Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 47346
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 nnz 12632 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 peano2zm 12658 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 zre 12615 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 12199 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
84, 5, 73jca 1127 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10 eluz2 12882 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
119, 10sylibr 234 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
13 fzss2 13601 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15 fzossfz 13715 . . . . . 6 (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sselid 3993 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 13696 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
201nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 elfzm1b 13639 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2317, 22mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
2414, 23sseldd 3996 . . 3 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 47344 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12932 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
27 fzoss1 13723 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29 fzossfz 13715 . . . . 5 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
3028, 29sstrdi 4008 . . . 4 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 47344 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3996 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 13800 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 47344 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 47345 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼))
38 iccpartimp 47342 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
4039simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41 xrre2 13209 . 2 ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1377 1 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  RePartciccp 47338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-iccp 47339
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  47347  iccpartigtl  47348  iccpartgt  47352  bgoldbtbndlem3  47732
  Copyright terms: Public domain W3C validator