Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 43063
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 nnz 11853 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 peano2zm 11874 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 zre 11833 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 11421 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
84, 5, 73jca 1121 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10 eluz2 12099 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
119, 10sylibr 235 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
13 fzss2 12797 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15 fzossfz 12906 . . . . . 6 (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sseldi 3887 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 12888 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
201nnzd 11935 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 elfzm1b 12835 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2317, 22mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
2414, 23sseldd 3890 . . 3 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 43061 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12141 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
27 fzoss1 12914 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29 fzossfz 12906 . . . . 5 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
3028, 29syl6ss 3901 . . . 4 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3890 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 43061 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3890 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 12984 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 43061 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 43062 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼))
38 iccpartimp 43059 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1364 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
4039simprd 496 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41 xrre2 12413 . 2 ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1371 1 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wcel 2081  wss 3859   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  cn 11486  cz 11829  cuz 12093  ...cfz 12742  ..^cfzo 12883  RePartciccp 43055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-iccp 43056
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  43064  iccpartigtl  43065  iccpartgt  43069  bgoldbtbndlem3  43454
  Copyright terms: Public domain W3C validator