Theorem infxrgelb 13380

Description: The infimum of a set of extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infxrgelb	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infxrgelb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13184	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrinfmss 13354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
4		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5	2, 3, 4	infglbb 9459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
6	5	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
7		ralnex 3093	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵)
8	6, 7	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
9		id 23	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		infxrcl 13378	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		xrlenlt 11291	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
12	9, 10, 11	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
13		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
15	14	sselda 3938	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16	13, 15	xrlenltd 11292	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
17	16	ralbidva 3188	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
18	8, 12, 17	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   Or wor 5570  infcinf 9408  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461

This theorem is used by:  infxrre  13381  infxrss  13384  ixxlb  13412  limsuple  15555  limsupval2  15557  imasdsf1olem  24583  nmogelb  24926  metdsf  25059  metdsge  25060  ovolgelb  25692  ovolge0  25693  ovolsslem  25696  ovolicc2  25734  ismblfin  38371  infrpge  46127  infleinf2  46188  infxrgelbrnmpt  46228  inficc  46310  liminfgord  46528  liminflelimsuplem  46549  ovnhoilem2  47376