Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | iccpartgtprec.m |
. 2
β’ (π β π β β) |
2 | | ral0 4475 |
. . . . 5
β’
βπ β
β
(πβπ) < (πβ1) |
3 | | oveq2 7370 |
. . . . . . 7
β’ (π = 1 β (1..^π) = (1..^1)) |
4 | | fzo0 13603 |
. . . . . . 7
β’ (1..^1) =
β
|
5 | 3, 4 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
β’ (π = 1 β (1..^π) = β
) |
6 | | fveq2 6847 |
. . . . . . 7
β’ (π = 1 β (πβπ) = (πβ1)) |
7 | 6 | breq2d 5122 |
. . . . . 6
β’ (π = 1 β ((πβπ) < (πβπ) β (πβπ) < (πβ1))) |
8 | 5, 7 | raleqbidv 3322 |
. . . . 5
β’ (π = 1 β (βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ) β βπ β β
(πβπ) < (πβ1))) |
9 | 2, 8 | mpbiri 258 |
. . . 4
β’ (π = 1 β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ)) |
10 | 9 | 2a1d 26 |
. . 3
β’ (π = 1 β (π β (π β β β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ)))) |
11 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β π β β) |
12 | | iccpartgtprec.p |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β (RePartβπ)) |
13 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ Β¬ π = 1) β π β (RePartβπ)) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β π β (RePartβπ)) |
15 | | nnnn0 12427 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β π β
β0) |
16 | | nn0fz0 13546 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β0
β π β (0...π)) |
17 | 15, 16 | sylib 217 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β π β (0...π)) |
18 | 17 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β π β (0...π)) |
19 | 11, 14, 18 | iccpartxr 45685 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β (πβπ) β
β*) |
20 | | elxr 13044 |
. . . . . . 7
β’ ((πβπ) β β* β ((πβπ) β β β¨ (πβπ) = +β β¨ (πβπ) = -β)) |
21 | | elfzoelz 13579 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (1..^π) β π β β€) |
22 | 21 | ad2antll 728 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β β€) |
23 | | elfzo2 13582 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (1..^π) β (π β (β€β₯β1)
β§ π β β€
β§ π < π)) |
24 | | eluzelz 12780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β
(β€β₯β1) β π β β€) |
25 | 24 | peano2zd 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(β€β₯β1) β (π + 1) β β€) |
26 | 25 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β
(β€β₯β1) β§ π β β€ β§ π < π) β (π + 1) β β€) |
27 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β
(β€β₯β1) β§ π β β€ β§ π < π) β π β β€) |
28 | | zltp1le 12560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π < π β (π + 1) β€ π)) |
29 | 24, 28 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β
(β€β₯β1) β§ π β β€) β (π < π β (π + 1) β€ π)) |
30 | 29 | biimp3a 1470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β
(β€β₯β1) β§ π β β€ β§ π < π) β (π + 1) β€ π) |
31 | | eluz2 12776 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β ((π + 1) β β€ β§ π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) |
32 | 26, 27, 30, 31 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β
(β€β₯β1) β§ π β β€ β§ π < π) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
33 | 23, 32 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (1..^π) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
34 | 33 | ad2antll 728 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
35 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
36 | 35 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
37 | 36 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β ((πβπ) β β β (πβπ) β β)) |
38 | 37 | biimpcd 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((πβπ) β β β (π = π β (πβπ) β β)) |
39 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (π = π β (πβπ) β β)) |
40 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π)) β (π = π β (πβπ) β β)) |
41 | 40 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) β β)) |
42 | 11 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β π β β) |
43 | 42 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β β) |
44 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π)) β π β β) |
45 | 44 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((Β¬
π = π β§ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π))) β π β β) |
46 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β π β (RePartβπ)) |
47 | 46 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β (RePartβπ)) |
48 | 47 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π)) β π β (RePartβπ)) |
49 | 48 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((Β¬
π = π β§ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π))) β π β (RePartβπ)) |
50 | | elfz2 13438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (π...π) β ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π))) |
51 | | eluz2 12776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β
(β€β₯β1) β (1 β β€ β§ π β β€ β§ 1 β€
π)) |
52 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β 1 β
β) |
53 | | zre 12510 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β β€ β π β
β) |
54 | 53 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β π β
β) |
55 | | zre 12510 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β β€ β π β
β) |
56 | 55 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β π β
β) |
57 | | letr 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((1
β β β§ π
β β β§ π
β β) β ((1 β€ π β§ π β€ π) β 1 β€ π)) |
58 | 52, 54, 56, 57 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β ((1 β€
π β§ π β€ π) β 1 β€ π)) |
59 | 58 | expcomd 418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β€ π β (1 β€ π β 1 β€ π))) |
60 | 59 | adantrd 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (1 β€ π β 1 β€ π))) |
61 | 60 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (1 β€ π β 1 β€ π))) |
62 | 61 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β (1 β€ π β 1 β€ π)) |
63 | 62 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (1 β€
π β (((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β 1 β€ π)) |
64 | 63 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((1
β β€ β§ π
β β€ β§ 1 β€ π) β (((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β 1 β€ π)) |
