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Theorem baerlem5alem1 38836
Description: Lemma for baerlem5a 38842. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem5a.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem5a.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem5a.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem5a.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem5a.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5a.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1
StepHypRef Expression
1 baerlem5a.j1 . . 3 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
2 baerlem3.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 baerlem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
4 baerlem3.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5 baerlem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 baerlem3.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
7 baerlem3.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lveclmod 19870 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 baerlem5a.a1 . . . . . 6 (𝜑𝑎𝐵)
11 baerlem3.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
12 baerlem3.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3946 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
142, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13lmodsubdi 19683 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · 𝑌)))
15 baerlem3.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
16 baerlem3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝑅)
172, 4, 3, 5lmodvscl 19643 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑋𝑉) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
189, 10, 11, 17syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
192, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13lmodsubvs 19682 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)))
2014, 19eqtrd 2854 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)))
2120oveq1d 7163 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
224lmodring 19634 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 19294 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
249, 22, 233syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
255, 16grpinvcl 18143 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → (𝐼𝑎) ∈ 𝐵)
2624, 10, 25syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑎) ∈ 𝐵)
272, 4, 3, 5lmodvscl 19643 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑎) ∈ 𝐵𝑌𝑉) → ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
289, 26, 13, 27syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
29 baerlem5a.b1 . . . . 5 (𝜑𝑏𝐵)
30 baerlem3.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3130eldifad 3946 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
322, 4, 3, 5lmodvscl 19643 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
339, 29, 31, 32syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
342, 15lmodass 19641 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
359, 18, 28, 33, 34syl13anc 1366 . . 3 (𝜑 → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
361, 21, 353eqtrd 2858 . 2 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
372, 15lmodvacl 19640 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
389, 13, 31, 37syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
392, 4, 3, 5lmodvscl 19643 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
409, 10, 38, 39syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41 eqid 2819 . . . . 5 (invg𝑊) = (invg𝑊)
422, 15, 41, 6grpsubval 18141 . . . 4 (((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
4318, 40, 42syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
442, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38lmodsubdi 19683 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
452, 15, 4, 3, 5lmodvsdi 19649 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑎) ∈ 𝐵𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
469, 26, 13, 31, 45syl13anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
472, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10lmodvsneg 19670 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝐼𝑎) · (𝑌 + 𝑍)))
48 baerlem3.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
49 baerlem3.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
50 baerlem5a.e1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑒𝐵)
51 baerlem5a.d1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑑𝐵)
525, 16grpinvcl 18143 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
5324, 51, 52syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
54 baerlem3.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
55 eqid 2819 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
562, 55, 49, 9, 13, 31lspprcl 19742 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
582, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31lsppreli 19854 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
592, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31lsppreli 19854 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
60 baerlem5a.j2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
612, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31lmodsubdi 19683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑍)))
622, 4, 3, 5lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
639, 51, 11, 62syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
642, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31lmodsubvs 19682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6561, 64eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6665oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
67 lmodabl 19673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
687, 8, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
692, 4, 3, 5lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑍𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
709, 53, 31, 69syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
712, 4, 3, 5lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑌𝑉) → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
729, 50, 13, 71syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
732, 15, 68, 63, 70, 72abl32 18920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
742, 15lmodass 19641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
759, 63, 72, 70, 74syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7666, 73, 753eqtrd 2858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7760, 36, 763eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
782, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77lvecindp 19902 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = 𝑑 ∧ (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
7978simprd 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
802, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79lvecindp2 19903 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼𝑎) = 𝑒𝑏 = (𝐼𝑑)))
8180simprd 498 . . . . . . . 8 (𝜑𝑏 = (𝐼𝑑))
8278simpld 497 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑎 = 𝑑)
8382fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑎) = (𝐼𝑑))
8481, 83eqtr4d 2857 . . . . . . 7 (𝜑𝑏 = (𝐼𝑎))
8584oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) = ((𝐼𝑎) · 𝑍))
8685oveq2d 7164 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑎) · 𝑌) + ((𝐼𝑎) · 𝑍)))
8746, 47, 863eqtr4rd 2865 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
8887oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
8943, 44, 883eqtr4rd 2865 . 2 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
9036, 89eqtrd 2854 1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  cdif 3931  {csn 4559  {cpr 4561  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  invgcminusg 18096  -gcsg 18097  LSSumclsm 18751  Abelcabl 18899  Ringcrg 19289  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867
This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  38839
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