Theorem infregelb 12138

Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infregelb	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infregelb

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11225	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → < Or ℝ)
3		infm3 12113	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
4		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	infglbb 9407	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
6	5	notbid 318	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
7		infrecl 12136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	7	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
9	8	ancomd 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ))
10		lenlt 11223	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
12		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		ssel 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℝ))
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℝ))
15	14	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	12, 15	lenltd 11291	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
17	16	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
18	17	3ad2antl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
19		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵)
20	18, 19	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
21	6, 11, 20	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤))
22		breq2 5104	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ 𝐵 ≤ 𝑧))
23	22	cbvralvw 3216	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧)
24	21, 23	bitrdi 287	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100   Or wor 5539  infcinf 9356  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  infxrre  13264  minveclem2  25394  minveclem3b  25396  minveclem4  25400  minveclem6  25402  pilem2  26430  pilem3  26431  pntlem3  27588  minvecolem2  30962  minvecolem4  30967  minvecolem5  30968  minvecolem6  30969  taupi  37572  infmrgelbi  43229