65 | 51, 64 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β
(β€β₯β1) β (((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β 1 β€ π)) |
66 | 65 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β
(β€β₯β1) β§ π β β€ β§ π < π) β (((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β 1 β€ π)) |
67 | 23, 66 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (1..^π) β (((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β 1 β€ π)) |
68 | 50, 67 | biimtrid 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (1..^π) β (π β (π...π) β 1 β€ π)) |
69 | 68 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...π)) β 1 β€ π) |
70 | 69 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...π) β§ Β¬ π = π) β 1 β€ π) |
71 | | zre 12510 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β β€ β π β
β) |
72 | 71, 55 | anim12ci 615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β β β§ π β
β)) |
73 | 72 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β (π β β β§ π β
β)) |
74 | | ltlen 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β β β§ π β β) β (π < π β (π β€ π β§ π β π))) |
75 | 73, 74 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β (π < π β (π β€ π β§ π β π))) |
76 | | nesym 3001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β π β Β¬ π = π) |
77 | 76 | anbi2i 624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β€ π β§ π β π) β (π β€ π β§ Β¬ π = π)) |
78 | 75, 77 | bitr2di 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β ((π β€ π β§ Β¬ π = π) β π < π)) |
79 | 78 | biimpd 228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β ((π β€ π β§ Β¬ π = π) β π < π)) |
80 | 79 | expd 417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β (π β€ π β (Β¬ π = π β π < π))) |
81 | 80 | adantld 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (Β¬ π = π β π < π))) |
82 | 81 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β β€ β§ π β β€ β§ π β β€) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β (Β¬ π = π β π < π)) |
83 | 50, 82 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (π...π) β (Β¬ π = π β π < π)) |
84 | 83 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β (π...π) β§ Β¬ π = π) β π < π) |
85 | 84 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...π) β§ Β¬ π = π) β π < π) |
86 | 70, 85 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...π) β§ Β¬ π = π) β (1 β€ π β§ π < π)) |
87 | | elfzelz 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (π...π) β π β β€) |
88 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (π...π) β 1 β β€) |
89 | | elfzel2 13446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (π...π) β π β β€) |
90 | 87, 88, 89 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (π...π) β (π β β€ β§ 1 β β€ β§
π β
β€)) |
91 | 90 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...π) β§ Β¬ π = π) β (π β β€ β§ 1 β β€ β§
π β
β€)) |
92 | | elfzo 13581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β€ β§ 1 β
β€ β§ π β
β€) β (π β
(1..^π) β (1 β€
π β§ π < π))) |
93 | 91, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...π) β§ Β¬ π = π) β (π β (1..^π) β (1 β€ π β§ π < π))) |
94 | 86, 93 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...π) β§ Β¬ π = π) β π β (1..^π)) |
95 | 94 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1..^π) β (π β (π...π) β (Β¬ π = π β π β (1..^π)))) |
96 | 95 | ad2antll 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (π β (π...π) β (Β¬ π = π β π β (1..^π)))) |
97 | 96 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π)) β (Β¬ π = π β π β (1..^π))) |
98 | 97 | impcom 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((Β¬
π = π β§ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π))) β π β (1..^π)) |
99 | 45, 49, 98 | iccpartipre 45687 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((Β¬
π = π β§ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π))) β (πβπ) β β) |
100 | 99 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (Β¬
π = π β ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) β β)) |
101 | 41, 100 | pm2.61i 182 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) β β) |
102 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...(π β 1))) β π β β) |
103 | 47 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...(π β 1))) β π β (RePartβπ)) |
104 | | 1eluzge0 12824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 1 β
(β€β₯β0) |
105 | | fzoss1 13606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (1 β
(β€β₯β0) β (1..^π) β (0..^π)) |
106 | 104, 105 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...(π β 1))) β (1..^π) β (0..^π)) |
107 | | elfzoel2 13578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (1..^π) β π β β€) |
108 | | fzoval 13580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β β€ β (π..^π) = (π...(π β 1))) |
109 | 107, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (1..^π) β (π..^π) = (π...(π β 1))) |
110 | 109 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1..^π) β (π...(π β 1)) = (π..^π)) |
111 | 110 | eleq2d 2824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (1..^π) β (π β (π...(π β 1)) β π β (π..^π))) |
112 | | elfzouz 13583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (1..^π) β π β
(β€β₯β1)) |
113 | | fzoss1 13606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β
(β€β₯β1) β (π..^π) β (1..^π)) |
114 | 112, 113 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1..^π) β (π..^π) β (1..^π)) |
115 | 114 | sseld 3948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (1..^π) β (π β (π..^π) β π β (1..^π))) |
116 | 111, 115 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1..^π) β (π β (π...(π β 1)) β π β (1..^π))) |
117 | 116 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...(π β 1))) β π β (1..^π)) |
118 | 106, 117 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β (1..^π) β§ π β (π...(π β 1))) β π β (0..^π)) |
119 | 118 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (1..^π) β (π β (π...(π β 1)) β π β (0..^π))) |
120 | 119 | ad2antll 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (π β (π...(π β 1)) β π β (0..^π))) |
