Theorem isf32lem4 10278

Description: Lemma for isfin3-2 10289. Being a chain, difference sets are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 778	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
2		simplrl 777	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simplll 775	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜑)
5		incom 4163	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = (((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)))
6		isf32lem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7		isf32lem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
8		isf32lem.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
9	6, 7, 8	isf32lem3 10277	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴))) = ∅)
10	5, 9	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
11	1, 2, 3, 4, 10	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
12		simplrl 777	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
13		simplrr 778	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
15		simplll 775	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)
16	6, 7, 8	isf32lem3 10277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
17	12, 13, 14, 15, 16	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
18		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		nnord 7826	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
20		nnord 7826	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
21		ordtri3 6361	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
22	19, 20, 21	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
24	23	necon2abid 2975	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
25	18, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	11, 17, 25	mpjaodan 961	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ∩ cint 4904  ran crn 5633  Ord word 6324  suc csuc 6327  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ωcom 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fv 6508  df-om 7819

This theorem is referenced by:  isf32lem7  10281