Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartipre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartipre 43458
Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartipre.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartipre (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccpartipre
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 nnz 11992 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 peano2zm 12013 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 zre 11973 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
76lem1d 11561 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
84, 5, 73jca 1120 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
10 eluz2 12237 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
119, 10sylibr 235 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
13 fzss2 12935 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑀 − 1)) ⊆ (0...𝑀))
15 fzossfz 13044 . . . . . 6 (1..^𝑀) ⊆ (1...𝑀)
16 iccpartipre.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝑀))
1715, 16sseldi 3962 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
18 elfzoelz 13026 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
201nnzd 12074 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 elfzm1b 12973 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1))))
2317, 22mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...(𝑀 − 1)))
2414, 23sseldd 3965 . . 3 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0...𝑀))
251, 2, 24iccpartxr 43456 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ*)
26 1eluzge0 12280 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
27 fzoss1 13052 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0..^𝑀))
29 fzossfz 13044 . . . . 5 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
3028, 29sstrdi 3976 . . . 4 (𝜑 → (1..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3130, 16sseldd 3965 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
321, 2, 31iccpartxr 43456 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
3328, 16sseldd 3965 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
34 fzofzp1 13122 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
361, 2, 35iccpartxr 43456 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
371, 2, 17iccpartgtprec 43457 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼))
38 iccpartimp 43454 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
391, 2, 33, 38syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
4039simprd 496 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
41 xrre2 12551 . 2 ((((𝑃‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘(𝐼 − 1)) < (𝑃𝐼) ∧ (𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
4225, 32, 36, 37, 40, 41syl32anc 1370 1 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  RePartciccp 43450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-iccp 43451
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  43459  iccpartigtl  43460  iccpartgt  43464  bgoldbtbndlem3  43849
  Copyright terms: Public domain W3C validator