Theorem iccpartres 48321

Description: The restriction of a partition is a partition. (Contributed by AV, 16-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iccpartres	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀))

Proof of Theorem iccpartres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12272	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2		iccpart 48319	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))))
5		nnz 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		uzid 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		peano2uz 12953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		fzss2 13622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 1)))
12		elmapssres 8876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
13	4, 11, 12	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
14		fzoss2 13746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (0..^𝑀) ⊆ (0..^(𝑀 + 1)))
15	9, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^𝑀) ⊆ (0..^(𝑀 + 1)))
16		ssralv 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝑀) ⊆ (0..^(𝑀 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))))
18	17	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))))
19	18	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
20		fzossfz 13737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
22	21	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
23		fvres 6898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
24	23	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖))
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖))
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
27		elfzouz 13722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
29		fzofzp1b 13824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
31	26, 30	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
32		fvres 6898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
34	33	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))
35	25, 34	breq12d 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
36	35	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
37	36	ralimdva 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
38	37	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
40	39	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
41	19, 40	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))
42		iccpart 48319	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀) ↔ ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀) ↔ ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
44	13, 41, 43	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀))
45	44	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀)))
46	3, 45	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1)) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀)))
47	46	imp 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270  ℕcn 12260  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13564  ..^cfzo 13712  RePartciccp 48316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-iccp 48317

This theorem is used by:  iccelpart  48336