Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlmic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmlmic 41444
Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lnmlmic (𝑅𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))

Proof of Theorem lnmlmic
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 20545 . . 3 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4311 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
31, 2bitri 275 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4 lmimlmhm 20541 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
54adantr 482 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
6 simpr 486 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
7 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
97, 8lmimf1o 20540 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
10 f1ofo 6796 . . . . . . 7 (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
11 forn 6764 . . . . . . 7 (𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
1312adantr 482 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
148lnmepi 41441 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑆)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
155, 6, 13, 14syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
16 islmim2 20543 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
1716simprbi 498 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
1817adantr 482 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
19 simpr 486 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
20 dfdm4 5856 . . . . . 6 dom 𝑎 = ran 𝑎
21 f1odm 6793 . . . . . . . 8 (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
2322adantr 482 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
2420, 23eqtr3id 2791 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑅))
257lnmepi 41441 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LNoeM)
2618, 19, 24, 25syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
2715, 26impbida 800 . . 3 (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
2827exlimiv 1934 . 2 (∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
293, 28sylbi 216 1 (𝑅𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  c0 4287   class class class wbr 5110  ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  ontowfo 6499  1-1-ontowf1o 6500  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090   LMHom clmhm 20496   LMIso clmim 20497  𝑚 clmic 20498  LNoeMclnm 41431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lmim 20500  df-lmic 20501  df-lfig 41424  df-lnm 41432
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  41449
  Copyright terms: Public domain W3C validator