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Theorem isf32lem7 10356
Description: Lemma for isfin3-2 10364. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
isf32lem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
isf32lem.c (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∩ (πΎβ€˜π΅)) = βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝐡   𝑣,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,πœ‘   𝑀,𝐴,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑆,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑒)   𝐡(𝑦,𝑣,𝑒)   𝐹(𝑣,𝑒)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem isf32lem7
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . . 5 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6892 . . . 4 (πΎβ€˜π΄) = (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄)
3 isf32lem.d . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
43ssrab3 4080 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† Ο‰
5 isf32lem.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
6 isf32lem.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
7 isf32lem.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
85, 6, 7, 3isf32lem5 10354 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
9 isf32lem.e . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
109fin23lem22 10324 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† Ο‰ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
114, 8, 10sylancr 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
14 fvco3 6990 . . . . . . 7 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)))
1513, 14sylan 580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)))
1615ad2ant2r 745 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)))
1713adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
18 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ Ο‰)
19 ffvelcdm 7083 . . . . . . 7 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (π½β€˜π΄) ∈ 𝑆)
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (π½β€˜π΄) ∈ 𝑆)
21 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
22 suceq 6430 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ suc 𝑀 = suc (π½β€˜π΄))
2322fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)))
2421, 23difeq12d 4123 . . . . . . 7 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) = (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))
26 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∈ V
2726difexi 5328 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 6998 . . . . . 6 ((π½β€˜π΄) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
2920, 28syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
3016, 29eqtrd 2772 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
312, 30eqtrid 2784 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (πΎβ€˜π΄) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
321fveq1i 6892 . . . 4 (πΎβ€˜π΅) = (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΅)
33 fvco3 6990 . . . . . . 7 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΅) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΅)))
3413, 33sylan 580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΅) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΅)))
3534ad2ant2rl 747 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΅) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΅)))
36 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ 𝐡 ∈ Ο‰)
37 ffvelcdm 7083 . . . . . . 7 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (π½β€˜π΅) ∈ 𝑆)
3817, 36, 37syl2an 596 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (π½β€˜π΅) ∈ 𝑆)
39 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π½β€˜π΅) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π½β€˜π΅)))
40 suceq 6430 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π½β€˜π΅) β†’ suc 𝑀 = suc (π½β€˜π΅))
4140fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π½β€˜π΅) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅)))
4239, 41difeq12d 4123 . . . . . . 7 (𝑀 = (π½β€˜π΅) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅))))
43 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) ∈ V
4443difexi 5328 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅))) ∈ V
4542, 25, 44fvmpt 6998 . . . . . 6 ((π½β€˜π΅) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅))))
4638, 45syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅))))
4735, 46eqtrd 2772 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΅) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅))))
4832, 47eqtrid 2784 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (πΎβ€˜π΅) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅))))
4931, 48ineq12d 4213 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∩ (πΎβ€˜π΅)) = (((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) ∩ ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅)))))
50 simpll 765 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ πœ‘)
51 simplr 767 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
52 f1of1 6832 . . . . . . . . 9 (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 β†’ 𝐽:ω–1-1→𝑆)
5311, 52syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽:ω–1-1→𝑆)
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐽:ω–1-1→𝑆)
55 f1fveq 7263 . . . . . . 7 ((𝐽:ω–1-1→𝑆 ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((π½β€˜π΄) = (π½β€˜π΅) ↔ 𝐴 = 𝐡))
5654, 55sylan 580 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((π½β€˜π΄) = (π½β€˜π΅) ↔ 𝐴 = 𝐡))
5756biimpd 228 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((π½β€˜π΄) = (π½β€˜π΅) β†’ 𝐴 = 𝐡))
5857necon3d 2961 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (π½β€˜π΄) β‰  (π½β€˜π΅)))
5951, 58mpd 15 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (π½β€˜π΄) β‰  (π½β€˜π΅))
604, 20sselid 3980 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (π½β€˜π΄) ∈ Ο‰)
614, 38sselid 3980 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (π½β€˜π΅) ∈ Ο‰)
625, 6, 7isf32lem4 10353 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π½β€˜π΄) β‰  (π½β€˜π΅)) ∧ ((π½β€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (π½β€˜π΅) ∈ Ο‰)) β†’ (((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) ∩ ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅)))) = βˆ…)
6350, 59, 60, 61, 62syl22anc 837 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ (((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) ∩ ((πΉβ€˜(π½β€˜π΅)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΅)))) = βˆ…)
6449, 63eqtrd 2772 1 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰)) β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∩ (πΎβ€˜π΅)) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆ© cint 4950   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  suc csuc 6366  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936
This theorem is referenced by:  isf32lem9  10358
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