Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartres 42386
Description: The restriction of a partition is a partition. (Contributed by AV, 16-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
iccpartres ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀))

Proof of Theorem iccpartres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 11388 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2 iccpart 42384 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4 simpl 476 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))))
5 nnz 11751 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 uzid 12007 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8 peano2uz 12047 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
10 fzss2 12698 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 1)))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 1)))
12 elmapssres 8165 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)))
134, 11, 12syl2anr 590 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)))
14 fzoss2 12815 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (0..^𝑀) ⊆ (0..^(𝑀 + 1)))
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^𝑀) ⊆ (0..^(𝑀 + 1)))
16 ssralv 3885 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑀) ⊆ (0..^(𝑀 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))))
1817adantld 486 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))))
1918imp 397 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
20 fzossfz 12807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
2221sselda 3821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
23 fvres 6465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
2423eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖))
26 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
27 elfzouz 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
2827adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
29 fzofzp1b 12885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ‘0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
3126, 30mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
32 fvres 6465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3433eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))
3525, 34breq12d 4899 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
3635biimpd 221 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
3736ralimdva 3144 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
3837ex 403 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
3938adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
4039impcom 398 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1))))
4119, 40mpd 15 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))
42 iccpart 42384 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀) ↔ ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
4342adantr 474 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀) ↔ ((𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘𝑖) < ((𝑃 ↾ (0...𝑀))‘(𝑖 + 1)))))
4413, 41, 43mpbir2and 703 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀))
4544ex 403 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...(𝑀 + 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 1))(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀)))
463, 45sylbid 232 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1)) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀)))
4746imp 397 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘(𝑀 + 1))) → (𝑃 ↾ (0...𝑀)) ∈ (RePart‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wss 3792   class class class wbr 4886  cres 5357  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  *cxr 10410   < clt 10411  cn 11374  cz 11728  cuz 11992  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  RePartciccp 42381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-iccp 42382
This theorem is referenced by:  iccelpart  42401
  Copyright terms: Public domain W3C validator