MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem5 10354
Description: Lemma for isfin3-2 10364. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
isf32lem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
isf32lem.c (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
Assertion
Ref Expression
isf32lem5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,πœ‘   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
2 isf32lem.b . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
3 isf32lem.c . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
41, 2, 3isf32lem2 10351 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
54ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
6 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
76ssrab3 4080 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† Ο‰
8 nnunifi 9296 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† Ο‰ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰)
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰)
109adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰)
11 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ 𝑆 β†’ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆)
12 nnon 7863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ On)
13 omsson 7861 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο‰ βŠ† On
1413, 10sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ On)
15 ontri1 6398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ On) β†’ (𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ Β¬ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
1612, 14, 15syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ Β¬ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
1711, 16imbitrid 243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 ∈ 𝑆 β†’ Β¬ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
1817con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 β†’ Β¬ 𝑏 ∈ 𝑆))
1918impr 455 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ 𝑆)
206eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)})
2119, 20sylnib 327 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)})
22 suceq 6430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 β†’ suc 𝑦 = suc 𝑏)
2322fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜suc 𝑏))
24 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘))
2523, 24psseq12d 4094 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
2625elrab3 3684 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)} ↔ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
2726ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)} ↔ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
2821, 27mtbid 323 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))
2928expr 457 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 β†’ Β¬ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
30 imnan 400 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 β†’ Β¬ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ Β¬ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
3129, 30sylib 217 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
3231nrexdv 3149 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
33 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑏 ↔ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏))
3433anbi1d 630 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
3534rexbidv 3178 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
3635notbid 317 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆͺ 𝑆 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
3736rspcev 3612 . . . . 5 ((βˆͺ 𝑆 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ Ο‰ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
3810, 32, 37syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ Ο‰ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
39 rexnal 3100 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ Ο‰ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
4038, 39sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘)))
4140ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ Fin β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ (π‘Ž ∈ 𝑏 ∧ (πΉβ€˜suc 𝑏) ⊊ (πΉβ€˜π‘))))
425, 41mt2d 136 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  ran crn 5677  Oncon0 6364  suc csuc 6366  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7857  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-en 8942  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  isf32lem6  10355  isf32lem7  10356  isf32lem8  10357
  Copyright terms: Public domain W3C validator