Theorem lmicrcl 20682

Description: Isomorphism implies the right side is a module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicrcl	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmicrcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 20679	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4347	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		lmimlmhm 20675	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5		lmhmlmod2 20643	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	exlimiv 1934	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
8	3, 7	sylbi 216	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  LModclmod 20471   LMHom clmhm 20630   LMIso clmim 20631   ≃_𝑚 clmic 20632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-lmhm 20633  df-lmim 20634  df-lmic 20635

This theorem is referenced by: (None)