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Theorem baerlem5alem1 40171
Description: Lemma for baerlem5a 40177. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem5a.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem5a.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem5a.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem5a.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem5a.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5a.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1
StepHypRef Expression
1 baerlem5a.j1 . . 3 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
2 baerlem3.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 baerlem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
4 baerlem3.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5 baerlem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 baerlem3.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
7 baerlem3.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lveclmod 20567 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 baerlem5a.a1 . . . . . 6 (𝜑𝑎𝐵)
11 baerlem3.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
12 baerlem3.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3922 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
142, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13lmodsubdi 20379 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · 𝑌)))
15 baerlem3.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
16 baerlem3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝑅)
172, 4, 3, 5lmodvscl 20339 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑋𝑉) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
189, 10, 11, 17syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
192, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13lmodsubvs 20378 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)))
2014, 19eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)))
2120oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
224lmodring 20330 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 19969 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
249, 22, 233syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
255, 16grpinvcl 18798 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → (𝐼𝑎) ∈ 𝐵)
2624, 10, 25syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑎) ∈ 𝐵)
272, 4, 3, 5lmodvscl 20339 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑎) ∈ 𝐵𝑌𝑉) → ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
289, 26, 13, 27syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
29 baerlem5a.b1 . . . . 5 (𝜑𝑏𝐵)
30 baerlem3.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3130eldifad 3922 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
322, 4, 3, 5lmodvscl 20339 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
339, 29, 31, 32syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
342, 15lmodass 20337 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
359, 18, 28, 33, 34syl13anc 1372 . . 3 (𝜑 → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
361, 21, 353eqtrd 2780 . 2 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
372, 15lmodvacl 20336 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
389, 13, 31, 37syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
392, 4, 3, 5lmodvscl 20339 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
409, 10, 38, 39syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41 eqid 2736 . . . . 5 (invg𝑊) = (invg𝑊)
422, 15, 41, 6grpsubval 18796 . . . 4 (((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
4318, 40, 42syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
442, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38lmodsubdi 20379 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
452, 15, 4, 3, 5lmodvsdi 20345 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑎) ∈ 𝐵𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
469, 26, 13, 31, 45syl13anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
472, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10lmodvsneg 20366 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)))
48 baerlem3.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
49 baerlem3.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
50 baerlem5a.e1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑒𝐵)
51 baerlem5a.d1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑑𝐵)
525, 16grpinvcl 18798 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
5324, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
54 baerlem3.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
55 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
562, 55, 49, 9, 13, 31lspprcl 20439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
582, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31lsppreli 20551 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
592, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31lsppreli 20551 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
60 baerlem5a.j2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
612, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31lmodsubdi 20379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑍)))
622, 4, 3, 5lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
639, 51, 11, 62syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
642, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31lmodsubvs 20378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6561, 64eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6665oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
67 lmodabl 20369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
687, 8, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
692, 4, 3, 5lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑍𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
709, 53, 31, 69syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
712, 4, 3, 5lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑌𝑉) → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
729, 50, 13, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
732, 15, 68, 63, 70, 72abl32 19585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
742, 15lmodass 20337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
759, 63, 72, 70, 74syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7666, 73, 753eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7760, 36, 763eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
782, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77lvecindp 20599 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = 𝑑 ∧ (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7978simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
802, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79lvecindp2 20600 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼𝑎) = 𝑒𝑏 = (𝐼𝑑)))
8180simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑𝑏 = (𝐼𝑑))
8278simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑎 = 𝑑)
8382fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑎) = (𝐼𝑑))
8481, 83eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝜑𝑏 = (𝐼𝑎))
8584oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) = ((𝐼𝑎) · 𝑍))
8685oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
8746, 47, 863eqtr4rd 2787 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
8887oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
8943, 44, 883eqtr4rd 2787 . 2 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
9036, 89eqtrd 2776 1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  {csn 4586  {cpr 4588  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564
This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  40174
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