121 | 120 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...(π β 1))) β π β (0..^π)) |
122 | | iccpartimp 45683 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β β§ π β (RePartβπ) β§ π β (0..^π)) β (π β (β*
βm (0...π))
β§ (πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
123 | 102, 103,
121, 122 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...(π β 1))) β (π β (β*
βm (0...π))
β§ (πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
124 | 123 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β§ π β (π...(π β 1))) β (πβπ) < (πβ(π + 1))) |
125 | 22, 34, 101, 124 | smonoord 45637 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πβπ) β β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (πβπ) < (πβπ)) |
126 | 125 | ex 414 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πβπ) β β β ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (πβπ) < (πβπ))) |
127 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β π β (1..^π)) |
128 | 42, 46, 127 | iccpartipre 45687 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (πβπ) β β) |
129 | | ltpnf 13048 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πβπ) β β β (πβπ) < +β) |
130 | 128, 129 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (πβπ) < +β) |
131 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πβπ) = +β β ((πβπ) < (πβπ) β (πβπ) < +β)) |
132 | 130, 131 | syl5ibr 246 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πβπ) = +β β ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (πβπ) < (πβπ))) |
133 | 42 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β β) |
134 | 46 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β (RePartβπ)) |
135 | | elfzofz 13595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (1..^π) β π β (1...π)) |
136 | 135 | ad2antll 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β (1...π)) |
137 | | elfzubelfz 13460 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (1...π) β π β (1...π)) |
138 | 136, 137 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β π β (1...π)) |
139 | 133, 134,
138 | iccpartgtprec 45686 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (πβ(π β 1)) < (πβπ)) |
140 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (-β
= (πβπ) β ((πβ(π β 1)) < -β β (πβ(π β 1)) < (πβπ))) |
141 | 140 | eqcoms 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πβπ) = -β β ((πβ(π β 1)) < -β β (πβ(π β 1)) < (πβπ))) |
142 | 141 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β ((πβ(π β 1)) < -β β (πβ(π β 1)) < (πβπ))) |
143 | 139, 142 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (πβ(π β 1)) < -β) |
144 | 15 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β π β
β0) |
145 | 144 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β π β
β0) |
146 | | nnne0 12194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β π β 0) |
147 | 146 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β π β 0) |
148 | | df-ne 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β 1 β Β¬ π = 1) |
149 | 148 | biimpri 227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (Β¬
π = 1 β π β 1) |
150 | 149 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ Β¬ π = 1) β π β 1) |
151 | 150 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β π β 1) |
152 | 144, 147,
151 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β (π β β0 β§ π β 0 β§ π β 1)) |
153 | 152 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (π β β0 β§ π β 0 β§ π β 1)) |
154 | | nn0n0n1ge2 12487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β0
β§ π β 0 β§ π β 1) β 2 β€ π) |
155 | 153, 154 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β 2 β€ π) |
156 | 145, 155 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (π β β0 β§ 2 β€
π)) |
157 | 156 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (π β β0 β§ 2 β€
π)) |
158 | | ige2m1fz 13538 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β0
β§ 2 β€ π) β
(π β 1) β
(0...π)) |
159 | 157, 158 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (π β 1) β (0...π)) |
160 | 133, 134,
159 | iccpartxr 45685 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (πβ(π β 1)) β
β*) |
161 | | nltmnf 13057 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πβ(π β 1)) β β*
β Β¬ (πβ(π β 1)) < -β) |
162 | 160, 161 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β Β¬ (πβ(π β 1)) < -β) |
163 | 143, 162 | pm2.21dd 194 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πβπ) = -β β§ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π))) β (πβπ) < (πβπ)) |
164 | 163 | ex 414 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πβπ) = -β β ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (πβπ) < (πβπ))) |
165 | 126, 132,
164 | 3jaoi 1428 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πβπ) β β β¨ (πβπ) = +β β¨ (πβπ) = -β) β ((((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β§ π β (1..^π)) β (πβπ) < (πβπ))) |
166 | 165 | impl 457 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πβπ) β β β¨ (πβπ) = +β β¨ (πβπ) = -β) β§ ((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β)) β§ π β (1..^π)) β (πβπ) < (πβπ)) |
167 | 166 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πβπ) β β β¨ (πβπ) = +β β¨ (πβπ) = -β) β§ ((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β)) β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ)) |
168 | 167 | ex 414 |
. . . . . . 7
β’ (((πβπ) β β β¨ (πβπ) = +β β¨ (πβπ) = -β) β (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ))) |
169 | 20, 168 | sylbi 216 |
. . . . . 6
β’ ((πβπ) β β* β (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ))) |
170 | 19, 169 | mpcom 38 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ π = 1) β§ π β β) β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ)) |
171 | 170 | ex 414 |
. . . 4
β’ ((π β§ Β¬ π = 1) β (π β β β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ))) |
172 | 171 | expcom 415 |
. . 3
β’ (Β¬
π = 1 β (π β (π β β β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ)))) |
173 | 10, 172 | pm2.61i 182 |
. 2
β’ (π β (π β β β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ))) |
174 | 1, 173 | mpd 15 |
1
β’ (π β βπ β (1..^π)(πβπ) < (πβπ)) |