Theorem iccpartipre 47295

Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartipre	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		nnz 12660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		peano2zm 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		zre 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	lem1d 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
8	4, 5, 7	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10		eluz2 12909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
13		fzss2 13624	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15		fzossfz 13735	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16		iccpartipre.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
17	15, 16	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18		elfzoelz 13716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
20	1	nnzd 12666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		elfzm1b 13662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
22	19, 20, 21	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
23	17, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
24	14, 23	sseldd 4009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
25	1, 2, 24	iccpartxr 47293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26		1eluzge0 12957	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
27		fzoss1 13743	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29		fzossfz 13735	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
30	28, 29	sstrdi 4021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
31	30, 16	sseldd 4009	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
32	1, 2, 31	iccpartxr 47293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*)
33	28, 16	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34		fzofzp1 13814	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
36	1, 2, 35	iccpartxr 47293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
37	1, 2, 17	iccpartgtprec 47294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))
38		iccpartimp 47291	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
39	1, 2, 33, 38	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
40	39	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41		xrre2 13232	. 2 ⊢ ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)
42	25, 32, 36, 37, 40, 41	syl32anc 1378	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  RePartciccp 47287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-iccp 47288

This theorem is referenced by:  iccpartiltu  47296  iccpartigtl  47297  iccpartgt  47301  bgoldbtbndlem3  47681