MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem7 10116
Description: Lemma for isfin3-2 10124. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐵   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑦,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem7
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . . 5 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6772 . . . 4 (𝐾𝐴) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3 isf32lem.d . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
43ssrab3 4020 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ω
5 isf32lem.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6 isf32lem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
7 isf32lem.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
85, 6, 7, 3isf32lem5 10114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9 isf32lem.e . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
109fin23lem22 10084 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
114, 8, 10sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
12 f1of 6714 . . . . . . . 8 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω⟶𝑆)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽:ω⟶𝑆)
14 fvco3 6864 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1513, 14sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1615ad2ant2r 744 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1713adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐽:ω⟶𝑆)
18 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
19 ffvelrn 6956 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
21 fveq2 6771 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
22 suceq 6330 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐽𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐴))
2322fveq2d 6775 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
2421, 23difeq12d 4063 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
25 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26 fvex 6784 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V
2726difexi 5256 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 6872 . . . . . 6 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
2920, 28syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
3016, 29eqtrd 2780 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
312, 30eqtrid 2792 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
321fveq1i 6772 . . . 4 (𝐾𝐵) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵)
33 fvco3 6864 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐵 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
3413, 33sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
3534ad2ant2rl 746 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
36 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
37 ffvelrn 6956 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐵 ∈ ω) → (𝐽𝐵) ∈ 𝑆)
3817, 36, 37syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐵) ∈ 𝑆)
39 fveq2 6771 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐵) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐵)))
40 suceq 6330 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐽𝐵) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐵))
4140fveq2d 6775 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐵) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))
4239, 41difeq12d 4063 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐵) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
43 fvex 6784 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝐽𝐵)) ∈ V
4443difexi 5256 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))) ∈ V
4542, 25, 44fvmpt 6872 . . . . . 6 ((𝐽𝐵) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4638, 45syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4735, 46eqtrd 2780 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4832, 47eqtrid 2792 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾𝐵) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4931, 48ineq12d 4153 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))))
50 simpll 764 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝜑)
51 simplr 766 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴𝐵)
52 f1of1 6713 . . . . . . . . 9 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω–1-1𝑆)
5311, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:ω–1-1𝑆)
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐽:ω–1-1𝑆)
55 f1fveq 7132 . . . . . . 7 ((𝐽:ω–1-1𝑆 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5654, 55sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5756biimpd 228 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
5857necon3d 2966 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴𝐵 → (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵)))
5951, 58mpd 15 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵))
604, 20sselid 3924 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ∈ ω)
614, 38sselid 3924 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐵) ∈ ω)
625, 6, 7isf32lem4 10113 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵)) ∧ ((𝐽𝐴) ∈ ω ∧ (𝐽𝐵) ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))) = ∅)
6350, 59, 60, 61, 62syl22anc 836 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))) = ∅)
6449, 63eqtrd 2780 1 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  {crab 3070  cdif 3889  cin 3891  wss 3892  wpss 3893  c0 4262  𝒫 cpw 4539   cint 4885   class class class wbr 5079  cmpt 5162  ran crn 5591  ccom 5594  suc csuc 6267  wf 6428  1-1wf1 6429  1-1-ontowf1o 6431  cfv 6432  crio 7227  ωcom 7706  cen 8713  Fincfn 8716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-card 9698
This theorem is referenced by:  isf32lem9  10118
  Copyright terms: Public domain W3C validator