Theorem eqgvscpbl 33287

Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgvscpbl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Proof of Theorem eqgvscpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		eqgvscpbl.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐾 ∈ 𝑆)
5		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqgvscpbl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
8		eqgvscpbl.p	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
9		eqgvscpbl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20781	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20781	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14	2, 4, 12, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
16	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝑆)
17		lmodgrp 20770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Grp)
19		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
21	6, 20	grpinvcl 18866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
25	6, 24, 7, 8, 9	lmodvsdi 20788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
26	15, 16, 22, 23, 25	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
27	6, 7, 8, 20, 9	lmodvsinv2 20941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
28	15, 16, 19, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
29	28	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
30	26, 29	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
31	30	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
32	31	3adantr3 1172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
33		eqgvscpbl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
35		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)
36		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
37	7, 8, 9, 36	lssvscl 20858	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
38	2, 34, 4, 35, 37	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
39	32, 38	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)
40	11, 14, 39	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺))
41	40	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
42	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
43	36	lsssubg 20860	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
44	1, 33, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
45	6	subgss 19006	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝐵)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐵)
47		eqgvscpbl.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
48	6, 20, 24, 47	eqgval 19056	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
49	42, 46, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
50	6, 20, 24, 47	eqgval 19056	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
51	42, 46, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
52	41, 49, 51	3imtr4d 294	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813  SubGrpcsubg 18999   ~_QG cqg 19001  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-eqg 19004  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lss 20835

This theorem is referenced by:  qusvscpbl  33288