Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccpartres 46076
Description: The restriction of a partition is a partition. (Contributed by AV, 16-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
iccpartres ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Proof of Theorem iccpartres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12223 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
2 iccpart 46074 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))))
5 nnz 12578 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 uzid 12836 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8 peano2uz 12884 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
10 fzss2 13540 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1)))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1)))
12 elmapssres 8860 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
134, 11, 12syl2anr 597 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
14 fzoss2 13659 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)))
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)))
16 ssralv 4050 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1817adantld 491 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1918imp 407 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
20 fzossfz 13650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀))
2221sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
23 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2423eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–))
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
27 elfzouz 13635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
29 fzofzp1b 13729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
32 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3433eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))
3525, 34breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3736ralimdva 3167 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3837ex 413 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4039impcom 408 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
4119, 40mpd 15 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))
42 iccpart 46074 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4342adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4413, 41, 43mpbir2and 711 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4544ex 413 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€)))
463, 45sylbid 239 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€)))
4746imp 407 1 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„•cn 12211  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  RePartciccp 46071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-iccp 46072
This theorem is referenced by:  iccelpart  46091
  Copyright terms: Public domain W3C validator