Theorem isf32lem7 10428

Description: Lemma for isfin3-2 10436. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem7	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐵   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑦,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6921	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 10426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 10396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 7021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	15	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
17	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω⟶𝑆)
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
19		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
22		suceq 6461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
23	22	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
24	21, 23	difeq12d 4150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
27	26	difexi 5348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
29	20, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
30	16, 29	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	2, 30	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32	1	fveq1i 6921	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐵) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵)
33		fvco3 7021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
34	13, 33	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
35	34	ad2ant2rl 748	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
37		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
38	17, 36, 37	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
39		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐵)))
40		suceq 6461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐵))
41	40	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))
42	39, 41	difeq12d 4150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
43		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∈ V
44	43	difexi 5348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))) ∈ V
45	42, 25, 44	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
46	38, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
47	35, 46	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
48	32, 47	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
49	31, 48	ineq12d 4242	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))))
50		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝜑)
51		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
52		f1of1 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
53	11, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
54	53	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
55		f1fveq 7299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω–1-1→𝑆 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
56	54, 55	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
57	56	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
58	57	necon3d 2967	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)))
59	51, 58	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵))
60	4, 20	sselid 4006	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ ω)
61	4, 38	sselid 4006	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ ω)
62	5, 6, 7	isf32lem4 10425	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)) ∧ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐽‘𝐵) ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
63	50, 59, 60, 61, 62	syl22anc 838	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
64	49, 63	eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∩ cint 4970   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ∘ ccom 5704  suc csuc 6397  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  ωcom 7903   ≈ cen 9000  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10430