Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrge0glb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrge0glb 32506
Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is the greatest lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrge0glb.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
infxrge0glb (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem infxrge0glb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrge0glb.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2 iccssxr 13425 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrltso 13138 . . . . . 6 < Or ℝ*
4 soss 5604 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
52, 3, 4mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
7 infxrge0glb.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
8 xrge0infss 32501 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
106, 9, 7infglbb 9500 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝐵))
111, 10mpdan 686 . 2 (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝐵))
12 breq1 5145 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵𝑧 < 𝐵))
1312cbvrexvw 3230 . 2 (∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝐵)
1411, 13bitr4di 289 1 (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  wss 3944   class class class wbr 5142   Or wor 5583  (class class class)co 7414  infcinf 9450  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  *cxr 11263   < clt 11264  [,]cicc 13345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-icc 13349
This theorem is referenced by:  infxrge0gelb  32507
  Copyright terms: Public domain W3C validator