MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem5 9432
Description: Lemma for isfin3-2 9442. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
Assertion
Ref Expression
isf32lem5 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2 isf32lem.b . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
3 isf32lem.c . . . 4 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
41, 2, 3isf32lem2 9429 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
54ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
6 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
7 ssrab2 3847 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ⊆ ω
86, 7eqsstri 3795 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
9 nnunifi 8418 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
108, 9mpan 681 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ω)
1110adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
12 elssuni 4625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆𝑏 𝑆)
13 nnon 7269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
14 omsson 7267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ω ⊆ On
1514, 11sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ On)
16 ontri1 5942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑆 ∈ On) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1713, 15, 16syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1812, 17syl5ib 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏𝑆 → ¬ 𝑆𝑏))
1918con2d 131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ 𝑏𝑆))
2019impr 446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏𝑆)
216eleq2i 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑆𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
2220, 21sylnib 319 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
23 suceq 5973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → suc 𝑦 = suc 𝑏)
2423fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc 𝑏))
25 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2624, 25psseq12d 3862 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2726elrab3 3521 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ω → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2827ad2antrl 719 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2922, 28mtbid 315 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))
3029expr 448 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
31 imnan 388 . . . . . . 7 (( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3230, 31sylib 209 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3332nrexdv 3147 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
34 eleq1 2832 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑆 → (𝑎𝑏 𝑆𝑏))
3534anbi1d 623 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑆 → ((𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3635rexbidv 3199 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑆 → (∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3736notbid 309 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑆 → (¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3837rspcev 3461 . . . . 5 (( 𝑆 ∈ ω ∧ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3911, 33, 38syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
40 rexnal 3141 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4139, 40sylib 209 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4241ex 401 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
435, 42mt2d 133 1 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3732  wpss 3733  𝒫 cpw 4315   cuni 4594   cint 4633  ran crn 5278  Oncon0 5908  suc csuc 5910  wf 6064  cfv 6068  ωcom 7263  Fincfn 8160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-om 7264  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-fin 8164
This theorem is referenced by:  isf32lem6  9433  isf32lem7  9434  isf32lem8  9435
  Copyright terms: Public domain W3C validator