MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem4 10396
Description: Lemma for isfin3-2 10407. Being a chain, difference sets are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
isf32lem4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem4
StepHypRef Expression
1 simplrr 778 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
2 simplrl 777 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3 simpr 484 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 simplll 775 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝜑)
5 incom 4209 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = (((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)))
6 isf32lem.a . . . . 5 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7 isf32lem.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
8 isf32lem.c . . . . 5 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
96, 7, 8isf32lem3 10395 . . . 4 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝜑)) → (((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴))) = ∅)
105, 9eqtrid 2789 . . 3 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
111, 2, 3, 4, 10syl22anc 839 . 2 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
12 simplrl 777 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
13 simplrr 778 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
14 simpr 484 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
15 simplll 775 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝜑)
166, 7, 8isf32lem3 10395 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
1712, 13, 14, 15, 16syl22anc 839 . 2 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
18 simplr 769 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴𝐵)
19 nnord 7895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
20 nnord 7895 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
21 ordtri3 6420 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2322adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2423necon2abid 2983 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
2518, 24mpbird 257 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2611, 17, 25mpjaodan 961 1 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cint 4946  ran crn 5686  Ord word 6383  suc csuc 6386  wf 6557  cfv 6561  ωcom 7887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fv 6569  df-om 7888
This theorem is referenced by:  isf32lem7  10399
  Copyright terms: Public domain W3C validator