MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem4 10353
Description: Lemma for isfin3-2 10364. Being a chain, difference sets are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
isf32lem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
isf32lem.c (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
isf32lem4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)) ∩ ((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡))) = βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem isf32lem4
StepHypRef Expression
1 simplrr 775 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ Ο‰)
2 simplrl 774 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ Ο‰)
3 simpr 484 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4 simplll 772 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
5 incom 4196 . . . 4 (((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)) ∩ ((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡))) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡)) ∩ ((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)))
6 isf32lem.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
7 isf32lem.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
8 isf32lem.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
96, 7, 8isf32lem3 10352 . . . 4 (((𝐡 ∈ Ο‰ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ πœ‘)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡)) ∩ ((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴))) = βˆ…)
105, 9eqtrid 2778 . . 3 (((𝐡 ∈ Ο‰ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ πœ‘)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)) ∩ ((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡))) = βˆ…)
111, 2, 3, 4, 10syl22anc 836 . 2 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)) ∩ ((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡))) = βˆ…)
12 simplrl 774 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ Ο‰)
13 simplrr 775 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ Ο‰)
14 simpr 484 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
15 simplll 772 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ πœ‘)
166, 7, 8isf32lem3 10352 . . 3 (((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ πœ‘)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)) ∩ ((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡))) = βˆ…)
1712, 13, 14, 15, 16syl22anc 836 . 2 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)) ∩ ((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡))) = βˆ…)
18 simplr 766 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
19 nnord 7860 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝐴)
20 nnord 7860 . . . . . 6 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝐡)
21 ordtri3 6394 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐡) β†’ (𝐴 = 𝐡 ↔ Β¬ (𝐴 ∈ 𝐡 ∨ 𝐡 ∈ 𝐴)))
2219, 20, 21syl2an 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 = 𝐡 ↔ Β¬ (𝐴 ∈ 𝐡 ∨ 𝐡 ∈ 𝐴)))
2322adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (𝐴 = 𝐡 ↔ Β¬ (𝐴 ∈ 𝐡 ∨ 𝐡 ∈ 𝐴)))
2423necon2abid 2977 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((𝐴 ∈ 𝐡 ∨ 𝐡 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 β‰  𝐡))
2518, 24mpbird 257 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 ∨ 𝐡 ∈ 𝐴))
2611, 17, 25mpjaodan 955 1 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐴)) ∩ ((πΉβ€˜π΅) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝐡))) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βˆ© cint 4943  ran crn 5670  Ord word 6357  suc csuc 6360  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  Ο‰com 7852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fv 6545  df-om 7853
This theorem is referenced by:  isf32lem7  10356
  Copyright terms: Public domain W3C validator