Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartigtl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartigtl 46391
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartigtl (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartigtl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4513 . . . 4 βˆ€π‘– ∈ βˆ… (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)
2 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (1..^𝑀) = (1..^1))
3 fzo0 13661 . . . . . 6 (1..^1) = βˆ…
42, 3eqtrdi 2787 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (1..^𝑀) = βˆ…)
54raleqdv 3324 . . . 4 (𝑀 = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
61, 5mpbiri 257 . . 3 (𝑀 = 1 β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
76a1d 25 . 2 (𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
8 iccpartgtprec.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
9 iccpartgtprec.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
108nnnn0d 12537 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
11 0elfz 13603 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
138, 9, 12iccpartxr 46387 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
15 elxr 13101 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∨ (π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∨ (π‘ƒβ€˜0) = -∞))
16 0zd 12575 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 0 ∈ β„€)
17 elfzouz 13641 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
18 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
1918fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜1)
2017, 19eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
22 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜0))
2322eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
2423eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
2524biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ β†’ (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
2625ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
278adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
289adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
29 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖))
30 elfzo2 13640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀))
31 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
32 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
33 nn0ge0 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑖)
34 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ ℝ)
35 eluzelre 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
37 zre 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
39 lelttr 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 0 < 𝑀))
4034, 36, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 0 < 𝑀))
4140expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ (0 ≀ 𝑖 β†’ 0 < 𝑀)))
42413impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (0 ≀ 𝑖 β†’ 0 < 𝑀))
4333, 42syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 0 < 𝑀))
44433ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) β†’ ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 0 < 𝑀))
4544imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀)) β†’ 0 < 𝑀)
46 elnnz 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ β„• ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
4732, 45, 46sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
48 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4948ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
50 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
5338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
54 lelttr 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ π‘˜ < 𝑀))
5554expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀)))
5649, 52, 53, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀)))
5756exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑀 ∈ β„€ β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀)))))
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑀 ∈ β„€ β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ π‘˜ < 𝑀)))))
5958com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑖 < 𝑀 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ π‘˜ < 𝑀)))))
60593imp 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ π‘˜ < 𝑀)))
6160expdcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ π‘˜ < 𝑀))))
6261com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ π‘˜ < 𝑀))))
63623imp1 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀)) β†’ π‘˜ < 𝑀)
64 elfzo0 13678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ < 𝑀))
6531, 47, 63, 64syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))
6665ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) β†’ ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
6730, 66biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ 𝑖) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
6829, 67sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
7069impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ π‘˜ β‰  0)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0)) β†’ π‘˜ β‰  0)
73 fzo1fzo0n0 13688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1..^𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘˜ β‰  0))
7470, 72, 73sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0)) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0))) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑀))
7627, 28, 75iccpartipre 46389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7776exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
7877ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
7978imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑖) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
8079expdimp 452 . . . . . . . . . 10 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π‘˜ β‰  0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
8126, 80pm2.61dne 3027 . . . . . . . . 9 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
828adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
8382ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
849adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
8584ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
86 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
88 fzoval 13638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (0..^𝑖) = (0...(𝑖 βˆ’ 1)))
8988eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (0...(𝑖 βˆ’ 1)) = (0..^𝑖))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (0...(𝑖 βˆ’ 1)) = (0..^𝑖))
9190eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1)) ↔ π‘˜ ∈ (0..^𝑖)))
92 elfzouz2 13652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
94 fzoss2 13665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (0..^𝑖) βŠ† (0..^𝑀))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (0..^𝑖) βŠ† (0..^𝑀))
9695sseld 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑖) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
9791, 96sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
9897imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))
99 iccpartimp 46385 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
10083, 85, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
101100simprd 495 . . . . . . . . 9 (((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
10216, 21, 81, 101smonoord 46339 . . . . . . . 8 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
103102ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
104103ex 412 . . . . . 6 ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
105 lbfzo0 13677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ β„•)
1068, 105sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
1078, 9, 1063jca 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
108107ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
110 iccpartimp 46385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
112111simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
113 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜0) = +∞ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)) ↔ +∞ < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)) ↔ +∞ < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
115114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)) ↔ +∞ < (π‘ƒβ€˜(0 + 1))))
116112, 115mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ +∞ < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
1178ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1199ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
121 1nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„•0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
123 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
124 nnge1 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑀)
125122, 123, 1243jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑀))
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑀))
127 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑀))
128126, 127sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (0...𝑀))
12918, 128eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
130129ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
132118, 120, 131iccpartxr 46387 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(0 + 1)) ∈ ℝ*)
133 pnfnlt 13113 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜(0 + 1)) ∈ ℝ* β†’ Β¬ +∞ < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ Β¬ +∞ < (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
135116, 134pm2.21dd 194 . . . . . . . 8 ((((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
136135ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
137136ex 412 . . . . . 6 ((π‘ƒβ€˜0) = +∞ β†’ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
1388adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1399adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
141138, 139, 140iccpartipre 46389 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
142 mnflt 13108 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ β†’ -∞ < (π‘ƒβ€˜π‘–))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ -∞ < (π‘ƒβ€˜π‘–))
144143ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)-∞ < (π‘ƒβ€˜π‘–))
145144ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜0) = -∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)-∞ < (π‘ƒβ€˜π‘–))
146 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜0) = -∞ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ -∞ < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
147146adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘ƒβ€˜0) = -∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ -∞ < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
148147ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜0) = -∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)-∞ < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
149145, 148mpbird 256 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜0) = -∞ ∧ (πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
150149ex 412 . . . . . 6 ((π‘ƒβ€˜0) = -∞ β†’ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
151104, 137, 1503jaoi 1426 . . . . 5 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ ∨ (π‘ƒβ€˜0) = +∞ ∨ (π‘ƒβ€˜0) = -∞) β†’ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
15215, 151sylbi 216 . . . 4 ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* β†’ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
15314, 152mpcom 38 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 1) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
154153expcom 413 . 2 (Β¬ 𝑀 = 1 β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
1557, 154pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  RePartciccp 46381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-iccp 46382
This theorem is referenced by:  iccpartlt  46392  iccpartgtl  46394  iccpartgt  46395
  Copyright terms: Public domain W3C validator