Theorem iccpartipre 48119

Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartipre	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		iccpartgtprec.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3		nnz 12615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		peano2zm 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		zre 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	lem1d 12151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
8	4, 5, 7	3jca 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
9	3, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10		eluz2 12871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
11	9, 10	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
12	1, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
13		fzss2 13595	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15		fzossfz 13710	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16		iccpartipre.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
17	15, 16	sselid 3943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18		elfzoelz 13690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
19	16, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
20	1	nnzd 12620	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		elfzm1b 13633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
22	19, 20, 21	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
23	17, 22	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
24	14, 23	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
25	1, 2, 24	iccpartxr 48117	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26		1eluzge0 12907	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
27		fzoss1 13718	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
28	26, 27	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29		fzossfz 13710	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
30	28, 29	sstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
31	30, 16	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
32	1, 2, 31	iccpartxr 48117	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ*)
33	28, 16	sseldd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34		fzofzp1 13796	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
36	1, 2, 35	iccpartxr 48117	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
37	1, 2, 17	iccpartgtprec 48118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼))
38		iccpartimp 48115	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
39	1, 2, 33, 38	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
40	39	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41		xrre2 13199	. 2 ⊢ ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃‘𝐼) ∧ (𝑃‘𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)
42	25, 32, 36, 37, 40, 41	syl32anc 1403	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐼) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2150   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  ℝcr 11102  0cc0 11103  1c1 11104   + caddc 11106  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246   ≤ cle 11247   − cmin 11444  ℕcn 12236  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12865  ...cfz 13538  ..^cfzo 13685  RePartciccp 48111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-iccp 48112

This theorem is referenced by:  iccpartiltu  48120  iccpartigtl  48121  iccpartgt  48125  bgoldbtbndlem3  48521