MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem5 10298
Description: Lemma for isfin3-2 10308. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
isf32lem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
isf32lem.c (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
Assertion
Ref Expression
isf32lem5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,πœ‘   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
2 isf32lem.b . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
3 isf32lem.c . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
41, 2, 3isf32lem2 10295 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
54ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
6 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
76ssrab3 4041 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† Ο‰
8 nnunifi 9241 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† Ο‰ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰)
97, 8mpan 689 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰)
109adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰)
11 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ 𝑆 β†’ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆)
12 nnon 7809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ On)
13 omsson 7807 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο‰ βŠ† On
1413, 10sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ On)
15 ontri1 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ On) β†’ (𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ Β¬ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
1612, 14, 15syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ Β¬ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
1711, 16imbitrid 243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 ∈ 𝑆 β†’ Β¬ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
1817con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 β†’ Β¬ 𝑏 ∈ 𝑆))
1918impr 456 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ 𝑆)
206eleq2i 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)})
2119, 20sylnib 328 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)})
22 suceq 6384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 β†’ suc 𝑦 = suc 𝑏)
2322fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜suc 𝑏))
24 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘))
2523, 24psseq12d 4055 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
2625elrab3 3647 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)} ↔ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)} ↔ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
2821, 27mtbid 324 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))
2928expr 458 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 β†’ Β¬ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
30 imnan 401 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 β†’ Β¬ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ Β¬ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
3129, 30sylib 217 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
3231nrexdv 3143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
33 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑏 ↔ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
3433anbi1d 631 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
3534rexbidv 3172 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
3635notbid 318 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
3736rspcev 3580 . . . . 5 ((βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ Ο‰ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
3810, 32, 37syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ Ο‰ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
39 rexnal 3100 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ Ο‰ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
4038, 39sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
4140ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ Fin β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
425, 41mt2d 136 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3911   ⊊ wpss 3912  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  βˆ© cint 4908  ran crn 5635  Oncon0 6318  suc csuc 6320  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-en 8887  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  isf32lem6  10299  isf32lem7  10300  isf32lem8  10301
  Copyright terms: Public domain W3C validator