Theorem lmicrcl 20827

Description: Isomorphism implies the right side is a module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicrcl	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmicrcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 20824	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4346	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		lmimlmhm 20820	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5		lmhmlmod2 20788	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	exlimiv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
8	3, 7	sylbi 216	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  LModclmod 20615   LMHom clmhm 20775   LMIso clmim 20776   ≃_𝑚 clmic 20777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-1o 8470  df-lmhm 20778  df-lmim 20779  df-lmic 20780

This theorem is referenced by: (None)