Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 46666
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
iccpartipre.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
3 nnz 12583 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 peano2zm 12609 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 zre 12566 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 12151 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀)
84, 5, 73jca 1125 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
10 eluz2 12832 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
119, 10sylibr 233 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
13 fzss2 13547 . . . . 5 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0...(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑀))
15 fzossfz 13657 . . . . . 6 (1..^𝑀) βŠ† (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sselid 3975 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 13638 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
201nnzd 12589 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 elfzm1b 13585 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1))))
2219, 20, 21syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1))))
2317, 22mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑀 βˆ’ 1)))
2414, 23sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 46664 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12880 . . . . . 6 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
27 fzoss1 13665 . . . . . 6 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0..^𝑀))
29 fzossfz 13657 . . . . 5 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
3028, 29sstrdi 3989 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1..^𝑀) βŠ† (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 46664 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3978 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 13735 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 46664 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 46665 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜πΌ))
38 iccpartimp 46662 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1))))
4039simprd 495 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
41 xrre2 13155 . 2 ((((π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) < (π‘ƒβ€˜πΌ) ∧ (π‘ƒβ€˜πΌ) < (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1375 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  RePartciccp 46658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-iccp 46659
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  46667  iccpartigtl  46668  iccpartgt  46672  bgoldbtbndlem3  47052
  Copyright terms: Public domain W3C validator