Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 45703
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
iccpartipre.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
3 nnz 12528 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 peano2zm 12554 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 zre 12511 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 12096 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀)
84, 5, 73jca 1129 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
10 eluz2 12777 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
119, 10sylibr 233 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
13 fzss2 13490 . . . . 5 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0...(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑀))
15 fzossfz 13600 . . . . . 6 (1..^𝑀) βŠ† (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sselid 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 13581 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
201nnzd 12534 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 elfzm1b 13528 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1))))
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1))))
2317, 22mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1)))
2414, 23sseldd 3949 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 45701 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12825 . . . . . 6 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
27 fzoss1 13608 . . . . . 6 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
29 fzossfz 13600 . . . . 5 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
3028, 29sstrdi 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3949 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 45701 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 13678 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 45701 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 45702 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
38 iccpartimp 45699 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
4039simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
41 xrre2 13098 . 2 ((((π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1379 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  45704  iccpartigtl  45705  iccpartgt  45709  bgoldbtbndlem3  46089
  Copyright terms: Public domain W3C validator