Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrge0glb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrge0glb 30073
Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is the greatest lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrge0glb.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
infxrge0glb (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem infxrge0glb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrge0glb.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2 iccssxr 12551 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrltso 12267 . . . . . 6 < Or ℝ*
4 soss 5284 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
52, 3, 4mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
7 infxrge0glb.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
8 xrge0infss 30068 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
106, 9, 7infglbb 8672 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝐵))
111, 10mpdan 678 . 2 (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝐵))
12 breq1 4878 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵𝑧 < 𝐵))
1312cbvrexv 3384 . 2 (∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝐵)
1411, 13syl6bbr 281 1 (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118  wss 3798   class class class wbr 4875   Or wor 5264  (class class class)co 6910  infcinf 8622  0cc0 10259  +∞cpnf 10395  *cxr 10397   < clt 10398  [,]cicc 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-icc 12477
This theorem is referenced by:  infxrge0gelb  30074
  Copyright terms: Public domain W3C validator