Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgtprec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgtprec 45860
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the preceeding intermediate points or lower bound. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartgtprec.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgtprec (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼))

Proof of Theorem iccpartgtprec
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 iccpartgtprec.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
41nnzd 12567 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 fzval3 13683 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (1...𝑀) = (1..^(𝑀 + 1)))
65eleq2d 2818 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
83, 7mpbid 231 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)))
91nncnd 12210 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 pncan1 11620 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1211eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
1312oveq2d 7409 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^𝑀) = (0..^((𝑀 + 1) − 1)))
1413eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
153elfzelzd 13484 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
164peano2zd 12651 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
17 elfzom1b 13713 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
1914, 18bitr4d 281 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
208, 19mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀))
21 iccpartimp 45857 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
221, 2, 20, 21syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
2322simprd 496 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
2415zcnd 12649 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
25 npcan1 11621 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
2726eqcomd 2737 . . 3 (𝜑𝐼 = ((𝐼 − 1) + 1))
2827fveq2d 6882 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) = (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
2923, 28breqtrrd 5169 1 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  m cmap 8803  cc 11090  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095  *cxr 11229   < clt 11230  cmin 11426  cn 12194  cz 12540  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609  RePartciccp 45853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-iccp 45854
This theorem is referenced by:  iccpartipre  45861  iccpartiltu  45862
  Copyright terms: Public domain W3C validator