MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem3 9430
Description: Lemma for isfin3-2 9442. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
isf32lem3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3894 . . . 4 (𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹𝐴))
2 simpll 783 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3 peano2 7284 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
43ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5 nnord 7271 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
65ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → Ord 𝐴)
7 simprl 787 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝐵𝐴)
8 ordsucss 7216 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
96, 7, 8sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → suc 𝐵𝐴)
10 simprr 789 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → 𝜑)
11 isf32lem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12 isf32lem.b . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
13 isf32lem.c . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
1411, 12, 13isf32lem1 9428 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵𝐴𝜑)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
152, 4, 9, 10, 14syl22anc 867 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
1615sseld 3760 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17 elndif 3896 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
181, 16, 17syl56 36 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
1918ralrimiv 3112 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20 disj 4178 . 2 ((((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
2119, 20sylibr 225 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315   cint 4633  ran crn 5278  Ord word 5907  suc csuc 5910  wf 6064  cfv 6068  ωcom 7263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fv 6076  df-om 7264
This theorem is referenced by:  isf32lem4  9431
  Copyright terms: Public domain W3C validator