Theorem iccpartgtprec 46823

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the preceeding intermediate points or lower bound. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartgtprec.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtprec	⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Proof of Theorem iccpartgtprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		iccpartgtprec.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
4	1	nnzd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzval3 13733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1...𝑀) = (1..^(𝑀 + 1)))
6	5	eleq2d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
8	3, 7	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)))
9	1	nncnd 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		pncan1 11668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
12	11	eqcomd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
13	12	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = (0..^((𝑀 + 1) − 1)))
14	13	eleq2d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
15	3	elfzelzd 13534	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	4	peano2zd 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzom1b 13763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
18	15, 16, 17	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
19	14, 18	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
20	8, 19	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀))
21		iccpartimp 46820	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
23	22	simprd 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
24	15	zcnd 12697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
25		npcan1 11669	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
27	26	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 − 1) + 1))
28	27	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
29	23, 28	breqtrrd 5171	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8843  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278   − cmin 11474  ℕcn 12242  ℤcz 12588  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  RePartciccp 46816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-iccp 46817

This theorem is referenced by:  iccpartipre  46824  iccpartiltu  46825