Theorem iccpartgtprec 48246

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the preceeding intermediate points or lower bound. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartgtprec.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtprec	⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Proof of Theorem iccpartgtprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		iccpartgtprec.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
4	1	nnzd 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzval3 13784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1...𝑀) = (1..^(𝑀 + 1)))
6	5	eleq2d 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)))
9	1	nncnd 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		pncan1 11657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
12	11	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
13	12	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = (0..^((𝑀 + 1) − 1)))
14	13	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
15	3	elfzelzd 13573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	4	peano2zd 12723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzom1b 13816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
19	14, 18	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
20	8, 19	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀))
21		iccpartimp 48243	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
23	22	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
24	15	zcnd 12721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
25		npcan1 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
27	26	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 − 1) + 1))
28	27	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
29	23, 28	breqtrrd 5141	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℂcc 11117  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122  ℝ^*cxr 11261   < clt 11262   − cmin 11460  ℕcn 12252  ℤcz 12610  ...cfz 13555  ..^cfzo 13703  RePartciccp 48239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-iccp 48240

This theorem is used by:  iccpartipre  48247  iccpartiltu  48248