Theorem iccpartgtprec 47608

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the preceeding intermediate points or lower bound. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartgtprec.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtprec	⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Proof of Theorem iccpartgtprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		iccpartgtprec.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
4	1	nnzd 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzval3 13648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1...𝑀) = (1..^(𝑀 + 1)))
6	5	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
8	3, 7	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)))
9	1	nncnd 12159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		pncan1 11559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
12	11	eqcomd 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
13	12	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = (0..^((𝑀 + 1) − 1)))
14	13	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
15	3	elfzelzd 13439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	4	peano2zd 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzom1b 13680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
19	14, 18	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
20	8, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀))
21		iccpartimp 47605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
23	22	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
24	15	zcnd 12595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
25		npcan1 11560	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
27	26	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 − 1) + 1))
28	27	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
29	23, 28	breqtrrd 5124	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  ℂcc 11022  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   − cmin 11362  ℕcn 12143  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568  RePartciccp 47601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-iccp 47602

This theorem is referenced by:  iccpartipre  47609  iccpartiltu  47610