Theorem lmimlbs 21857

Description: The isomorphic image of a basis is a basis. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimlbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
lmimlbs.k	⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmimlbs	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmimlbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimlmhm 21064	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
4	2, 3	lmimf1o 21063	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
5		f1of1 6846	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
7		lmimlbs.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
8	7	lbslinds 21854	. . . 4 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑆)
9	8	sseli 3978	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆))
10	2, 3	lindsmm2 21850	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
11	1, 6, 9, 10	syl2an3an 1423	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
13	2, 7, 12	lbssp 21079	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
15	14	imaeq2d 6077	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = (𝐹 “ (Base‘𝑆)))
16	2, 7	lbsss 21077	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	2, 12, 17	lmhmlsp 21049	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)))
19	1, 16, 18	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)))
20	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
21		f1ofo 6854	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇))
22		foima 6824	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
23	20, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
24	15, 19, 23	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)) = (Base‘𝑇))
25		lmimlbs.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
26	3, 25, 17	islbs4 21853	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝐵)) = (Base‘𝑇)))
27	11, 24, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950   “ cima 5687  –1-1→wf1 6557  –onto→wfo 6558  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  LSpanclspn 20970   LMHom clmhm 21019   LMIso clmim 21020  LBasisclbs 21074  LIndSclinds 21826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lmhm 21022  df-lmim 21023  df-lbs 21075  df-lindf 21827  df-linds 21828

This theorem is referenced by:  lmiclbs  21858  lmimdim  33655  dimkerim  33679