Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 46823
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
iccpartipre.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
3 nnz 12607 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 peano2zm 12633 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 zre 12590 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 12175 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀)
84, 5, 73jca 1125 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
10 eluz2 12856 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
119, 10sylibr 233 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
13 fzss2 13571 . . . . 5 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0...(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑀))
15 fzossfz 13681 . . . . . 6 (1..^𝑀) βŠ† (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sselid 3970 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 13662 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
201nnzd 12613 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 elfzm1b 13609 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1))))
2219, 20, 21syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1))))
2317, 22mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1)))
2414, 23sseldd 3973 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 46821 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12904 . . . . . 6 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
27 fzoss1 13689 . . . . . 6 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
29 fzossfz 13681 . . . . 5 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
3028, 29sstrdi 3985 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3973 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 46821 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3973 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 13759 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 46821 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 46822 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
38 iccpartimp 46819 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
4039simprd 494 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
41 xrre2 13179 . 2 ((((π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1375 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  RePartciccp 46815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-iccp 46816
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  46824  iccpartigtl  46825  iccpartgt  46829  bgoldbtbndlem3  47209
  Copyright terms: Public domain W3C validator