MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.2z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r19.2z 4436
Description: Theorem 19.2 of [Margaris] p. 89 with restricted quantifiers (compare 19.2 1972). The restricted version is valid only when the domain of quantification is not empty. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
r19.2z ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑥𝐴 𝜑)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem r19.2z
StepHypRef Expression
1 df-ral 3140 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝜑))
2 exintr 1884 . . . 4 (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
31, 2sylbi 218 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝜑 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
4 n0 4307 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
5 df-rex 3141 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
63, 4, 53imtr4g 297 . 2 (∀𝑥𝐴 𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 𝜑))
76impcom 408 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑥𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1526  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  c0 4288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-dif 3936  df-nul 4289
This theorem is referenced by:  r19.2zb  4437  intssuni  4889  iinssiun  4923  riinn0  4996  iinexg  5235  reusv2lem2  5290  reusv2lem3  5291  xpiindi  5699  cnviin  6130  eusvobj2  7138  iiner  8358  finsschain  8819  cfeq0  9666  cfsuc  9667  iundom2g  9950  alephval2  9982  prlem934  10443  supaddc  11596  supadd  11597  supmul1  11598  supmullem2  11600  supmul  11601  rexfiuz  14695  r19.2uz  14699  climuni  14897  caurcvg  15021  caurcvg2  15022  caucvg  15023  pc2dvds  16203  vdwmc2  16303  vdwlem6  16310  vdwnnlem3  16321  issubg4  18236  gexcl3  18641  lbsextlem2  19860  iincld  21575  opnnei  21656  cncnp2  21817  lmmo  21916  iunconn  21964  ptbasfi  22117  filuni  22421  isfcls  22545  fclsopn  22550  ustfilxp  22748  nrginvrcn  23228  lebnumlem3  23494  cfil3i  23799  caun0  23811  iscmet3  23823  nulmbl2  24064  dyadmax  24126  itg2seq  24270  itg2monolem1  24278  rolle  24514  c1lip1  24521  taylfval  24874  ulm0  24906  frgrreg  28100  bnj906  32101  cvmliftlem15  32442  dfon2lem6  32930  filnetlem4  33626  itg2addnclem  34824  itg2addnc  34827  itg2gt0cn  34828  bddiblnc  34843  ftc1anc  34856  filbcmb  34896  incsequz  34904  isbnd2  34942  isbnd3  34943  ssbnd  34947  unichnidl  35190  iunconnlem2  41146  upbdrech  41448  infxrpnf  41597
  Copyright terms: Public domain W3C validator