MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsinv2 21054
Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsinv2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsinv2.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsinv2.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodvsinv2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · (𝑁𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsinv2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodgrp 20882 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝑊 ∈ Grp)
4 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
5 lmodvsinv2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
7 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
8 lmodvsinv2.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑊)
95, 6, 7, 8grprinv 19021 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (0g𝑊))
103, 4, 9syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (0g𝑊))
1110oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = (𝑅 · (0g𝑊)))
12 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝑅𝐾)
135, 8grpinvcl 19018 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
143, 4, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
15 lmodvsinv2.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16 lmodvsinv2.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
17 lmodvsinv2.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
185, 6, 15, 16, 17lmodvsdi 20900 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)) → (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · (𝑁𝑋))))
191, 12, 4, 14, 18syl13anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · (𝑁𝑋))))
2015, 16, 17, 7lmodvs0 20911 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
211, 12, 20syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
2211, 19, 213eqtr3d 2783 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · (𝑁𝑋))) = (0g𝑊))
235, 15, 16, 17lmodvscl 20893 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
245, 15, 16, 17lmodvscl 20893 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
251, 12, 14, 24syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · (𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
265, 6, 7, 8grpinvid1 19022 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅 · (𝑁𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · (𝑁𝑋))) = (0g𝑊)))
273, 23, 25, 26syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · (𝑁𝑋))) = (0g𝑊)))
2822, 27mpbird 257 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁𝑋)))
2928eqcomd 2741 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · (𝑁𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  LModclmod 20875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877
This theorem is referenced by:  invlmhm  21059  eqgvscpbl  33358
  Copyright terms: Public domain W3C validator