Theorem infxrge0glb 33223

Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is the greatest lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0glb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
infxrge0glb	⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem infxrge0glb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrge0glb.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2		iccssxr 13485	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrltso 13194	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
4		soss 5587	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
5	2, 3, 4	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
7		infxrge0glb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
8		xrge0infss 33218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
10	6, 9, 7	infglbb 9465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝐵))
11	1, 10	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝐵))
12		breq1 5110	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝑧 < 𝐵))
13	12	cbvrexvw 3243	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝐵)
14	11, 13	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   Or wor 5566  (class class class)co 7416  infcinf 9414  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270  [,]cicc 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-icc 13407

This theorem is used by:  infxrge0gelb  33224