𝑃𝑖) < +∞)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < +∞)
131 breq2 4927 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑀) = +∞ → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < +∞))
132130, 131syl5ibr 238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑀) = +∞ → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
13342adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
13446adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
135 elfzofz 12863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (1...𝑀))
136135ad2antll 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑖 ∈ (1...𝑀))
137 elfzubelfz 12729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
139133, 134, 138iccpartgtprec 42952 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀))
140 breq2 4927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞ = (𝑃𝑀) → ((𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞ ↔ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀)))
141140eqcoms 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑀) = -∞ → ((𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞ ↔ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀)))
142141adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞ ↔ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀)))
143139, 142mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞)
14415adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
145144adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
146 nnne0 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
147146adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
148 df-ne 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑀 = 1)
149148biimpri 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑀 = 1 → 𝑀 ≠ 1)
150149adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ≠ 1)
151150adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 1)
152144, 147, 1513jca 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 1))
153152adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 1))
154 nn0n0n1ge2 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑀)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 2 ≤ 𝑀)
156145, 155jca 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑀))
157156adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑀))
158 ige2m1fz 12807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 1) ∈ (0...𝑀))
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ (0...𝑀))
160133, 134, 159iccpartxr 42951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃‘(𝑀 − 1)) ∈ ℝ*)
161 nltmnf 12335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃‘(𝑀 − 1)) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞)
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → ¬ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞)
163143, 162pm2.21dd 187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
164163ex 405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑀) = -∞ → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
165126, 132, 1643jaoi 1407 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
166165impl 448 . . . . . . . . 9 (((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) ∧ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
167166ralrimiva 3126 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) ∧ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
168167ex 405 . . . . . . 7 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) → (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
16920, 168sylbi 209 . . . . . 6 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ* → (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
17019, 169mpcom 38 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
171170ex 405 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
172171expcom 406 . . 3 𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))))
17310, 172pm2.61i 177 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
1741, 173mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3o 1067  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wral 3082  wss 3823  c0 4172   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑚 cmap 8200  cr 10328  0cc0 10329  1c1 10330   + caddc 10332  +∞cpnf 10465  -∞cmnf 10466  *cxr 10467   < clt 10468  cle 10469  cmin 10664  cn 11433  2c2 11489  0cn0 11701  cz 11787  cuz 12052  ...cfz 12702  ..^cfzo 12843  RePartciccp 42945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-iccp 42946
This theorem is referenced by:  iccpartlt  42956  iccpartltu  42957  iccpartgt  42959
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