Theorem baerlem5alem1 41118

Description: Lemma for baerlem5a 41124. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5a.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5a.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5a.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5a.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5a.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5a.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem5a.j1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
2		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		baerlem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		baerlem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		baerlem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 20980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		baerlem5a.a1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		baerlem3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13	lmodsubdi 20791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)))
15		baerlem3.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		baerlem3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
17	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	9, 10, 11, 17	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13	lmodsubvs 20790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
20	14, 19	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
21	20	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
22	4	lmodring 20740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 20169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	9, 22, 23	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25	5, 16	grpinvcl 18935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
26	24, 10, 25	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
27	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20750	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
28	9, 26, 13, 27	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
29		baerlem5a.b1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
30		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31	30	eldifad 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
32	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20750	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	9, 29, 31, 32	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	2, 15	lmodass 20748	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
35	9, 18, 28, 33, 34	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	1, 21, 35	3eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
37	2, 15	lmodvacl 20747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38	9, 13, 31, 37	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
39	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20750	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
40	9, 10, 38, 39	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
42	2, 15, 41, 6	grpsubval 18933	. . . 4 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
43	18, 40, 42	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
44	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38	lmodsubdi 20791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
45	2, 15, 4, 3, 5	lmodvsdi 20757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
46	9, 26, 13, 31, 45	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
47	2, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10	lmodvsneg 20778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)))
48		baerlem3.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
49		baerlem3.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
50		baerlem5a.e1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
51		baerlem5a.d1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
52	5, 16	grpinvcl 18935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
53	24, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
54		baerlem3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
55		eqid 2727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
56	2, 55, 49, 9, 13, 31	lspprcl 20851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
58	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31	lsppreli 20964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
59	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31	lsppreli 20964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
60		baerlem5a.j2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
61	2, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31	lmodsubdi 20791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)))
62	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
63	9, 51, 11, 62	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
64	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31	lmodsubvs 20790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
65	61, 64	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
66	65	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
67		lmodabl 20781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	7, 8, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
70	9, 53, 31, 69	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
71	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	9, 50, 13, 71	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	2, 15, 68, 63, 70, 72	abl32 19749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
74	2, 15	lmodass 20748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
75	9, 63, 72, 70, 74	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
76	66, 73, 75	3eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
77	60, 36, 76	3eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
78	2, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77	lvecindp 21015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = 𝑑 ∧ (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
79	78	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
80	2, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79	lvecindp2 21016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) = 𝑒 ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑑)))
81	80	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑑))
82	78	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 = 𝑑)
83	82	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘𝑑))
84	81, 83	eqtr4d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑎))
85	84	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) = ((𝐼‘𝑎) · 𝑍))
86	85	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
87	46, 47, 86	3eqtr4rd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
88	87	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
89	43, 44, 88	3eqtr4rd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
90	36, 89	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224  Scalarcsca 17227   ·_𝑠 cvsca 17228  0_gc0g 17412  Grpcgrp 18881  inv_gcminusg 18882  -_gcsg 18883  LSSumclsm 19580  Abelcabl 19727  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  LSubSpclss 20804  LSpanclspn 20844  LVecclvec 20976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977

This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  41121