Theorem eqgvscpbl 33428

Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgvscpbl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Proof of Theorem eqgvscpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		eqgvscpbl.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐾 ∈ 𝑆)
5		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqgvscpbl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
8		eqgvscpbl.p	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
9		eqgvscpbl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20867	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20867	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14	2, 4, 12, 13	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
16	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝑆)
17		lmodgrp 20856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Grp)
19		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
21	6, 20	grpinvcl 18957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 21	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
25	6, 24, 7, 8, 9	lmodvsdi 20874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
26	15, 16, 22, 23, 25	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
27	6, 7, 8, 20, 9	lmodvsinv2 21027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
28	15, 16, 19, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
29	28	oveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
30	26, 29	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
31	30	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
32	31	3adantr3 1173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
33		eqgvscpbl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
35		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)
36		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
37	7, 8, 9, 36	lssvscl 20944	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
38	2, 34, 4, 35, 37	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
39	32, 38	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)
40	11, 14, 39	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺))
41	40	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
42	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
43	36	lsssubg 20946	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
44	1, 33, 43	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
45	6	subgss 19097	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝐵)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐵)
47		eqgvscpbl.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
48	6, 20, 24, 47	eqgval 19146	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
49	42, 46, 48	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
50	6, 20, 24, 47	eqgval 19146	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
51	42, 46, 50	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
52	41, 49, 51	3imtr4d 294	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  SubGrpcsubg 19090   ~_QG cqg 19092  LModclmod 20849  LSubSpclss 20920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-eqg 19095  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-lss 20921

This theorem is referenced by:  qusvscpbl  33429