Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem3 9776
 Description: Lemma for isfin3-2 9788. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
isf32lem3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4102 . . . 4 (𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹𝐴))
2 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3 peano2 7601 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
43ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5 nnord 7587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
65ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → Ord 𝐴)
7 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝐵𝐴)
8 ordsucss 7532 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
96, 7, 8sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → suc 𝐵𝐴)
10 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝜑)
11 isf32lem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12 isf32lem.b . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
13 isf32lem.c . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
1411, 12, 13isf32lem1 9774 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵𝐴𝜑)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
152, 4, 9, 10, 14syl22anc 836 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
1615sseld 3965 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17 elndif 4104 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
181, 16, 17syl56 36 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
1918ralrimiv 3181 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20 disj 4398 . 2 ((((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
2119, 20sylibr 236 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∩ cint 4875  ran crn 5555  Ord word 6189  suc csuc 6192  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  ωcom 7579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-tr 5172  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fv 6362  df-om 7580 This theorem is referenced by:  isf32lem4  9777
 Copyright terms: Public domain W3C validator