Theorem lmimlbs 21816

Description: The isomorphic image of a basis is a basis. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimlbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
lmimlbs.k	⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmimlbs	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmimlbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimlmhm 21059	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
4	2, 3	lmimf1o 21058	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
5		f1of1 6780	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
7		lmimlbs.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
8	7	lbslinds 21813	. . . 4 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑆)
9	8	sseli 3918	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆))
10	2, 3	lindsmm2 21809	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
11	1, 6, 9, 10	syl2an3an 1425	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
13	2, 7, 12	lbssp 21074	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
15	14	imaeq2d 6026	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = (𝐹 “ (Base‘𝑆)))
16	2, 7	lbsss 21072	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	2, 12, 17	lmhmlsp 21044	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)))
19	1, 16, 18	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)))
20	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
21		f1ofo 6788	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇))
22		foima 6758	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
23	20, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
24	15, 19, 23	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)) = (Base‘𝑇))
25		lmimlbs.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
26	3, 25, 17	islbs4 21812	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)) = (Base‘𝑇)))
27	11, 24, 26	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   “ cima 5634  –1-1→wf1 6496  –onto→wfo 6497  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  LSpanclspn 20966   LMHom clmhm 21014   LMIso clmim 21015  LBasisclbs 21069  LIndSclinds 21785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lmhm 21017  df-lmim 21018  df-lbs 21070  df-lindf 21786  df-linds 21787

This theorem is referenced by:  lmiclbs  21817  lmimdim  33748  dimkerim  33771