Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isidlc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isidlc 36477
Description: The predicate "is an ideal of the commutative ring 𝑅". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1 𝐺 = (1st𝑅)
idlval.2 𝐻 = (2nd𝑅)
idlval.3 𝑋 = ran 𝐺
idlval.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isidlc (𝑅 ∈ CRingOps → (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ↔ (𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑧,𝑋   𝑥,𝐼,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isidlc
StepHypRef Expression
1 crngorngo 36462 . . 3 (𝑅 ∈ CRingOps → 𝑅 ∈ RingOps)
2 idlval.1 . . . 4 𝐺 = (1st𝑅)
3 idlval.2 . . . 4 𝐻 = (2nd𝑅)
4 idlval.3 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 idlval.4 . . . 4 𝑍 = (GId‘𝐺)
62, 3, 4, 5isidl 36476 . . 3 (𝑅 ∈ RingOps → (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ↔ (𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)))))
71, 6syl 17 . 2 (𝑅 ∈ CRingOps → (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ↔ (𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)))))
8 ssel2 3940 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑋𝑥𝐼) → 𝑥𝑋)
92, 3, 4crngocom 36463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑧𝐻𝑥))
109eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → ((𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼 ↔ (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼))
1110biimprd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 → (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼))
12113expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 → (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼))
1312pm4.71d 563 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)))
1413bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼) ↔ (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼))
1514ralbidva 3173 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼))
1615anbi2d 630 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑥𝑋) → ((∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)) ↔ (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼)))
178, 16sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)) ↔ (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼)))
1817anassrs 469 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝐼𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)) ↔ (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼)))
1918ralbidva 3173 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝐼𝑋) → (∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼)))
2019adantrr 716 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (𝐼𝑋𝑍𝐼)) → (∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼)))
2120pm5.32da 580 . . 3 (𝑅 ∈ CRingOps → (((𝐼𝑋𝑍𝐼) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼))) ↔ ((𝐼𝑋𝑍𝐼) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼))))
22 df-3an 1090 . . 3 ((𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼))) ↔ ((𝐼𝑋𝑍𝐼) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼))))
23 df-3an 1090 . . 3 ((𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝐼𝑋𝑍𝐼) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼)))
2421, 22, 233bitr4g 314 . 2 (𝑅 ∈ CRingOps → ((𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼 ∧ (𝑥𝐻𝑧) ∈ 𝐼))) ↔ (𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼))))
257, 24bitrd 279 1 (𝑅 ∈ CRingOps → (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ↔ (𝐼𝑋𝑍𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥𝐺𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧𝐻𝑥) ∈ 𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  wss 3911  ran crn 5635  cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  GIdcgi 29435  RingOpscrngo 36356  CRingOpsccring 36455  Idlcidl 36469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-rngo 36357  df-com2 36452  df-crngo 36456  df-idl 36472
This theorem is referenced by:  prnc  36529
  Copyright terms: Public domain W3C validator