Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqgvscpbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eqgvscpbl 32465
Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqgvscpbl (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem eqgvscpbl
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3 eqgvscpbl.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
43adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
5 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 eqgvscpbl.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
8 eqgvscpbl.p . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
9 eqgvscpbl.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
106, 7, 8, 9lmodvscl 20489 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
112, 4, 5, 10syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
12 simpr2 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
136, 7, 8, 9lmodvscl 20489 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
142, 4, 12, 13syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
151ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
163ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
17 lmodgrp 20478 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
19 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
216, 20grpinvcl 18872 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
2218, 19, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
23 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
256, 24, 7, 8, 9lmodvsdi 20495 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
2615, 16, 22, 23, 25syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
276, 7, 8, 20, 9lmodvsinv2 20648 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
2815, 16, 19, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
2928oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
3026, 29eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
3130anasss 468 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
32313adantr3 1172 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
33 eqgvscpbl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
35 simpr3 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)
36 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
377, 8, 9, 36lssvscl 20566 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) ∈ 𝐺)
382, 34, 4, 35, 37syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) ∈ 𝐺)
3932, 38eqeltrrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)
4011, 14, 393jca 1129 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺))
4140ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
421, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Grp)
4336lsssubg 20568 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
441, 33, 43syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
456subgss 19007 . . . 4 (𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) β†’ 𝐺 βŠ† 𝐡)
4644, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐡)
47 eqgvscpbl.e . . . 4 ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
486, 20, 24, 47eqgval 19057 . . 3 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)))
4942, 46, 48syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)))
506, 20, 24, 47eqgval 19057 . . 3 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
5142, 46, 50syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
5241, 49, 513imtr4d 294 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  qusvscpbl  32466
  Copyright terms: Public domain W3C validator