MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrgelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrgelb 13320
Description: The infimum of a set of extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrgelb ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infxrgelb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13126 . . . . . 6 < Or ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrinfmss 13295 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 → ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝑦)))
4 id 22 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*)
52, 3, 4infglbb 9488 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
65notbid 318 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
7 ralnex 3066 . . 3 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵)
86, 7bitr4di 289 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
9 id 22 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)
10 infxrcl 13318 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 xrlenlt 11283 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
129, 10, 11syl2anr 596 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
13 simplr 766 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
1514sselda 3977 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1613, 15xrlenltd 11284 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
1716ralbidva 3169 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
188, 12, 173bitr4d 311 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  wss 3943   class class class wbr 5141   Or wor 5580  infcinf 9438  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451
This theorem is referenced by:  infxrre  13321  infxrss  13324  ixxlb  13352  limsuple  15428  limsupval2  15430  imasdsf1olem  24234  nmogelb  24588  metdsf  24719  metdsge  24720  ovolgelb  25364  ovolge0  25365  ovolsslem  25368  ovolicc2  25406  ismblfin  37042  infrpge  44633  infleinf2  44696  infxrgelbrnmpt  44736  inficc  44819  liminfgord  45042  liminflelimsuplem  45063  ovnhoilem2  45890
  Copyright terms: Public domain W3C validator