MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimlmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimlmhm 19459
Description: An isomorphism of modules is a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmimlmhm (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))

Proof of Theorem lmimlmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
31, 2islmim 19457 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
43simplbi 493 1 (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255   LMHom clmhm 19414   LMIso clmim 19415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-lmhm 19417  df-lmim 19418
This theorem is referenced by:  lmimgim  19460  lmiclcl  19465  lmicrcl  19466  lmimlbs  20579  lnmlmic  38617
  Copyright terms: Public domain W3C validator