Theorem infregelb 12250

Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infregelb	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infregelb

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11339	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → < Or ℝ)
3		infm3 12225	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
4		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	infglbb 9529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
6	5	notbid 318	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
7		infrecl 12248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	7	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
9	8	ancomd 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ))
10		lenlt 11337	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
12		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		ssel 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℝ))
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℝ))
15	14	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	12, 15	lenltd 11405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
17	16	ralbidva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
18	17	3ad2antl1 1184	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
19		ralnex 3070	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵)
20	18, 19	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝐵))
21	6, 11, 20	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤))
22		breq2 5152	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ 𝐵 ≤ 𝑧))
23	22	cbvralvw 3235	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧)
24	21, 23	bitrdi 287	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   Or wor 5596  infcinf 9479  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  infxrre  13375  minveclem2  25474  minveclem3b  25476  minveclem4  25480  minveclem6  25482  pilem2  26511  pilem3  26512  pntlem3  27668  minvecolem2  30904  minvecolem4  30909  minvecolem5  30910  minvecolem6  30911  taupi  37306  infmrgelbi  42866