Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem5 9771
 Description: Lemma for isfin3-2 9781. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
Assertion
Ref Expression
isf32lem5 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2 isf32lem.b . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
3 isf32lem.c . . . 4 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
41, 2, 3isf32lem2 9768 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
54ralrimiva 3180 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
6 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
76ssrab3 4055 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
8 nnunifi 8761 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ω)
109adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
11 elssuni 4859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆𝑏 𝑆)
12 nnon 7578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
13 omsson 7576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ω ⊆ On
1413, 10sseldi 3963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ On)
15 ontri1 6218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑆 ∈ On) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1612, 14, 15syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1711, 16syl5ib 246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏𝑆 → ¬ 𝑆𝑏))
1817con2d 136 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ 𝑏𝑆))
1918impr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏𝑆)
206eleq2i 2902 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑆𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
2119, 20sylnib 330 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
22 suceq 6249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → suc 𝑦 = suc 𝑏)
2322fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc 𝑏))
24 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2523, 24psseq12d 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2625elrab3 3679 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ω → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2726ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2821, 27mtbid 326 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))
2928expr 459 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
30 imnan 402 . . . . . . 7 (( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3129, 30sylib 220 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3231nrexdv 3268 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
33 eleq1 2898 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑆 → (𝑎𝑏 𝑆𝑏))
3433anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑆 → ((𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3534rexbidv 3295 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑆 → (∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3635notbid 320 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑆 → (¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3736rspcev 3621 . . . . 5 (( 𝑆 ∈ ω ∧ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3810, 32, 37syl2anc 586 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
39 rexnal 3236 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4038, 39sylib 220 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4140ex 415 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
425, 41mt2d 138 1 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  {crab 3140   ⊆ wss 3934   ⊊ wpss 3935  𝒫 cpw 4537  ∪ cuni 4830  ∩ cint 4867  ran crn 5549  Oncon0 6184  suc csuc 6186  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  ωcom 7572  Fincfn 8501 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-fin 8505 This theorem is referenced by:  isf32lem6  9772  isf32lem7  9773  isf32lem8  9774
 Copyright terms: Public domain W3C validator