Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 45585
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 nnz 12519 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 peano2zm 12545 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 zre 12502 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 12087 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
84, 5, 73jca 1128 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10 eluz2 12768 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
119, 10sylibr 233 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
13 fzss2 13480 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15 fzossfz 13590 . . . . . 6 (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sselid 3942 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 13571 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
201nnzd 12525 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 elfzm1b 13518 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2317, 22mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
2414, 23sseldd 3945 . . 3 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 45583 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12816 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
27 fzoss1 13598 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29 fzossfz 13590 . . . . 5 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
3028, 29sstrdi 3956 . . . 4 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3945 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 45583 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3945 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 13668 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 45583 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 45584 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼))
38 iccpartimp 45581 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
4039simprd 496 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41 xrre2 13088 . 2 ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1378 1 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7356  m cmap 8764  cr 11049  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053  *cxr 11187   < clt 11188  cle 11189  cmin 11384  cn 12152  cz 12498  cuz 12762  ...cfz 13423  ..^cfzo 13566  RePartciccp 45577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-iccp 45578
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  45586  iccpartigtl  45587  iccpartgt  45591  bgoldbtbndlem3  45971
  Copyright terms: Public domain W3C validator