Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqgvscpbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eqgvscpbl 32735
Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqgvscpbl (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem eqgvscpbl
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3 eqgvscpbl.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
43adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
5 simpr1 1192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 eqgvscpbl.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
7 eqid 2730 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
8 eqgvscpbl.p . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
9 eqgvscpbl.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
106, 7, 8, 9lmodvscl 20632 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
112, 4, 5, 10syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
12 simpr2 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
136, 7, 8, 9lmodvscl 20632 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
142, 4, 12, 13syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
151ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
163ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
17 lmodgrp 20621 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
19 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
216, 20grpinvcl 18908 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
2218, 19, 21syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
23 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
256, 24, 7, 8, 9lmodvsdi 20639 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
2615, 16, 22, 23, 25syl13anc 1370 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
276, 7, 8, 20, 9lmodvsinv2 20792 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
2815, 16, 19, 27syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
2928oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐾 Β· ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
3026, 29eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
3130anasss 465 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
32313adantr3 1169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)))
33 eqgvscpbl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
3433adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
35 simpr3 1194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)
36 eqid 2730 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
377, 8, 9, 36lssvscl 20710 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) ∈ 𝐺)
382, 34, 4, 35, 37syl22anc 835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (𝐾 Β· (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ)) ∈ 𝐺)
3932, 38eqeltrrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)
4011, 14, 393jca 1126 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺))
4140ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
421, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Grp)
4336lsssubg 20712 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
441, 33, 43syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
456subgss 19043 . . . 4 (𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) β†’ 𝐺 βŠ† 𝐡)
4644, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐡)
47 eqgvscpbl.e . . . 4 ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
486, 20, 24, 47eqgval 19093 . . 3 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)))
4942, 46, 48syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ) ∈ 𝐺)))
506, 20, 24, 47eqgval 19093 . . 3 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
5142, 46, 50syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜(𝐾 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘€)(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ 𝐺)))
5241, 49, 513imtr4d 293 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∼ (𝐾 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036   ~QG cqg 19038  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lss 20687
This theorem is referenced by:  qusvscpbl  32736
  Copyright terms: Public domain W3C validator