Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartiltu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartiltu 45688
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartiltu (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartiltu
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 ral0 4475 . . . . 5 βˆ€π‘– ∈ βˆ… (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜1)
3 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 β†’ (1..^𝑀) = (1..^1))
4 fzo0 13603 . . . . . . 7 (1..^1) = βˆ…
53, 4eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (1..^𝑀) = βˆ…)
6 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜1))
76breq2d 5122 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜1)))
85, 7raleqbidv 3322 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜1)))
92, 8mpbiri 258 . . . 4 (𝑀 = 1 β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
1092a1d 26 . . 3 (𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
11 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
12 iccpartgtprec.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
1413adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
15 nnnn0 12427 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
16 nn0fz0 13546 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1817adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1911, 14, 18iccpartxr 45685 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
20 elxr 13044 . . . . . . 7 ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ* ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = +∞ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞))
21 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2221ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
23 elfzo2 13582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀))
24 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2524peano2zd 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
26253ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
27 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
28 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀))
2924, 28sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀))
3029biimp3a 1470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀)
31 eluz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀))
3226, 27, 30, 31syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)))
3323, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)))
3433ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)))
35 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
3635eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
3736eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
3837biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ β†’ (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
4211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4614adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4948adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
50 elfz2 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ↔ ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)))
51 eluz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ (1 ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 𝑖))
52 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 1 ∈ ℝ)
53 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑖 ∈ β„€ β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
55 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
57 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((1 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜) β†’ 1 ≀ π‘˜))
5852, 54, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜) β†’ 1 ≀ π‘˜))
5958expcomd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ (1 ≀ 𝑖 β†’ 1 ≀ π‘˜)))
6059adantrd 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (1 ≀ 𝑖 β†’ 1 ≀ π‘˜)))
61603adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (1 ≀ 𝑖 β†’ 1 ≀ π‘˜)))
6261imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)) β†’ (1 ≀ 𝑖 β†’ 1 ≀ π‘˜))
6362com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (1 ≀ 𝑖 β†’ (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)) β†’ 1 ≀ π‘˜))
64633ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 𝑖) β†’ (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)) β†’ 1 ≀ π‘˜))
6551, 64sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)) β†’ 1 ≀ π‘˜))
66653ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)) β†’ 1 ≀ π‘˜))
6723, 66sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)) β†’ 1 ≀ π‘˜))
6850, 67biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ 1 ≀ π‘˜))
6968imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ 1 ≀ π‘˜)
70693adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ 1 ≀ π‘˜)
71 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
7271, 55anim12ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
73723adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
74 ltlen 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ < 𝑀 ↔ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  π‘˜)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ < 𝑀 ↔ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  π‘˜)))
76 nesym 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 β‰  π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ = 𝑀)
7776anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 β‰  π‘˜) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀))
7875, 77bitr2di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) ↔ π‘˜ < 𝑀))
7978biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ π‘˜ < 𝑀))
8079expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑀 β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀)))
8180adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀)))
8281imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (𝑖 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑀)) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀))
8350, 82sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀))
8483imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ π‘˜ < 𝑀)
85843adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ π‘˜ < 𝑀)
8670, 85jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ (1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < 𝑀))
87 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
88 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ 1 ∈ β„€)
89 elfzel2 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9087, 88, 893jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€))
91903ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€))
92 elfzo 13581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < 𝑀)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < 𝑀)))
9486, 93mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))
95943exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))))
9695ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))))
9796imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀)))
9897impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))
9945, 49, 98iccpartipre 45687 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10099ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘˜ = 𝑀 β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
10141, 100pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10243adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
10347adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
104 1eluzge0 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
105 fzoss1 13606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
106104, 105mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
107 elfzoel2 13578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
108 fzoval 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑖..^𝑀) = (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1)))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (𝑖..^𝑀) = (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1)))
110109eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1)) = (𝑖..^𝑀))
111110eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ π‘˜ ∈ (𝑖..^𝑀)))
112 elfzouz 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
113 fzoss1 13606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑖..^𝑀) βŠ† (1..^𝑀))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (𝑖..^𝑀) βŠ† (1..^𝑀))
115114sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖..^𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀)))
116111, 115sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀)))
117116imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))
118106, 117sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))
119118ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
120119ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
121120imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))
122 iccpartimp 45683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
123102, 103, 121, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
124123simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑖...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
12522, 34, 101, 124smonoord 45637 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
126125ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ β†’ ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
127 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
12842, 46, 127iccpartipre 45687 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
129 ltpnf 13048 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < +∞)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < +∞)
131 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜π‘€) = +∞ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) < +∞))
132130, 131syl5ibr 246 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘€) = +∞ β†’ ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
13342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
13446adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
135 elfzofz 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
136135ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
137 elfzubelfz 13460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
139133, 134, 138iccpartgtprec 45686 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
140 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞ = (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < -∞ ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
141140eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < -∞ ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
142141adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < -∞ ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
143139, 142mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < -∞)
14415adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
145144adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
146 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 β‰  0)
147146adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 β‰  0)
148 df-ne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 β‰  1 ↔ Β¬ 𝑀 = 1)
149148biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ 𝑀 β‰  1)
150149adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 β‰  1)
151150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 β‰  1)
152144, 147, 1513jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 β‰  0 ∧ 𝑀 β‰  1))
153152adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 β‰  0 ∧ 𝑀 β‰  1))
154 nn0n0n1ge2 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 β‰  0 ∧ 𝑀 β‰  1) β†’ 2 ≀ 𝑀)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 2 ≀ 𝑀)
156145, 155jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑀))
157156adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑀))
158 ige2m1fz 13538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑀) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑀))
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑀))
160133, 134, 159iccpartxr 45685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ∈ ℝ*)
161 nltmnf 13057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < -∞)
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) < -∞)
163143, 162pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ ∧ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
164163ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞ β†’ ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
165126, 132, 1643jaoi 1428 . . . . . . . . . 10 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = +∞ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞) β†’ ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
166165impl 457 . . . . . . . . 9 (((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = +∞ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞) ∧ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
167166ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = +∞ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞) ∧ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
168167ex 414 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = +∞ ∨ (π‘ƒβ€˜π‘€) = -∞) β†’ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
16920, 168sylbi 216 . . . . . 6 ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ* β†’ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
17019, 169mpcom 38 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
171170ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
172171expcom 415 . . 3 (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))))
17310, 172pm2.61i 182 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
1741, 173mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  RePartciccp 45679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-iccp 45680
This theorem is referenced by:  iccpartlt  45690  iccpartltu  45691  iccpartgt  45693
  Copyright terms: Public domain W3C validator