Theorem baerlem5alem1 41732

Description: Lemma for baerlem5a 41738. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5a.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5a.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5a.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5a.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5a.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5a.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem baerlem5alem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem5a.j1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
2		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		baerlem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		baerlem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		baerlem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 21069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		baerlem5a.a1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		baerlem3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13	lmodsubdi 20881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)))
15		baerlem3.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		baerlem3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
17	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	9, 10, 11, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13	lmodsubvs 20880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
20	14, 19	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)))
21	20	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
22	4	lmodring 20830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 20203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	9, 22, 23	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25	5, 16	grpinvcl 18975	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
26	24, 10, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵)
27	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20840	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
28	9, 26, 13, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉)
29		baerlem5a.b1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
30		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31	30	eldifad 3943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
32	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20840	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	9, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	2, 15	lmodass 20838	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑎) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
35	9, 18, 28, 33, 34	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	1, 21, 35	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
37	2, 15	lmodvacl 20837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38	9, 13, 31, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
39	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20840	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
40	9, 10, 38, 39	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
41		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
42	2, 15, 41, 6	grpsubval 18973	. . . 4 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
43	18, 40, 42	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
44	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38	lmodsubdi 20881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) − (𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
45	2, 15, 4, 3, 5	lmodvsdi 20847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
46	9, 26, 13, 31, 45	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
47	2, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10	lmodvsneg 20868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝐼‘𝑎) · (𝑌 + 𝑍)))
48		baerlem3.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
49		baerlem3.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
50		baerlem5a.e1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
51		baerlem5a.d1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
52	5, 16	grpinvcl 18975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
53	24, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
54		baerlem3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
56	2, 55, 49, 9, 13, 31	lspprcl 20940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
58	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31	lsppreli 21053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
59	2, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31	lsppreli 21053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
60		baerlem5a.j2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
61	2, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31	lmodsubdi 20881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)))
62	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
63	9, 51, 11, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
64	2, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31	lmodsubvs 20880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
65	61, 64	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
66	65	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
67		lmodabl 20871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	7, 8, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
70	9, 53, 31, 69	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
71	2, 4, 3, 5	lmodvscl 20840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	9, 50, 13, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	2, 15, 68, 63, 70, 72	abl32 19789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
74	2, 15	lmodass 20838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
75	9, 63, 72, 70, 74	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑌)) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
76	66, 73, 75	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
77	60, 36, 76	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
78	2, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77	lvecindp 21104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = 𝑑 ∧ (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
79	78	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
80	2, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79	lvecindp2 21105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) = 𝑒 ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑑)))
81	80	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑑))
82	78	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 = 𝑑)
83	82	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘𝑑))
84	81, 83	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑏 = (𝐼‘𝑎))
85	84	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) = ((𝐼‘𝑎) · 𝑍))
86	85	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑎) · 𝑍)))
87	46, 47, 86	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍))))
88	87	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝑎 · (𝑌 + 𝑍)))))
89	43, 44, 88	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑎) · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
90	36, 89	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3928  {csn 4606  {cpr 4608  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  -_gcsg 18923  LSSumclsm 19620  Abelcabl 19767  Ringcrg 20198  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LSpanclspn 20933  LVecclvec 21065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066

This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  41735