Theorem eqgvscpbl 33798

Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgvscpbl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Proof of Theorem eqgvscpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		eqgvscpbl.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐾 ∈ 𝑆)
5		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqgvscpbl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
8		eqgvscpbl.p	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
9		eqgvscpbl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 21068	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	lmodvscl 21068	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14	2, 4, 12, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
16	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝑆)
17		lmodgrp 21057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
18	15, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Grp)
19		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
21	6, 20	grpinvcl 19117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
25	6, 24, 7, 8, 9	lmodvsdi 21075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
26	15, 16, 22, 23, 25	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
27	6, 7, 8, 20, 9	lmodvsinv2 21227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
28	15, 16, 19, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
29	28	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
30	26, 29	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
31	30	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
32	31	3adantr3 1190	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
33		eqgvscpbl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
35		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)
36		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
37	7, 8, 9, 36	lssvscl 21145	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
38	2, 34, 4, 35, 37	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
39	32, 38	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)
40	11, 14, 39	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺))
41	40	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
42	1, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
43	36	lsssubg 21147	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
44	1, 33, 43	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
45	6	subgss 19256	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝐵)
46	44, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐵)
47		eqgvscpbl.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
48	6, 20, 24, 47	eqgval 19308	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
49	42, 46, 48	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
50	6, 20, 24, 47	eqgval 19308	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
51	42, 46, 50	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
52	41, 49, 51	3imtr4d 297	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064  SubGrpcsubg 19249   ~_QG cqg 19251  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-eqg 19254  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-lss 21122

This theorem is used by:  qusvscpbl  33799