Theorem lmodvsinv2 20214

Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsinv2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsinv2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsinv2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsinv2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsinv2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsinv2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Grp)
4		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lmodvsinv2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lmodvsinv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 18544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
10	3, 4, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
11	10	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
12		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐾)
13	5, 8	grpinvcl 18542	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	3, 4, 13	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		lmodvsinv2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		lmodvsinv2.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lmodvsinv2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
18	5, 6, 15, 16, 17	lmodvsdi 20061	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
19	1, 12, 4, 14, 18	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
20	15, 16, 17, 7	lmodvs0 20072	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
21	1, 12, 20	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	11, 19, 21	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊))
23	5, 15, 16, 17	lmodvscl 20055	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 15, 16, 17	lmodvscl 20055	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
25	1, 12, 14, 24	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
26	5, 6, 7, 8	grpinvid1 18545	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
28	22, 27	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)))
29	28	eqcomd 2744	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  LModclmod 20038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-lmod 20040

This theorem is referenced by:  invlmhm  20219  eqgvscpbl  31452