Theorem lmiclcl 21063

Description: Isomorphism implies the left side is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmiclcl	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑅 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmiclcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21061	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4283	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 277	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		lmimlmhm 21057	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5		lmhmlmod1 21026	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
7	6	exlimiv 1938	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
8	3, 7	sylbi 219	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑅 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  LModclmod 20853   LMHom clmhm 21012   LMIso clmim 21013   ≃_𝑚 clmic 21014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8399  df-lmhm 21015  df-lmim 21016  df-lmic 21017

This theorem is referenced by:  lmisfree  21820