Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqgvscpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgvscpbl 32189
Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqgvscpbl (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ)))

Proof of Theorem eqgvscpbl
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3 eqgvscpbl.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
43adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
5 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 eqgvscpbl.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
8 eqgvscpbl.p . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
9 eqgvscpbl.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
106, 7, 8, 9lmodvscl 20354 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
112, 4, 5, 10syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
12 simpr2 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
136, 7, 8, 9lmodvscl 20354 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
142, 4, 12, 13syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
151ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
163ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
17 lmodgrp 20343 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
19 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
216, 20grpinvcl 18803 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
2218, 19, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
23 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
256, 24, 7, 8, 9lmodvsdi 20360 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
2615, 16, 22, 23, 25syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
276, 7, 8, 20, 9lmodvsinv2 20513 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
2815, 16, 19, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
2928oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
3026, 29eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
3130anasss 468 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
32313adantr3 1172 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
33 eqgvscpbl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
35 simpr3 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)
36 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
377, 8, 9, 36lssvscl 20431 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) ∈ 𝐺)
382, 34, 4, 35, 37syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) ∈ 𝐺)
3932, 38eqeltrrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)
4011, 14, 393jca 1129 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺))
4140ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
421, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Grp)
4336lsssubg 20433 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
441, 33, 43syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
456subgss 18934 . . . 4 (𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) β†’ 𝐺 βŠ† 𝐡)
4644, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐡)
47 eqgvscpbl.e . . . 4 ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
486, 20, 24, 47eqgval 18984 . . 3 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)))
4942, 46, 48syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)))
506, 20, 24, 47eqgval 18984 . . 3 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
5142, 46, 50syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
5241, 49, 513imtr4d 294 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  SubGrpcsubg 18927   ~QG cqg 18929  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-eqg 18932  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408
This theorem is referenced by:  qusvscpbl  32190
  Copyright terms: Public domain W3C validator