Theorem iccpartipre 47426

Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartipre	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		nnz 12557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		peano2zm 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		zre 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	lem1d 12123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
8	4, 5, 7	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10		eluz2 12806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
13		fzss2 13532	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15		fzossfz 13646	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16		iccpartipre.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
17	15, 16	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18		elfzoelz 13627	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
20	1	nnzd 12563	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		elfzm1b 13570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
23	17, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
24	14, 23	sseldd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
25	1, 2, 24	iccpartxr 47424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26		1eluzge0 12846	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
27		fzoss1 13654	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29		fzossfz 13646	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
30	28, 29	sstrdi 3962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
31	30, 16	sseldd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
32	1, 2, 31	iccpartxr 47424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*)
33	28, 16	sseldd 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34		fzofzp1 13732	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
36	1, 2, 35	iccpartxr 47424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
37	1, 2, 17	iccpartgtprec 47425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))
38		iccpartimp 47422	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
39	1, 2, 33, 38	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
40	39	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41		xrre2 13137	. 2 ⊢ ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)
42	25, 32, 36, 37, 40, 41	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  RePartciccp 47418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-iccp 47419

This theorem is referenced by:  iccpartiltu  47427  iccpartigtl  47428  iccpartgt  47432  bgoldbtbndlem3  47812