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Theorem baerlem5alem1 38859
Description: Lemma for baerlem5a 38865. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem5a.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem5a.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem5a.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem5a.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem5a.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5a.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1
StepHypRef Expression
1 baerlem5a.j1 . . 3 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
2 baerlem3.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 baerlem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
4 baerlem3.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5 baerlem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 baerlem3.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
7 baerlem3.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lveclmod 19878 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 baerlem5a.a1 . . . . . 6 (𝜑𝑎𝐵)
11 baerlem3.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
12 baerlem3.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3948 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
142, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13lmodsubdi 19691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · 𝑌)))
15 baerlem3.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
16 baerlem3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝑅)
172, 4, 3, 5lmodvscl 19651 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑋𝑉) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
189, 10, 11, 17syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
192, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13lmodsubvs 19690 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)))
2014, 19eqtrd 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)))
2120oveq1d 7171 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
224lmodring 19642 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 19302 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
249, 22, 233syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
255, 16grpinvcl 18151 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → (𝐼𝑎) ∈ 𝐵)
2624, 10, 25syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑎) ∈ 𝐵)
272, 4, 3, 5lmodvscl 19651 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑎) ∈ 𝐵𝑌𝑉) → ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
289, 26, 13, 27syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
29 baerlem5a.b1 . . . . 5 (𝜑𝑏𝐵)
30 baerlem3.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3130eldifad 3948 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
322, 4, 3, 5lmodvscl 19651 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
339, 29, 31, 32syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
342, 15lmodass 19649 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
359, 18, 28, 33, 34syl13anc 1368 . . 3 (𝜑 → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
361, 21, 353eqtrd 2860 . 2 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
372, 15lmodvacl 19648 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
389, 13, 31, 37syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
392, 4, 3, 5lmodvscl 19651 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
409, 10, 38, 39syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41 eqid 2821 . . . . 5 (invg𝑊) = (invg𝑊)
422, 15, 41, 6grpsubval 18149 . . . 4 (((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
4318, 40, 42syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
442, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38lmodsubdi 19691 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
452, 15, 4, 3, 5lmodvsdi 19657 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑎) ∈ 𝐵𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
469, 26, 13, 31, 45syl13anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
472, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10lmodvsneg 19678 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)))
48 baerlem3.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
49 baerlem3.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
50 baerlem5a.e1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑒𝐵)
51 baerlem5a.d1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑑𝐵)
525, 16grpinvcl 18151 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
5324, 51, 52syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
54 baerlem3.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
55 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
562, 55, 49, 9, 13, 31lspprcl 19750 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
582, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31lsppreli 19862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
592, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31lsppreli 19862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
60 baerlem5a.j2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
612, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31lmodsubdi 19691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑍)))
622, 4, 3, 5lmodvscl 19651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
639, 51, 11, 62syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
642, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31lmodsubvs 19690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6561, 64eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6665oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
67 lmodabl 19681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
687, 8, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
692, 4, 3, 5lmodvscl 19651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑍𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
709, 53, 31, 69syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
712, 4, 3, 5lmodvscl 19651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑌𝑉) → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
729, 50, 13, 71syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
732, 15, 68, 63, 70, 72abl32 18928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
742, 15lmodass 19649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
759, 63, 72, 70, 74syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7666, 73, 753eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7760, 36, 763eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
782, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77lvecindp 19910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = 𝑑 ∧ (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7978simprd 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
802, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79lvecindp2 19911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼𝑎) = 𝑒𝑏 = (𝐼𝑑)))
8180simprd 498 . . . . . . . 8 (𝜑𝑏 = (𝐼𝑑))
8278simpld 497 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑎 = 𝑑)
8382fveq2d 6674 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑎) = (𝐼𝑑))
8481, 83eqtr4d 2859 . . . . . . 7 (𝜑𝑏 = (𝐼𝑎))
8584oveq1d 7171 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) = ((𝐼𝑎) · 𝑍))
8685oveq2d 7172 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
8746, 47, 863eqtr4rd 2867 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
8887oveq2d 7172 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
8943, 44, 883eqtr4rd 2867 . 2 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
9036, 89eqtrd 2856 1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3016  cdif 3933  {csn 4567  {cpr 4569  cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  -gcsg 18105  LSSumclsm 18759  Abelcabl 18907  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875
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