Theorem baerlem5alem1 42165

Description: Lemma for baerlem5a 42171. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5a.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5a.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5a.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5a.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5a.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5a.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem5a.j1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
2		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		baerlem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		baerlem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		baerlem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 21091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		baerlem5a.a1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		baerlem3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13	lmodsubdi 20903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)))
15		baerlem3.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		baerlem3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
17	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	9, 10, 11, 17	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13	lmodsubvs 20902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
20	14, 19	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
21	20	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
22	4	lmodring 20852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 20208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	9, 22, 23	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25	5, 16	grpinvcl 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
26	24, 10, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
27	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20862	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
28	9, 26, 13, 27	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
29		baerlem5a.b1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
30		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31	30	eldifad 3902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
32	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20862	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	9, 29, 31, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	2, 15	lmodass 20860	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
35	9, 18, 28, 33, 34	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	1, 21, 35	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
37	2, 15	lmodvacl 20859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38	9, 13, 31, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
39	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20862	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
40	9, 10, 38, 39	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
42	2, 15, 41, 6	grpsubval 18950	. . . 4 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
43	18, 40, 42	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
44	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38	lmodsubdi 20903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
45	2, 15, 4, 3, 5	lmodvsdi 20869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
46	9, 26, 13, 31, 45	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
47	2, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10	lmodvsneg 20890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)))
48		baerlem3.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
49		baerlem3.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
50		baerlem5a.e1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
51		baerlem5a.d1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
52	5, 16	grpinvcl 18952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
53	24, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
54		baerlem3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
55		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
56	2, 55, 49, 9, 13, 31	lspprcl 20962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
58	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31	lsppreli 21075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
59	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31	lsppreli 21075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
60		baerlem5a.j2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
61	2, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31	lmodsubdi 20903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)))
62	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
63	9, 51, 11, 62	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
64	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31	lmodsubvs 20902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
65	61, 64	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
66	65	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
67		lmodabl 20893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	7, 8, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
70	9, 53, 31, 69	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
71	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	9, 50, 13, 71	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	2, 15, 68, 63, 70, 72	abl32 19767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
74	2, 15	lmodass 20860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
75	9, 63, 72, 70, 74	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
76	66, 73, 75	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
77	60, 36, 76	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
78	2, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77	lvecindp 21126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = 𝑑 ∧ (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
79	78	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
80	2, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79	lvecindp2 21127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) = 𝑒 ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑑)))
81	80	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑑))
82	78	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 = 𝑑)
83	82	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘𝑑))
84	81, 83	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑎))
85	84	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) = ((𝐼‘𝑎) · 𝑍))
86	85	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
87	46, 47, 86	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
88	87	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
89	43, 44, 88	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
90	36, 89	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  -_gcsg 18900  LSSumclsm 19598  Abelcabl 19745  Ringcrg 20203  LModclmod 20844  LSubSpclss 20915  LSpanclspn 20955  LVecclvec 21087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21088

This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  42168