Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlmic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmlmic 43077
Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lnmlmic (𝑅𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))

Proof of Theorem lnmlmic
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 21085 . . 3 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4359 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
31, 2bitri 275 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4 lmimlmhm 21081 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
54adantr 480 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
6 simpr 484 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
7 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
97, 8lmimf1o 21080 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
10 f1ofo 6856 . . . . . . 7 (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
11 forn 6824 . . . . . . 7 (𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
148lnmepi 43074 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑆)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
155, 6, 13, 14syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
16 islmim2 21083 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
1716simprbi 496 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
19 simpr 484 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
20 dfdm4 5909 . . . . . 6 dom 𝑎 = ran 𝑎
21 f1odm 6853 . . . . . . . 8 (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
2420, 23eqtr3id 2789 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑅))
257lnmepi 43074 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LNoeM)
2618, 19, 24, 25syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
2715, 26impbida 801 . . 3 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
2827exlimiv 1928 . 2 (∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
293, 28sylbi 217 1 (𝑅𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  c0 4339   class class class wbr 5148  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   LMHom clmhm 21036   LMIso clmim 21037  𝑚 clmic 21038  LNoeMclnm 43064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lmim 21040  df-lmic 21041  df-lfig 43057  df-lnm 43065
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  43082
  Copyright terms: Public domain W3C validator