Theorem isfin3-2 10258

Description: Weakly Dedekind-infinite sets are exactly those which can be mapped onto ω. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin3-2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinIII ↔ ¬ ω ≼* 𝐴))

Proof of Theorem isfin3-2

Dummy variables 𝑎 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin32i 10256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)
2		isf33lem 10257	. . 3 ⊢ FinIII = {𝑔 ∣ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝑔 ↑m ω)(∀𝑥 ∈ ω (𝑎‘suc 𝑥) ⊆ (𝑎‘𝑥) → ∩ ran 𝑎 ∈ ran 𝑎)}
3	2	isf32lem12 10255	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ ω ≼* 𝐴 → 𝐴 ∈ FinIII))
4	1, 3	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinIII ↔ ¬ ω ≼* 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ωcom 7796   ≼^* cwdom 9450  Fin^IIIcfin3 10172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-seqom 8367  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-wdom 9451  df-card 9832  df-fin4 10178  df-fin3 10179

This theorem is referenced by:  fin1a2lem7  10297