Theorem isf32lem3 10354

Description: Lemma for isfin3-2 10366. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem3	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4085	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴))
2		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3		peano2 7892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
4	3	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5		nnord 7876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → Ord 𝐴)
7		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
8		ordsucss 7820	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
9	6, 7, 8	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
11		isf32lem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12		isf32lem.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
13		isf32lem.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
14	11, 12, 13	isf32lem1 10352	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
15	2, 4, 9, 10, 14	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
16	15	sseld 3937	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17		elndif 4087	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
18	1, 16, 17	syl56 37	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
19	18	ralrimiv 3158	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20		disj 4410	. 2 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
21	19, 20	sylibr 237	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  ∩ cint 4914  ran crn 5664  Ord word 6363  suc csuc 6366  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ωcom 7868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fv 6548  df-om 7869

This theorem is used by:  isf32lem4  10355