Theorem baerlem5alem1 42685

Description: Lemma for baerlem5a 42691. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5a.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5a.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5a.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5a.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5a.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5a.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem5a.j1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
2		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		baerlem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		baerlem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		baerlem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 21343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		baerlem5a.a1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		baerlem3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13	lmodsubdi 21156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)))
15		baerlem3.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		baerlem3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
17	2, 4, 3, 5	lmodvscl 21115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	9, 10, 11, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13	lmodsubvs 21155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
20	14, 19	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
21	20	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
22	4	lmodring 21105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 20426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	9, 22, 23	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25	5, 16	grpinvcl 19160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
26	24, 10, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
27	2, 4, 3, 5	lmodvscl 21115	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
28	9, 26, 13, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
29		baerlem5a.b1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
30		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31	30	eldifad 3910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
32	2, 4, 3, 5	lmodvscl 21115	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	9, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	2, 15	lmodass 21113	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
35	9, 18, 28, 33, 34	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	1, 21, 35	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
37	2, 15	lmodvacl 21112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38	9, 13, 31, 37	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
39	2, 4, 3, 5	lmodvscl 21115	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
40	9, 10, 38, 39	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
42	2, 15, 41, 6	grpsubval 19158	. . . 4 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
43	18, 40, 42	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
44	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38	lmodsubdi 21156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
45	2, 15, 4, 3, 5	lmodvsdi 21122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
46	9, 26, 13, 31, 45	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
47	2, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10	lmodvsneg 21143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)))
48		baerlem3.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
49		baerlem3.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
50		baerlem5a.e1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
51		baerlem5a.d1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
52	5, 16	grpinvcl 19160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
53	24, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
54		baerlem3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
55		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
56	2, 55, 49, 9, 13, 31	lspprcl 21215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
58	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31	lsppreli 21327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
59	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31	lsppreli 21327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
60		baerlem5a.j2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
61	2, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31	lmodsubdi 21156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)))
62	2, 4, 3, 5	lmodvscl 21115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
63	9, 51, 11, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
64	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31	lmodsubvs 21155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
65	61, 64	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
66	65	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
67		lmodabl 21146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	7, 8, 67	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	2, 4, 3, 5	lmodvscl 21115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
70	9, 53, 31, 69	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
71	2, 4, 3, 5	lmodvscl 21115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	9, 50, 13, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	2, 15, 68, 63, 70, 72	abl32 19979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
74	2, 15	lmodass 21113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
75	9, 63, 72, 70, 74	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
76	66, 73, 75	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
77	60, 36, 76	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
78	2, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77	lvecindp 21378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = 𝑑 ∧ (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
79	78	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
80	2, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79	lvecindp2 21379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) = 𝑒 ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑑)))
81	80	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑑))
82	78	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 = 𝑑)
83	82	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘𝑑))
84	81, 83	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑎))
85	84	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) = ((𝐼‘𝑎) · 𝑍))
86	85	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
87	46, 47, 86	3eqtr4rd 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
88	87	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
89	43, 44, 88	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
90	36, 89	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3895  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  +_gcplusg 17390  Scalarcsca 17393   ·_𝑠 cvsca 17394  0_gc0g 17572  Grpcgrp 19106  inv_gcminusg 19107  -_gcsg 19108  LSSumclsm 19810  Abelcabl 19957  Ringcrg 20421  LModclmod 21097  LSubSpclss 21168  LSpanclspn 21208  LVecclvec 21339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-subg 19295  df-cntz 19493  df-lsm 19812  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-invr 20580  df-drng 20944  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-lvec 21340

This theorem is used by:  baerlem5alem2  42688