Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartres 45700
Description: The restriction of a partition is a partition. (Contributed by AV, 16-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
iccpartres ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))

Proof of Theorem iccpartres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12173 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
2 iccpart 45698 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))))
5 nnz 12528 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 uzid 12786 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8 peano2uz 12834 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
10 fzss2 13490 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1)))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1)))
12 elmapssres 8811 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
134, 11, 12syl2anr 598 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)))
14 fzoss2 13609 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)))
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)))
16 ssralv 4014 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑀) βŠ† (0..^(𝑀 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1817adantld 492 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1918imp 408 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
20 fzossfz 13600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀))
2221sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
23 fvres 6865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2423eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
27 elfzouz 13585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2827adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
29 fzofzp1b 13679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
32 fvres 6865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))
3525, 34breq12d 5122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3736ralimdva 3161 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
3837ex 414 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
3938adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4039impcom 409 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1))))
4119, 40mpd 15 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))
42 iccpart 45698 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4342adantr 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (ℝ* ↑m (0...𝑀)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜π‘–) < ((𝑃 β†Ύ (0...𝑀))β€˜(𝑖 + 1)))))
4413, 41, 43mpbir2and 712 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
4544ex 414 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ (ℝ* ↑m (0...(𝑀 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 + 1))(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€)))
463, 45sylbid 239 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€)))
4746imp 408 1 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑃 β†Ύ (0...𝑀)) ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by:  iccelpart  45715
  Copyright terms: Public domain W3C validator