Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrgelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrgelb 12722
 Description: The infimum of a set of extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrgelb ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infxrgelb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12528 . . . . . 6 < Or ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrinfmss 12697 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 → ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝑦)))
4 id 22 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*)
52, 3, 4infglbb 8949 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
65notbid 320 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
7 ralnex 3236 . . 3 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵)
86, 7syl6bbr 291 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
9 id 22 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)
10 infxrcl 12720 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 xrlenlt 10700 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
129, 10, 11syl2anr 598 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
13 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 simpl 485 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
1514sselda 3966 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1613, 15xrlenltd 10701 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
1716ralbidva 3196 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
188, 12, 173bitr4d 313 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   Or wor 5467  infcinf 8899  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867 This theorem is referenced by:  infxrre  12723  infxrss  12726  ixxlb  12754  limsuple  14829  limsupval2  14831  imasdsf1olem  22977  nmogelb  23319  metdsf  23450  metdsge  23451  ovolgelb  24075  ovolge0  24076  ovolsslem  24079  ovolicc2  24117  ismblfin  34927  infrpge  41612  infleinf2  41681  infxrgelbrnmpt  41723  inficc  41803  liminfgord  42028  liminflelimsuplem  42049  ovnhoilem2  42878
 Copyright terms: Public domain W3C validator