Theorem isf32lem3 10268

Description: Lemma for isfin3-2 10280. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem3	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4061	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴))
2		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3		peano2 7830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
4	3	ad2antlr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5		nnord 7814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
6	5	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → Ord 𝐴)
7		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
8		ordsucss 7758	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
11		isf32lem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12		isf32lem.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
13		isf32lem.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
14	11, 12, 13	isf32lem1 10266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
15	2, 4, 9, 10, 14	syl22anc 844	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
16	15	sseld 3914	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17		elndif 4063	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
18	1, 16, 17	syl56 36	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
19	18	ralrimiv 3130	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20		disj 4378	. 2 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
21	19, 20	sylibr 235	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  ∩ cint 4877  ran crn 5619  Ord word 6309  suc csuc 6312  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  ωcom 7806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fv 6493  df-om 7807

This theorem is referenced by:  isf32lem4  10269