MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimlbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimlbs 21726
Description: The isomorphic image of a basis is a basis. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmimlbs.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘†)
lmimlbs.k 𝐾 = (LBasisβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmimlbs ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmimlbs
StepHypRef Expression
1 lmimlmhm 20909 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
42, 3lmimf1o 20908 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘‡))
5 f1of1 6825 . . . 4 (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘‡) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘‡))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘‡))
7 lmimlbs.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘†)
87lbslinds 21723 . . . 4 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘†)
98sseli 3973 . . 3 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘†))
102, 3lindsmm2 21719 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘‡) ∧ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
111, 6, 9, 10syl2an3an 1419 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡))
12 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘†) = (LSpanβ€˜π‘†)
132, 7, 12lbssp 20924 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π΅) = (Baseβ€˜π‘†))
1413adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π΅) = (Baseβ€˜π‘†))
1514imaeq2d 6052 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π΅)) = (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘†)))
162, 7lbsss 20922 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
17 eqid 2726 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘‡) = (LSpanβ€˜π‘‡)
182, 12, 17lmhmlsp 20894 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π΅)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ 𝐡)))
191, 16, 18syl2an 595 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π΅)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ 𝐡)))
204adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘‡))
21 f1ofo 6833 . . . 4 (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘‡) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘‡))
22 foima 6803 . . . 4 (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘‡) β†’ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜π‘‡))
2320, 21, 223syl 18 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜π‘‡))
2415, 19, 233eqtr3d 2774 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) = (Baseβ€˜π‘‡))
25 lmimlbs.k . . 3 𝐾 = (LBasisβ€˜π‘‡)
263, 25, 17islbs4 21722 . 2 ((𝐹 β€œ 𝐡) ∈ 𝐾 ↔ ((𝐹 β€œ 𝐡) ∈ (LIndSβ€˜π‘‡) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) = (Baseβ€˜π‘‡)))
2711, 24, 26sylanbrc 582 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   β€œ cima 5672  β€“1-1β†’wf1 6533  β€“ontoβ†’wfo 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  LSpanclspn 20815   LMHom clmhm 20864   LMIso clmim 20865  LBasisclbs 20919  LIndSclinds 21695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lmhm 20867  df-lmim 20868  df-lbs 20920  df-lindf 21696  df-linds 21697
This theorem is referenced by:  lmiclbs  21727  lmimdim  33205  dimkerim  33229
  Copyright terms: Public domain W3C validator