Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 47408
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 nnz 12634 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 peano2zm 12660 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 zre 12617 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 12201 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
84, 5, 73jca 1129 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10 eluz2 12884 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
119, 10sylibr 234 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
13 fzss2 13604 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15 fzossfz 13718 . . . . . 6 (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sselid 3981 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 13699 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
201nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 elfzm1b 13642 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2317, 22mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
2414, 23sseldd 3984 . . 3 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 47406 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12934 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
27 fzoss1 13726 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29 fzossfz 13718 . . . . 5 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
3028, 29sstrdi 3996 . . . 4 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 47406 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 13803 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 47406 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 47407 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼))
38 iccpartimp 47404 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
4039simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41 xrre2 13212 . 2 ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1380 1 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  RePartciccp 47400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-iccp 47401
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  47409  iccpartigtl  47410  iccpartgt  47414  bgoldbtbndlem3  47794
  Copyright terms: Public domain W3C validator