Theorem lnmlmic 43706

Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lnmlmic	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))

Proof of Theorem lnmlmic

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21166	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4315	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		lmimlmhm 21162	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
7		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	7, 8	lmimf1o 21161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
10		f1ofo 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
11		forn 6796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → ran 𝑎 = (Base‘𝑆))
14	8	lnmepi 43703	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = (Base‘𝑆)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
15	5, 6, 13, 14	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
16		islmim2 21164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
17	16	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
18	17	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → ◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅))
19		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑆 ∈ LNoeM)
20		dfdm4 5886	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑎 = ran ◡𝑎
21		f1odm 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
22	9, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
23	22	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → dom 𝑎 = (Base‘𝑅))
24	20, 23	eqtr3id 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → ran ◡𝑎 = (Base‘𝑅))
25	7	lnmepi 43703	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑎 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran ◡𝑎 = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LNoeM)
26	18, 19, 24, 25	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM) → 𝑅 ∈ LNoeM)
27	15, 26	impbida 812	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
28	27	exlimiv 1957	. 2 ⊢ (∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))
29	3, 28	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → (𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662  ran crn 5663  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268   LMHom clmhm 21117   LMIso clmim 21118   ≃_𝑚 clmic 21119  LNoeMclnm 43693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-lmhm 21120  df-lmim 21121  df-lmic 21122  df-lfig 43686  df-lnm 43694

This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  43711