Theorem iccpartgtprec 44872

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the preceeding intermediate points or lower bound. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartgtprec.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtprec	⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Proof of Theorem iccpartgtprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		iccpartgtprec.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
4	1	nnzd 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzval3 13456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1...𝑀) = (1..^(𝑀 + 1)))
6	5	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
8	3, 7	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)))
9	1	nncnd 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		pncan1 11399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
12	11	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
13	12	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = (0..^((𝑀 + 1) − 1)))
14	13	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
15	3	elfzelzd 13257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	4	peano2zd 12429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzom1b 13486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1)) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^((𝑀 + 1) − 1))))
19	14, 18	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1..^(𝑀 + 1))))
20	8, 19	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀))
21		iccpartimp 44869	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1))))
23	22	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
24	15	zcnd 12427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
25		npcan1 11400	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
27	26	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 − 1) + 1))
28	27	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((𝐼 − 1) + 1)))
29	23, 28	breqtrrd 5102	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  RePartciccp 44865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-iccp 44866

This theorem is referenced by:  iccpartipre  44873  iccpartiltu  44874