Theorem lmimlbs 21382

Description: The isomorphic image of a basis is a basis. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimlbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
lmimlbs.k	⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmimlbs	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmimlbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimlmhm 20667	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
4	2, 3	lmimf1o 20666	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
5		f1of1 6829	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
7		lmimlbs.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
8	7	lbslinds 21379	. . . 4 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑆)
9	8	sseli 3977	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆))
10	2, 3	lindsmm2 21375	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
11	1, 6, 9, 10	syl2an3an 1422	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
12		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
13	2, 7, 12	lbssp 20682	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
14	13	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
15	14	imaeq2d 6057	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = (𝐹 “ (Base‘𝑆)))
16	2, 7	lbsss 20680	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	2, 12, 17	lmhmlsp 20652	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)))
19	1, 16, 18	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)))
20	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
21		f1ofo 6837	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇))
22		foima 6807	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
23	20, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
24	15, 19, 23	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)) = (Base‘𝑇))
25		lmimlbs.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
26	3, 25, 17	islbs4 21378	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)) = (Base‘𝑇)))
27	11, 24, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   “ cima 5678  –1-1→wf1 6537  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  LSpanclspn 20574   LMHom clmhm 20622   LMIso clmim 20623  LBasisclbs 20677  LIndSclinds 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lmim 20626  df-lbs 20678  df-lindf 21352  df-linds 21353

This theorem is referenced by:  lmiclbs  21383  lmimdim  32677  dimkerim  32700