Theorem isf32lem4 10379

Description: Lemma for isfin3-2 10390. Being a chain, difference sets are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 776	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
2		simplrl 775	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3		simpr 483	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simplll 773	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜑)
5		incom 4195	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = (((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)))
6		isf32lem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7		isf32lem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
8		isf32lem.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
9	6, 7, 8	isf32lem3 10378	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴))) = ∅)
10	5, 9	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
11	1, 2, 3, 4, 10	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
12		simplrl 775	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
13		simplrr 776	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
14		simpr 483	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
15		simplll 773	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)
16	6, 7, 8	isf32lem3 10378	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
17	12, 13, 14, 15, 16	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
18		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		nnord 7876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
20		nnord 7876	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
21		ordtri3 6400	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
22	19, 20, 21	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
23	22	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
24	23	necon2abid 2973	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
25	18, 24	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	11, 17, 25	mpjaodan 956	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051   ∖ cdif 3936   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  ∩ cint 4944  ran crn 5673  Ord word 6363  suc csuc 6366  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ωcom 7868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fv 6551  df-om 7869

This theorem is referenced by:  isf32lem7  10382