Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem4 9776
 Description: Lemma for isfin3-2 9787. Being a chain, difference sets are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
isf32lem4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem4
StepHypRef Expression
1 simplrr 777 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
2 simplrl 776 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3 simpr 488 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 simplll 774 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝜑)
5 incom 4163 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = (((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)))
6 isf32lem.a . . . . 5 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7 isf32lem.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
8 isf32lem.c . . . . 5 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
96, 7, 8isf32lem3 9775 . . . 4 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝜑)) → (((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴))) = ∅)
105, 9syl5eq 2871 . . 3 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
111, 2, 3, 4, 10syl22anc 837 . 2 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
12 simplrl 776 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
13 simplrr 777 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
14 simpr 488 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
15 simplll 774 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝜑)
166, 7, 8isf32lem3 9775 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
1712, 13, 14, 15, 16syl22anc 837 . 2 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
18 simplr 768 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴𝐵)
19 nnord 7582 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
20 nnord 7582 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
21 ordtri3 6214 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2219, 20, 21syl2an 598 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2322adantl 485 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2423necon2abid 3056 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
2518, 24mpbird 260 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2611, 17, 25mpjaodan 956 1 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133   ∖ cdif 3916   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  𝒫 cpw 4522  ∩ cint 4862  ran crn 5543  Ord word 6177  suc csuc 6180  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  ωcom 7574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-tr 5159  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fv 6351  df-om 7575 This theorem is referenced by:  isf32lem7  9779
 Copyright terms: Public domain W3C validator