Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem7 9516
 Description: Lemma for isfin3-2 9524. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐵   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑦,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem7
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . . 5 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6447 . . . 4 (𝐾𝐴) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3 isf32lem.d . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
43ssrab3 3909 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ω
5 isf32lem.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6 isf32lem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
7 isf32lem.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
85, 6, 7, 3isf32lem5 9514 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9 isf32lem.e . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
109fin23lem22 9484 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
114, 8, 10sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
12 f1of 6391 . . . . . . . 8 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω⟶𝑆)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽:ω⟶𝑆)
14 fvco3 6535 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1513, 14sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1615ad2ant2r 737 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1713adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐽:ω⟶𝑆)
18 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
19 ffvelrn 6621 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
2017, 18, 19syl2an 589 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
21 fveq2 6446 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
22 suceq 6041 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐽𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐴))
2322fveq2d 6450 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
2421, 23difeq12d 3952 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
25 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26 fvex 6459 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V
2726difexi 5046 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 6542 . . . . . 6 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
2920, 28syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
3016, 29eqtrd 2814 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
312, 30syl5eq 2826 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
321fveq1i 6447 . . . 4 (𝐾𝐵) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵)
33 fvco3 6535 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐵 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
3413, 33sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
3534ad2ant2rl 739 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
36 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
37 ffvelrn 6621 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐵 ∈ ω) → (𝐽𝐵) ∈ 𝑆)
3817, 36, 37syl2an 589 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐵) ∈ 𝑆)
39 fveq2 6446 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐵) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐵)))
40 suceq 6041 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐽𝐵) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐵))
4140fveq2d 6450 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐵) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))
4239, 41difeq12d 3952 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐵) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
43 fvex 6459 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝐽𝐵)) ∈ V
4443difexi 5046 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))) ∈ V
4542, 25, 44fvmpt 6542 . . . . . 6 ((𝐽𝐵) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4638, 45syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4735, 46eqtrd 2814 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4832, 47syl5eq 2826 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾𝐵) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4931, 48ineq12d 4038 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))))
50 simpll 757 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝜑)
51 simplr 759 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴𝐵)
52 f1of1 6390 . . . . . . . . 9 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω–1-1𝑆)
5311, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:ω–1-1𝑆)
5453adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐽:ω–1-1𝑆)
55 f1fveq 6791 . . . . . . 7 ((𝐽:ω–1-1𝑆 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5654, 55sylan 575 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5756biimpd 221 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
5857necon3d 2990 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴𝐵 → (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵)))
5951, 58mpd 15 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵))
604, 20sseldi 3819 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ∈ ω)
614, 38sseldi 3819 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐵) ∈ ω)
625, 6, 7isf32lem4 9513 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵)) ∧ ((𝐽𝐴) ∈ ω ∧ (𝐽𝐵) ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))) = ∅)
6350, 59, 60, 61, 62syl22anc 829 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))) = ∅)
6449, 63eqtrd 2814 1 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  {crab 3094   ∖ cdif 3789   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792   ⊊ wpss 3793  ∅c0 4141  𝒫 cpw 4379  ∩ cint 4710   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ran crn 5356   ∘ ccom 5359  suc csuc 5978  ⟶wf 6131  –1-1→wf1 6132  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  ℩crio 6882  ωcom 7343   ≈ cen 8238  Fincfn 8241 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098 This theorem is referenced by:  isf32lem9  9518
 Copyright terms: Public domain W3C validator