Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccpartres 46386
Description: The restriction of a partition is a partition. (Contributed by AV, 16-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
iccpartres ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Proof of Theorem iccpartres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12229 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
2 iccpart 46384 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))))
5 nnz 12584 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 uzid 12842 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8 peano2uz 12890 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
10 fzss2 13546 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1)))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1)))
12 elmapssres 8864 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
134, 11, 12syl2anr 596 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
14 fzoss2 13665 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)))
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)))
16 ssralv 4051 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1817adantld 490 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1918imp 406 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
20 fzossfz 13656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀))
2221sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
23 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2423eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–))
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
27 elfzouz 13641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
29 fzofzp1b 13735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
32 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3433eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))
3525, 34breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3736ralimdva 3166 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3837ex 412 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4039impcom 407 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
4119, 40mpd 15 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))
42 iccpart 46384 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4413, 41, 43mpbir2and 710 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4544ex 412 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€)))
463, 45sylbid 239 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€)))
4746imp 406 1 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  RePartciccp 46381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-iccp 46382
This theorem is referenced by:  iccelpart  46401
  Copyright terms: Public domain W3C validator