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Theorem iccpartigtl 43733
 Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartigtl (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartigtl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4429 . . . 4 𝑖 ∈ ∅ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)
2 oveq2 7138 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = (1..^1))
3 fzo0 13044 . . . . . 6 (1..^1) = ∅
42, 3syl6eq 2872 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = ∅)
54raleqdv 3396 . . . 4 (𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
61, 5mpbiri 261 . . 3 (𝑀 = 1 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
76a1d 25 . 2 (𝑀 = 1 → (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
8 iccpartgtprec.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
9 iccpartgtprec.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
108nnnn0d 11933 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
11 0elfz 12987 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
138, 9, 12iccpartxr 43729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
15 elxr 12489 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ↔ ((𝑃‘0) ∈ ℝ ∨ (𝑃‘0) = +∞ ∨ (𝑃‘0) = -∞))
16 0zd 11971 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
17 elfzouz 13025 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
18 0p1e1 11737 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
1918fveq2i 6646 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
2017, 19eleqtrrdi 2923 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
2120adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
22 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2322eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃𝑘))
2423eleq1d 2896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
2524biimpcd 252 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘0) ∈ ℝ → (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
278adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑀 ∈ ℕ)
289adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29 elfz2nn0 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...𝑖) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖))
30 elfzo2 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀))
31 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 nn0ge0 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑖)
34 0red 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
35 eluzelre 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → 𝑖 ∈ ℝ)
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
37 zre 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3837adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
39 lelttr 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4034, 36, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4140expcomd 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑀 → (0 ≤ 𝑖 → 0 < 𝑀)))
42413impia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (0 ≤ 𝑖 → 0 < 𝑀))
4333, 42syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
44433ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4544imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
46 elnnz 11969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
4732, 45, 46sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
48 nn0re 11884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
4948ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
50 nn0re 11884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
5150adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
5251adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑖 ∈ ℝ)
5338adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
54 lelttr 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑖𝑖 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))
5554expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))
5649, 52, 53, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))
5756exp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))))
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘𝑖 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))))
5958com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑖 < 𝑀 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀)))))
60593imp 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀)))
6160expdcom 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀))))
6261com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑖 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))))
63623imp1 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 < 𝑀)
64 elfzo0 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑀))
6531, 47, 63, 64syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
6665ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6730, 66syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6829, 67sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6968adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
7069impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
71 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ≠ 0)
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ≠ 0)
73 fzo1fzo0n0 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ≠ 0))
7470, 72, 73sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
7574adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
7627, 28, 75iccpartipre 43731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
7776exp32 424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
7877ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
7978imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
8079expdimp 456 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 ≠ 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
8126, 80pm2.61dne 3093 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
828adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
8382ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
849adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8584ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
86 elfzoelz 13021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
8786adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
88 fzoval 13022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → (0..^𝑖) = (0...(𝑖 − 1)))
8988eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (0...(𝑖 − 1)) = (0..^𝑖))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0...(𝑖 − 1)) = (0..^𝑖))
9190eleq2d 2897 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑖)))
92 elfzouz2 13035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑖))
9392adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑖))
94 fzoss2 13048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ𝑖) → (0..^𝑖) ⊆ (0..^𝑀))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0..^𝑖) ⊆ (0..^𝑀))
9695sseld 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0..^𝑖) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
9791, 96sylbid 243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
9897imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
99 iccpartimp 43727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
10083, 85, 98, 99syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
101100simprd 499 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
10216, 21, 81, 101smonoord 43681 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
103102ralrimiva 3170 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
104103ex 416 . . . . . 6 ((𝑃‘0) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
105 lbfzo0 13060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
1068, 105sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
1078, 9, 1063jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
108107ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
109108adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
110 iccpartimp 43727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*m (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
112111simprd 499 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
113 breq1 5042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘0) = +∞ → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
114113adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
115114adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
116112, 115mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
1178ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
118117adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1199ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
120119adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
121 1nn0 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
123 nnnn0 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
124 nnge1 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
125122, 123, 1243jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
127 elfz2nn0 12981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
128126, 127sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
12918, 128eqeltrid 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
130129ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
131130adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
132118, 120, 131iccpartxr 43729 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘(0 + 1)) ∈ ℝ*)
133 pnfnlt 12501 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘(0 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ¬ +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
135116, 134pm2.21dd 198 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
136135ralrimiva 3170 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
137136ex 416 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = +∞ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1388adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1399adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
140 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
141138, 139, 140iccpartipre 43731 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
142 mnflt 12496 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑖) ∈ ℝ → -∞ < (𝑃𝑖))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → -∞ < (𝑃𝑖))
144143ralrimiva 3170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖))
145144ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖))
146 breq1 5042 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘0) = -∞ → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ -∞ < (𝑃𝑖)))
147146adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ -∞ < (𝑃𝑖)))
148147ralbidv 3185 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖)))
149145, 148mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
150149ex 416 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = -∞ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
151104, 137, 1503jaoi 1424 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∨ (𝑃‘0) = +∞ ∨ (𝑃‘0) = -∞) → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
15215, 151sylbi 220 . . . 4 ((𝑃‘0) ∈ ℝ* → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
15314, 152mpcom 38 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
154153expcom 417 . 2 𝑀 = 1 → (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1557, 154pm2.61i 185 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ↑m cmap 8381  ℝcr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  +∞cpnf 10649  -∞cmnf 10650  ℝ*cxr 10651   < clt 10652   ≤ cle 10653   − cmin 10847  ℕcn 11615  ℕ0cn0 11875  ℤcz 11959  ℤ≥cuz 12221  ...cfz 12875  ..^cfzo 13016  RePartciccp 43723 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-iccp 43724 This theorem is referenced by:  iccpartlt  43734  iccpartgtl  43736  iccpartgt  43737
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