Theorem infregelb 12282

Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infregelb	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem infregelb

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11371	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → < Or ℝ)
3		infm3 12257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
4		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	infglbb 9468	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
6	5	notbid 321	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
7		infrecl 12280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	7	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
9	8	ancomd 467	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ))
10		lenlt 11369	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		ssel 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℝ))
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℝ))
15	14	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	12, 15	lenltd 11437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
17	16	ralbidva 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
18	17	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
19		ralnex 3089	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵)
20	18, 19	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
21	6, 11, 20	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤))
22		breq2 5107	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ 𝐵 ≤ 𝑧))
23	22	cbvralvw 3241	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧)
24	21, 23	bitrdi 290	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   Or wor 5558  infcinf 9417  ℝcr 11180   < clt 11324   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  infxrre  13448  minveclem2  25727  minveclem3b  25729  minveclem4  25733  minveclem6  25735  pilem2  26761  pilem3  26762  pntlem3  27918  minvecolem2  31459  minvecolem4  31464  minvecolem5  31465  minvecolem6  31466  taupi  38212  infmrgelbi  43838