Theorem iccpartgtprec 43016

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the preceeding intermediate points or lower bound. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartgtprec.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtprec	⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Proof of Theorem iccpartgtprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		iccpartgtprec.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
4	1	nnzd 11924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzval3 12944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1...𝑀) = (1..^(𝑀 + 1)))
6	5	eleq2d 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
8	3, 7	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)))
9	1	nncnd 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		pncan1 10901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
12	11	eqcomd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
13	12	oveq2d 7023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = (0..^((𝑀 + 1) − 1)))
14	13	eleq2d 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
15		elfzelz 12747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
16	3, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
17	4	peano2zd 11928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
18		elfzom1b 12974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
20	14, 19	bitr4d 283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
21	8, 20	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀))
22		iccpartimp 43013	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
23	1, 2, 21, 22	syl3anc 1362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
24	23	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
25	16	zcnd 11926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
26		npcan1 10902	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
28	27	eqcomd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 − 1) + 1))
29	28	fveq2d 6534	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
30	24, 29	breqtrrd 4984	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   ↑_𝑚 cmap 8247  ℂcc 10370  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375  ℝ^*cxr 10509   < clt 10510   − cmin 10706  ℕcn 11475  ℤcz 11818  ...cfz 12731  ..^cfzo 12872  RePartciccp 43009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-iccp 43010

This theorem is referenced by:  iccpartipre  43017  iccpartiltu  43018