Theorem iccpartipre 44761

Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartipre	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		nnz 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		peano2zm 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		zre 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	lem1d 11838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
8	4, 5, 7	3jca 1126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10		eluz2 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
13		fzss2 13225	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15		fzossfz 13334	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16		iccpartipre.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
17	15, 16	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18		elfzoelz 13316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
20	1	nnzd 12354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		elfzm1b 13263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
22	19, 20, 21	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
23	17, 22	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
24	14, 23	sseldd 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
25	1, 2, 24	iccpartxr 44759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26		1eluzge0 12561	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
27		fzoss1 13342	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29		fzossfz 13334	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
30	28, 29	sstrdi 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
31	30, 16	sseldd 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
32	1, 2, 31	iccpartxr 44759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*)
33	28, 16	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34		fzofzp1 13412	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
36	1, 2, 35	iccpartxr 44759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
37	1, 2, 17	iccpartgtprec 44760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))
38		iccpartimp 44757	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
39	1, 2, 33, 38	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
40	39	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41		xrre2 12833	. 2 ⊢ ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)
42	25, 32, 36, 37, 40, 41	syl32anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  RePartciccp 44753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-iccp 44754

This theorem is referenced by:  iccpartiltu  44762  iccpartigtl  44763  iccpartgt  44767  bgoldbtbndlem3  45147