Theorem isf32lem7 10338

Description: Lemma for isfin3-2 10346. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem7	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐵   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑦,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6882	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 10336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 10306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 6981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	15	ad2ant2r 759	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
17	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω⟶𝑆)
18		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
19		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
22		suceq 6429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
23	22	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
24	21, 23	difeq12d 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
27	26	difexi 5301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
29	20, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
30	16, 29	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	2, 30	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32	1	fveq1i 6882	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐵) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵)
33		fvco3 6981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
34	13, 33	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
35	34	ad2ant2rl 761	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
36		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
37		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
38	17, 36, 37	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
39		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐵)))
40		suceq 6429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐵))
41	40	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))
42	39, 41	difeq12d 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
43		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∈ V
44	43	difexi 5301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))) ∈ V
45	42, 25, 44	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
46	38, 45	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
47	35, 46	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
48	32, 47	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
49	31, 48	ineq12d 4174	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))))
50		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝜑)
51		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
52		f1of1 6819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
53	11, 52	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
54	53	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
55		f1fveq 7260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω–1-1→𝑆 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
56	54, 55	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
57	56	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
58	57	necon3d 2979	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)))
59	51, 58	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵))
60	4, 20	sselid 3935	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ ω)
61	4, 38	sselid 3935	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ ω)
62	5, 6, 7	isf32lem4 10335	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)) ∧ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐽‘𝐵) ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
63	50, 59, 60, 61, 62	syl22anc 851	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
64	49, 63	eqtrd 2798	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  ∩ cint 4912   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662   ∘ ccom 5665  suc csuc 6362  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  ωcom 7858   ≈ cen 8936  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10340