Theorem isf32lem7 10343

Description: Lemma for isfin3-2 10351. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem7	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐵   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑦,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6883	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4044	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 10341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 10311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	15	ad2ant2r 759	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
17	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω⟶𝑆)
18		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
19		ffvelcdm 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
22		suceq 6430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
23	22	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
24	21, 23	difeq12d 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
27	26	difexi 5301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
29	20, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
30	16, 29	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	2, 30	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32	1	fveq1i 6883	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐵) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵)
33		fvco3 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
34	13, 33	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
35	34	ad2ant2rl 761	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
36		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
37		ffvelcdm 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
38	17, 36, 37	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
39		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐵)))
40		suceq 6430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐵))
41	40	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))
42	39, 41	difeq12d 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
43		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∈ V
44	43	difexi 5301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))) ∈ V
45	42, 25, 44	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
46	38, 45	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
47	35, 46	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
48	32, 47	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
49	31, 48	ineq12d 4182	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))))
50		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝜑)
51		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
52		f1of1 6820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
53	11, 52	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
54	53	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
55		f1fveq 7261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω–1-1→𝑆 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
56	54, 55	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
57	56	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
58	57	necon3d 2985	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)))
59	51, 58	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵))
60	4, 20	sselid 3943	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ ω)
61	4, 38	sselid 3943	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ ω)
62	5, 6, 7	isf32lem4 10340	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)) ∧ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐽‘𝐵) ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
63	50, 59, 60, 61, 62	syl22anc 851	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
64	49, 63	eqtrd 2804	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  ∩ cint 4916   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663   ∘ ccom 5666  suc csuc 6363  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  ωcom 7862   ≈ cen 8940  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10345