MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem3 10395
Description: Lemma for isfin3-2 10407. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
isf32lem3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4131 . . . 4 (𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹𝐴))
2 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3 peano2 7912 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
43ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5 nnord 7895 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
65ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → Ord 𝐴)
7 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝐵𝐴)
8 ordsucss 7838 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
96, 7, 8sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → suc 𝐵𝐴)
10 simprr 773 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝜑)
11 isf32lem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12 isf32lem.b . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
13 isf32lem.c . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
1411, 12, 13isf32lem1 10393 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵𝐴𝜑)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
152, 4, 9, 10, 14syl22anc 839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
1615sseld 3982 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17 elndif 4133 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
181, 16, 17syl56 36 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
1918ralrimiv 3145 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20 disj 4450 . 2 ((((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
2119, 20sylibr 234 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cint 4946  ran crn 5686  Ord word 6383  suc csuc 6386  wf 6557  cfv 6561  ωcom 7887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fv 6569  df-om 7888
This theorem is referenced by:  isf32lem4  10396
  Copyright terms: Public domain W3C validator