Theorem r19.2z 4465

Description: Theorem 19.2 of [Margaris] p. 89 with restricted quantifiers (compare 19.2 2003). The restricted version is valid only when the domain of quantification is not empty. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r19.2z	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem r19.2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 3086	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
2		exintr 1919	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
3	1, 2	sylbi 220	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		n0 4315	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5		df-rex 3096	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
6	3, 4, 5	3imtr4g 299	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
7	6	impcom 412	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1565  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∅c0 4294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-dif 3916  df-nul 4295

This theorem is referenced by:  r19.2zb  4466  intssuni  4939  iinssiun  4974  riinn0  5053  iinexg  5319  reusv2lem2  5371  reusv2lem3  5372  xpiindi  5822  cnviin  6288  eusvobj2  7403  iiner  8786  finsschain  9315  cfeq0  10239  cfsuc  10240  iundom2g  10523  alephval2  10556  prlem934  11017  supaddc  12181  supadd  12182  supmul1  12183  supmullem2  12185  supmul  12186  rexfiuz  15398  r19.2uz  15402  climuni  15602  caurcvg  15727  caurcvg2  15728  caucvg  15729  pc2dvds  16938  vdwmc2  17038  vdwlem6  17045  vdwnnlem3  17056  issubg4  19211  gexcl3  19656  lbsextlem2  21260  iincld  23164  opnnei  23245  cncnp2  23406  lmmo  23505  iunconn  23553  ptbasfi  23706  filuni  24010  isfcls  24134  fclsopn  24139  ustfilxp  24338  nrginvrcn  24817  lebnumlem3  25090  cfil3i  25396  caun0  25408  iscmet3  25420  nulmbl2  25663  dyadmax  25725  itg2seq  25869  itg2monolem1  25877  bddiblnc  25969  rolle  26117  c1lip1  26124  taylfval  26487  ulm0  26519  frgrreg  30685  bnj906  35262  cvmliftlem15  35688  dfon2lem6  36176  filnetlem4  36780  itg2addnclem  38209  itg2addnc  38212  itg2gt0cn  38213  ftc1anc  38239  filbcmb  38278  incsequz  38286  isbnd2  38321  isbnd3  38322  ssbnd  38326  unichnidl  38569  iunconnlem2  45534  upbdrech  45915  infxrpnf  46051  iuneqconst2  49485  iineqconst2  49486  iinxp  49493  iinfssc  49719