Theorem isf32lem3 10352

Description: Lemma for isfin3-2 10364. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem3	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4125	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴))
2		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3		peano2 7883	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
4	3	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5		nnord 7865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
6	5	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → Ord 𝐴)
7		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
8		ordsucss 7808	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
11		isf32lem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12		isf32lem.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
13		isf32lem.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
14	11, 12, 13	isf32lem1 10350	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
15	2, 4, 9, 10, 14	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
16	15	sseld 3980	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17		elndif 4127	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
18	1, 16, 17	syl56 36	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
19	18	ralrimiv 3143	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20		disj 4446	. 2 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
21	19, 20	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  ∩ cint 4949  ran crn 5676  Ord word 6362  suc csuc 6365  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ωcom 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fv 6550  df-om 7858

This theorem is referenced by:  isf32lem4  10353