Theorem lmicrcl 21070

Description: Isomorphism implies the right side is a module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicrcl	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmicrcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21067	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4353	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		lmimlmhm 21063	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5		lmhmlmod2 21031	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
8	3, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  LModclmod 20858   LMHom clmhm 21018   LMIso clmim 21019   ≃_𝑚 clmic 21020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lmic 21023

This theorem is referenced by: (None)