MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiclcl 19833
Description: Isomorphism implies the left side is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmiclcl (𝑅𝑚 𝑆𝑅 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmiclcl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 19831 . . 3 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4282 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
31, 2bitri 278 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4 lmimlmhm 19827 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5 lmhmlmod1 19796 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
76exlimiv 1931 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
83, 7sylbi 220 1 (𝑅𝑚 𝑆𝑅 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1781  wcel 2114  wne 3011  c0 4265   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  LModclmod 19625   LMHom clmhm 19782   LMIso clmim 19783  𝑚 clmic 19784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-lmhm 19785  df-lmim 19786  df-lmic 19787
This theorem is referenced by:  lmisfree  20529
  Copyright terms: Public domain W3C validator