Theorem limexissup 43560

Description: An ordinal which is a limit ordinal is equal to its supremum. Lemma 2.13 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by RP, 27-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
limexissup	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = sup(𝐴, On, E ))

Proof of Theorem limexissup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limuni 6378	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 = ∪ 𝐴)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = ∪ 𝐴)
3		limord 6377	. . . 4 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
4		ordsson 7728	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
6		onsupuni 43508	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → sup(𝐴, On, E ) = ∪ 𝐴)
7	5, 6	sylan 581	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → sup(𝐴, On, E ) = ∪ 𝐴)
8	2, 7	eqtr4d 2773	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = sup(𝐴, On, E ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4862   E cep 5522  Ord word 6315  Oncon0 6316  Lim wlim 6317  supcsup 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-iota 6447  df-riota 7315  df-sup 9347

This theorem is referenced by: (None)