Theorem isf32lem3 10265

Description: Lemma for isfin3-2 10277. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem3	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4083	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴))
2		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3		peano2 7832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
4	3	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5		nnord 7816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → Ord 𝐴)
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
8		ordsucss 7760	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
11		isf32lem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12		isf32lem.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
13		isf32lem.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
14	11, 12, 13	isf32lem1 10263	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
15	2, 4, 9, 10, 14	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
16	15	sseld 3932	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17		elndif 4085	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
18	1, 16, 17	syl56 36	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
19	18	ralrimiv 3127	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20		disj 4402	. 2 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
21	19, 20	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ∩ cint 4902  ran crn 5625  Ord word 6316  suc csuc 6319  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ωcom 7808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fv 6500  df-om 7809

This theorem is referenced by:  isf32lem4  10266