Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5alem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5alem1 41118
Description: Lemma for baerlem5a 41124. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
baerlem3.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
baerlem3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
baerlem3.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
baerlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
baerlem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
baerlem3.d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
baerlem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.p + = (+gβ€˜π‘Š)
baerlem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
baerlem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
baerlem3.a ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
baerlem3.l 𝐿 = (-gβ€˜π‘…)
baerlem3.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
baerlem3.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
baerlem5a.a1 (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
baerlem5a.b1 (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
baerlem5a.d1 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
baerlem5a.e1 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
baerlem5a.j1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) + (𝑏 Β· 𝑍)))
baerlem5a.j2 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍)) + (𝑒 Β· π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = (π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1
StepHypRef Expression
1 baerlem5a.j1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) + (𝑏 Β· 𝑍)))
2 baerlem3.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 baerlem3.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 baerlem3.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 baerlem3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 baerlem3.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 baerlem3.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lveclmod 20980 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 baerlem5a.a1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
11 baerlem3.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 baerlem3.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1312eldifad 3956 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
142, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13lmodsubdi 20791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((π‘Ž Β· 𝑋) βˆ’ (π‘Ž Β· π‘Œ)))
15 baerlem3.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
16 baerlem3.i . . . . . 6 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
172, 4, 3, 5lmodvscl 20750 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
189, 10, 11, 17syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
192, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13lmodsubvs 20790 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑋) βˆ’ (π‘Ž Β· π‘Œ)) = ((π‘Ž Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ)))
2014, 19eqtrd 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((π‘Ž Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ)))
2120oveq1d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) + (𝑏 Β· 𝑍)) = (((π‘Ž Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ)) + (𝑏 Β· 𝑍)))
224lmodring 20740 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 20169 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
249, 22, 233syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
255, 16grpinvcl 18935 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
2624, 10, 25syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
272, 4, 3, 5lmodvscl 20750 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
289, 26, 13, 27syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
29 baerlem5a.b1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
30 baerlem3.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3130eldifad 3956 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
322, 4, 3, 5lmodvscl 20750 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
339, 29, 31, 32syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
342, 15lmodass 20748 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘Ž Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ž Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ)) + (𝑏 Β· 𝑍)) = ((π‘Ž Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))))
359, 18, 28, 33, 34syl13anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ)) + (𝑏 Β· 𝑍)) = ((π‘Ž Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))))
361, 21, 353eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))))
372, 15lmodvacl 20747 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
389, 13, 31, 37syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
392, 4, 3, 5lmodvscl 20750 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉)
409, 10, 38, 39syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41 eqid 2727 . . . . 5 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
422, 15, 41, 6grpsubval 18933 . . . 4 (((π‘Ž Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑋) βˆ’ (π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍))) = ((π‘Ž Β· 𝑋) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍)))))
4318, 40, 42syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑋) βˆ’ (π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍))) = ((π‘Ž Β· 𝑋) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍)))))
442, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38lmodsubdi 20791 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) = ((π‘Ž Β· 𝑋) βˆ’ (π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍))))
452, 15, 4, 3, 5lmodvsdi 20757 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· (π‘Œ + 𝑍)) = (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· 𝑍)))
469, 26, 13, 31, 45syl13anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· (π‘Œ + 𝑍)) = (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· 𝑍)))
472, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10lmodvsneg 20778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍))) = ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· (π‘Œ + 𝑍)))
48 baerlem3.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
49 baerlem3.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
50 baerlem5a.e1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
51 baerlem5a.d1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
525, 16grpinvcl 18935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
5324, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
54 baerlem3.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
55 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
562, 55, 49, 9, 13, 31lspprcl 20851 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
57 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
582, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31lsppreli 20964 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
592, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31lsppreli 20964 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑒 Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
60 baerlem5a.j2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍)) + (𝑒 Β· π‘Œ)))
612, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31lmodsubdi 20791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍)) = ((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· 𝑍)))
622, 4, 3, 5lmodvscl 20750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
639, 51, 11, 62syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
642, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31lmodsubvs 20790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· 𝑍)) = ((𝑑 Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
6561, 64eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍)) = ((𝑑 Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
6665oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍)) + (𝑒 Β· π‘Œ)) = (((𝑑 Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) + (𝑒 Β· π‘Œ)))
67 lmodabl 20781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
687, 8, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
692, 4, 3, 5lmodvscl 20750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
709, 53, 31, 69syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
712, 4, 3, 5lmodvscl 20750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑒 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
729, 50, 13, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
732, 15, 68, 63, 70, 72abl32 19749 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑑 Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) + (𝑒 Β· π‘Œ)) = (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· π‘Œ)) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
742, 15lmodass 20748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· π‘Œ)) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) = ((𝑑 Β· 𝑋) + ((𝑒 Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
759, 63, 72, 70, 74syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· π‘Œ)) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) = ((𝑑 Β· 𝑋) + ((𝑒 Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
7666, 73, 753eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍)) + (𝑒 Β· π‘Œ)) = ((𝑑 Β· 𝑋) + ((𝑒 Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
7760, 36, 763eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ((𝑑 Β· 𝑋) + ((𝑒 Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
782, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77lvecindp 21015 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = 𝑑 ∧ (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = ((𝑒 Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
7978simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = ((𝑒 Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
802, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79lvecindp2 21016 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘Ž) = 𝑒 ∧ 𝑏 = (πΌβ€˜π‘‘)))
8180simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑏 = (πΌβ€˜π‘‘))
8278simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Ž = 𝑑)
8382fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Ž) = (πΌβ€˜π‘‘))
8481, 83eqtr4d 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑏 = (πΌβ€˜π‘Ž))
8584oveq1d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 Β· 𝑍) = ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· 𝑍))
8685oveq2d 7430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘Ž) Β· 𝑍)))
8746, 47, 863eqtr4rd 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍))))
8887oveq2d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ((π‘Ž Β· 𝑋) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž Β· (π‘Œ + 𝑍)))))
8943, 44, 883eqtr4rd 2778 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘Ž) Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = (π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))))
9036, 89eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = (π‘Ž Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  invgcminusg 18882  -gcsg 18883  LSSumclsm 19580  Abelcabl 19727  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  LSubSpclss 20804  LSpanclspn 20844  LVecclvec 20976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977
This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  41121
  Copyright terms: Public domain W3C validator