Theorem iccpartipre 47810

Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartipre	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		nnz 12523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		peano2zm 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		zre 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	lem1d 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
8	4, 5, 7	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10		eluz2 12771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
13		fzss2 13494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15		fzossfz 13608	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16		iccpartipre.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
17	15, 16	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18		elfzoelz 13589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
20	1	nnzd 12528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		elfzm1b 13532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
23	17, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
24	14, 23	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
25	1, 2, 24	iccpartxr 47808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26		1eluzge0 12807	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
27		fzoss1 13616	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29		fzossfz 13608	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
30	28, 29	sstrdi 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
31	30, 16	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
32	1, 2, 31	iccpartxr 47808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*)
33	28, 16	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34		fzofzp1 13694	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
36	1, 2, 35	iccpartxr 47808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
37	1, 2, 17	iccpartgtprec 47809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))
38		iccpartimp 47806	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
39	1, 2, 33, 38	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
40	39	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41		xrre2 13099	. 2 ⊢ ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)
42	25, 32, 36, 37, 40, 41	syl32anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043  ℝ^*cxr 11179   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℕcn 12159  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  RePartciccp 47802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-iccp 47803

This theorem is referenced by:  iccpartiltu  47811  iccpartigtl  47812  iccpartgt  47816  bgoldbtbndlem3  48196