Theorem eqgvscpbl 31550

Description: The left coset equivalence relation is compatible with the scalar multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgvscpbl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Proof of Theorem eqgvscpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		eqgvscpbl.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐾 ∈ 𝑆)
5		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqgvscpbl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
8		eqgvscpbl.p	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
9		eqgvscpbl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20140	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20140	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14	2, 4, 12, 13	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
16	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝑆)
17		lmodgrp 20130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Grp)
19		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
21	6, 20	grpinvcl 18627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
25	6, 24, 7, 8, 9	lmodvsdi 20146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝑀)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
26	15, 16, 22, 23, 25	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
27	6, 7, 8, 20, 9	lmodvsinv2 20299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
28	15, 16, 19, 27	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋)) = ((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋)))
29	28	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐾 · ((invg‘𝑀)‘𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
30	26, 29	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
31	30	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
32	31	3adantr3 1170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) = (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)))
33		eqgvscpbl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
35		simpr3 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)
36		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
37	7, 8, 9, 36	lssvscl 20217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑆 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
38	2, 34, 4, 35, 37	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (𝐾 · (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌)) ∈ 𝐺)
39	32, 38	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)
40	11, 14, 39	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺))
41	40	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺) → ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
42	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
43	36	lsssubg 20219	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
44	1, 33, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
45	6	subgss 18756	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝐵)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐵)
47		eqgvscpbl.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
48	6, 20, 24, 47	eqgval 18805	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
49	42, 46, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘𝑋)(+g‘𝑀)𝑌) ∈ 𝐺)))
50	6, 20, 24, 47	eqgval 18805	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
51	42, 46, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌) ↔ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑀)‘(𝐾 · 𝑋))(+g‘𝑀)(𝐾 · 𝑌)) ∈ 𝐺)))
52	41, 49, 51	3imtr4d 294	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝐾 · 𝑋) ∼ (𝐾 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  SubGrpcsubg 18749   ~_QG cqg 18751  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194

This theorem is referenced by:  qusvscpbl  31551