Theorem lmodvsinv2 20299

Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsinv2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsinv2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsinv2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsinv2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsinv2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsinv2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Grp)
4		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lmodvsinv2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lmodvsinv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 18629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
10	3, 4, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
11	10	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
12		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐾)
13	5, 8	grpinvcl 18627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	3, 4, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		lmodvsinv2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		lmodvsinv2.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lmodvsinv2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
18	5, 6, 15, 16, 17	lmodvsdi 20146	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
19	1, 12, 4, 14, 18	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
20	15, 16, 17, 7	lmodvs0 20157	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
21	1, 12, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	11, 19, 21	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊))
23	5, 15, 16, 17	lmodvscl 20140	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 15, 16, 17	lmodvscl 20140	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
25	1, 12, 14, 24	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
26	5, 6, 7, 8	grpinvid1 18630	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
28	22, 27	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)))
29	28	eqcomd 2744	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  LModclmod 20123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-lmod 20125

This theorem is referenced by:  invlmhm  20304  eqgvscpbl  31550