Theorem eqgvscpbl 33536

Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgvscpbl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Proof of Theorem eqgvscpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		eqgvscpbl.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐾 ∈ 𝑆)
5		simpr1 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqgvscpbl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
8		eqgvscpbl.p	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
9		eqgvscpbl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20945	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20945	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14	2, 4, 12, 13	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	1	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
16	3	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝑆)
17		lmodgrp 20934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Grp)
19		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
21	6, 20	grpinvcl 19029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 21	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
25	6, 24, 7, 8, 9	lmodvsdi 20952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
26	15, 16, 22, 23, 25	syl13anc 1391	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
27	6, 7, 8, 20, 9	lmodvsinv2 21104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
28	15, 16, 19, 27	syl3anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
29	28	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
30	26, 29	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
31	30	anasss 470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
32	31	3adantr3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
33		eqgvscpbl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
34	33	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
35		simpr3 1210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)
36		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
37	7, 8, 9, 36	lssvscl 21022	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
38	2, 34, 4, 35, 37	syl22anc 849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
39	32, 38	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)
40	11, 14, 39	3jca 1141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺))
41	40	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
42	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
43	36	lsssubg 21024	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
44	1, 33, 43	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
45	6	subgss 19169	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝐵)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐵)
47		eqgvscpbl.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
48	6, 20, 24, 47	eqgval 19218	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
49	42, 46, 48	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
50	6, 20, 24, 47	eqgval 19218	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
51	42, 46, 50	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
52	41, 49, 51	3imtr4d 296	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976  SubGrpcsubg 19162   ~_QG cqg 19164  LModclmod 20927  LSubSpclss 20998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-eqg 19167  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-lmod 20929  df-lss 20999

This theorem is referenced by:  qusvscpbl  33537