Theorem lnmlmic 44199

Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lnmlmic	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))

Proof of Theorem lnmlmic

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21352	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4299	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		lmimlmhm 21348	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
7		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	7, 8	lmimf1o 21347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
10		f1ofo 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
11		forn 6804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
14	8	lnmepi 44196	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑆)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
15	5, 6, 13, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
16		islmim2 21350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
17	16	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → ◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
19		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
20		dfdm4 5878	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑎 = ran ◡𝑎
21		f1odm 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
22	9, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
24	20, 23	eqtr3id 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → ran ◡𝑎 = (Base‘𝑅))
25	7	lnmepi 44196	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran ◡𝑎 = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LNoeM)
26	18, 19, 24, 25	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
27	15, 26	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
28	27	exlimiv 1962	. 2 ⊢ (∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
29	3, 28	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652  –onto→wfo 6541  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396   LMHom clmhm 21303   LMIso clmim 21304   ≃_𝑚 clmic 21305  LNoeMclnm 44186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lmhm 21306  df-lmim 21307  df-lmic 21308  df-lfig 44179  df-lnm 44187

This theorem is used by:  pwslnmlem2  44204