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Theorem iccpartiltu 45604
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartiltu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartiltu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 ral0 4470 . . . . 5 𝑖 ∈ ∅ (𝑃𝑖) < (𝑃‘1)
3 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = (1..^1))
4 fzo0 13596 . . . . . . 7 (1..^1) = ∅
53, 4eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = ∅)
6 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘1))
76breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃‘1)))
85, 7raleqbidv 3319 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑃𝑖) < (𝑃‘1)))
92, 8mpbiri 257 . . . 4 (𝑀 = 1 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
1092a1d 26 . . 3 (𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))))
11 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
12 iccpartgtprec.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
1413adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
15 nnnn0 12420 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0fz0 13539 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1817adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1911, 14, 18iccpartxr 45601 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
20 elxr 13037 . . . . . . 7 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ↔ ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞))
21 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
2221ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑖 ∈ ℤ)
23 elfzo2 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀))
24 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → 𝑖 ∈ ℤ)
2524peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
26253ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
27 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀))
2924, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀))
3029biimp3a 1469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
31 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀))
3226, 27, 30, 31syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)))
3323, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)))
3433ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 1)))
35 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑀))
3635eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑘))
3736eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
3837biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ → (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑘 = 𝑀 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑀 → ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
4211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
4614adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
50 elfz2 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)))
51 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑖))
52 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
53 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
55 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
57 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑖𝑖𝑘) → 1 ≤ 𝑘))
5852, 54, 56, 57syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑖𝑖𝑘) → 1 ≤ 𝑘))
5958expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑖𝑘 → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘)))
6059adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖𝑘𝑘𝑀) → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘)))
61603adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖𝑘𝑘𝑀) → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘)))
6261imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → (1 ≤ 𝑖 → 1 ≤ 𝑘))
6362com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (1 ≤ 𝑖 → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
64633ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑖) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
6551, 64sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
66653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
6723, 66sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘))
6850, 67biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 1 ≤ 𝑘))
6968imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → 1 ≤ 𝑘)
70693adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 1 ≤ 𝑘)
71 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7271, 55anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
73723adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
74 ltlen 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
76 nesym 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = 𝑀)
7776anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑘𝑀𝑀𝑘) ↔ (𝑘𝑀 ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀))
7875, 77bitr2di 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑀 ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) ↔ 𝑘 < 𝑀))
7978biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑀 ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))
8079expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝑀 → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀)))
8180adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖𝑘𝑘𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀)))
8281imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑖𝑘𝑘𝑀)) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀))
8350, 82sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 < 𝑀))
8483imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
85843adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
8670, 85jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → (1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑀))
87 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
88 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 1 ∈ ℤ)
89 elfzel2 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9087, 88, 893jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
91903ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
92 elfzo 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑀)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → (𝑘 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑀)))
9486, 93mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑀) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
95943exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (1..^𝑀))))
9695ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑘 ∈ (𝑖...𝑀) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (1..^𝑀))))
9796imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (¬ 𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (1..^𝑀)))
9897impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
9945, 49, 98iccpartipre 45603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑘 = 𝑀 ∧ (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
10099ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 = 𝑀 → ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
10141, 100pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...𝑀)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
10243adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
10347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
104 1eluzge0 12817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ (ℤ‘0)
105 fzoss1 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
106104, 105mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
107 elfzoel2 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
108 fzoval 13573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑖..^𝑀) = (𝑖...(𝑀 − 1)))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑖..^𝑀) = (𝑖...(𝑀 − 1)))
110109eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑖...(𝑀 − 1)) = (𝑖..^𝑀))
111110eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑖..^𝑀)))
112 elfzouz 13576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
113 fzoss1 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑖..^𝑀) ⊆ (1..^𝑀))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑖..^𝑀) ⊆ (1..^𝑀))
115114sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖..^𝑀) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)))
116111, 115sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)))
117116imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
118106, 117sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
119118ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
120119ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
121120imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
122 iccpartimp 45599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
123102, 103, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
124123simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑖...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
12522, 34, 101, 124smonoord 45553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
126125ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
127 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
12842, 46, 127iccpartipre 45603 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
129 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑖) ∈ ℝ → (𝑃𝑖) < +∞)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < +∞)
131 breq2 5109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑀) = +∞ → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < +∞))
132130, 131syl5ibr 245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑀) = +∞ → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
13342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
13446adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
135 elfzofz 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (1...𝑀))
136135ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑖 ∈ (1...𝑀))
137 elfzubelfz 13453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
139133, 134, 138iccpartgtprec 45602 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀))
140 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞ = (𝑃𝑀) → ((𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞ ↔ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀)))
141140eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑀) = -∞ → ((𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞ ↔ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀)))
142141adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞ ↔ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < (𝑃𝑀)))
143139, 142mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞)
14415adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
146 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
148 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑀 = 1)
149148biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑀 = 1 → 𝑀 ≠ 1)
150149adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ≠ 1)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 1)
152144, 147, 1513jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 1))
153152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 1))
154 nn0n0n1ge2 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑀)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 2 ≤ 𝑀)
156145, 155jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑀))
157156adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑀))
158 ige2m1fz 13531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 1) ∈ (0...𝑀))
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ (0...𝑀))
160133, 134, 159iccpartxr 45601 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃‘(𝑀 − 1)) ∈ ℝ*)
161 nltmnf 13050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃‘(𝑀 − 1)) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞)
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → ¬ (𝑃‘(𝑀 − 1)) < -∞)
163143, 162pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑀) = -∞ ∧ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
164163ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑀) = -∞ → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
165126, 132, 1643jaoi 1427 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
166165impl 456 . . . . . . . . 9 (((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) ∧ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
167166ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) ∧ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
168167ex 413 . . . . . . 7 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∨ (𝑃𝑀) = +∞ ∨ (𝑃𝑀) = -∞) → (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
16920, 168sylbi 216 . . . . . 6 ((𝑃𝑀) ∈ ℝ* → (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
17019, 169mpcom 38 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
171170ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
172171expcom 414 . . 3 𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))))
17310, 172pm2.61i 182 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
1741, 173mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  RePartciccp 45595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-iccp 45596
This theorem is referenced by:  iccpartlt  45606  iccpartltu  45607  iccpartgt  45609
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