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Theorem iccpartigtl 47347
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartigtl (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartigtl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4518 . . . 4 𝑖 ∈ ∅ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)
2 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = (1..^1))
3 fzo0 13719 . . . . . 6 (1..^1) = ∅
42, 3eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = ∅)
54raleqdv 3323 . . . 4 (𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
61, 5mpbiri 258 . . 3 (𝑀 = 1 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
76a1d 25 . 2 (𝑀 = 1 → (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
8 iccpartgtprec.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
9 iccpartgtprec.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
108nnnn0d 12584 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
11 0elfz 13660 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
138, 9, 12iccpartxr 47343 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
15 elxr 13155 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ↔ ((𝑃‘0) ∈ ℝ ∨ (𝑃‘0) = +∞ ∨ (𝑃‘0) = -∞))
16 0zd 12622 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
17 elfzouz 13699 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
18 0p1e1 12385 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
1918fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
2017, 19eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
22 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2322eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃𝑘))
2423eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
2524biimpcd 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘0) ∈ ℝ → (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
2625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
278adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑀 ∈ ℕ)
289adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29 elfz2nn0 13654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...𝑖) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖))
30 elfzo2 13698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀))
31 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 nn0ge0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑖)
34 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
35 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → 𝑖 ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
37 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
39 lelttr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4034, 36, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4140expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑀 → (0 ≤ 𝑖 → 0 < 𝑀)))
42413impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (0 ≤ 𝑖 → 0 < 𝑀))
4333, 42syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
44433ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4544imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
46 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
4732, 45, 46sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
48 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
4948ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
50 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑖 ∈ ℝ)
5338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
54 lelttr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑖𝑖 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))
5554expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))
5649, 52, 53, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))
5756exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))))
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘𝑖 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))))
5958com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑖 < 𝑀 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀)))))
60593imp 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀)))
6160expdcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀))))
6261com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑖 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))))
63623imp1 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 < 𝑀)
64 elfzo0 13736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑀))
6531, 47, 63, 64syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
6665ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6730, 66biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6829, 67sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
7069impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ≠ 0)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ≠ 0)
73 fzo1fzo0n0 13750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ≠ 0))
7470, 72, 73sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
7627, 28, 75iccpartipre 47345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
7776exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
7877ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
7978imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
8079expdimp 452 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 ≠ 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
8126, 80pm2.61dne 3025 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
828adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
8382ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
849adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8584ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
86 elfzoelz 13695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
88 fzoval 13696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → (0..^𝑖) = (0...(𝑖 − 1)))
8988eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (0...(𝑖 − 1)) = (0..^𝑖))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0...(𝑖 − 1)) = (0..^𝑖))
9190eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑖)))
92 elfzouz2 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑖))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑖))
94 fzoss2 13723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ𝑖) → (0..^𝑖) ⊆ (0..^𝑀))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0..^𝑖) ⊆ (0..^𝑀))
9695sseld 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0..^𝑖) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
9791, 96sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
9897imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
99 iccpartimp 47341 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
10083, 85, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
101100simprd 495 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
10216, 21, 81, 101smonoord 47295 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
103102ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
104103ex 412 . . . . . 6 ((𝑃‘0) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
105 lbfzo0 13735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
1068, 105sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
1078, 9, 1063jca 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
108107ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
110 iccpartimp 47341 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
112111simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
113 breq1 5150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘0) = +∞ → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
115114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
116112, 115mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
1178ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1199ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
121 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
123 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
124 nnge1 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
125122, 123, 1243jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
127 elfz2nn0 13654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
128126, 127sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
12918, 128eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
130129ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
132118, 120, 131iccpartxr 47343 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘(0 + 1)) ∈ ℝ*)
133 pnfnlt 13167 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘(0 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ¬ +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
135116, 134pm2.21dd 195 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
136135ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
137136ex 412 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = +∞ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1388adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1399adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
141138, 139, 140iccpartipre 47345 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
142 mnflt 13162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑖) ∈ ℝ → -∞ < (𝑃𝑖))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → -∞ < (𝑃𝑖))
144143ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖))
145144ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖))
146 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘0) = -∞ → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ -∞ < (𝑃𝑖)))
147146adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ -∞ < (𝑃𝑖)))
148147ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖)))
149145, 148mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
150149ex 412 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = -∞ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
151104, 137, 1503jaoi 1427 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∨ (𝑃‘0) = +∞ ∨ (𝑃‘0) = -∞) → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
15215, 151sylbi 217 . . . 4 ((𝑃‘0) ∈ ℝ* → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
15314, 152mpcom 38 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
154153expcom 413 . 2 𝑀 = 1 → (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1557, 154pm2.61i 182 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  RePartciccp 47337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-iccp 47338
This theorem is referenced by:  iccpartlt  47348  iccpartgtl  47350  iccpartgt  47351
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