MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss3 20436
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islss3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islss3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20413 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
65, 1ressbas2 17127 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
76adantl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
83, 7sylan2 594 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
9 eqid 2737 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
105, 9ressplusg 17178 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
1110adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
135, 12resssca 17231 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1413adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
15 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
165, 15ressvsca 17232 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
1716adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
18 eqidd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
19 eqidd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 eqidd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 eqidd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2212lmodring 20346 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
2322adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
242lsssubg 20434 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
255subggrp 18938 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2812, 15, 27, 2lssvscl 20432 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
29283impb 1116 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
30 simpll 766 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
31 simpr1 1195 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
323ad2antlr 726 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
33 simpr2 1196 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
3432, 33sseldd 3950 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
35 simpr3 1197 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
3632, 35sseldd 3950 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 20361 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1373 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
39 simpll 766 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
40 simpr1 1195 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
41 simpr2 1196 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
423ad2antlr 726 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43 simpr3 1197 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
4442, 43sseldd 3950 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
45 eqid 2737 . . . . . 6 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 20362 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1373 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
48 eqid 2737 . . . . . 6 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 20363 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1373 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
514sselda 3949 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
52 eqid 2737 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
531, 12, 15, 52lmodvs1 20366 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5453adantlr 714 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5551, 54syldan 592 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 20344 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 513 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 770 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
60 fvex 6860 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
6159, 60eqeltrdi 2846 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
625, 12resssca 17231 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6463eqcomd 2743 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
65 eqidd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
661a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
675, 9ressplusg 17178 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6968eqcomd 2743 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘Š))
705, 15ressvsca 17232 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7271eqcomd 2743 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
732a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
7459, 58eqsstrrd 3988 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
75 lmodgrp 20345 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 728 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
7877grpbn0 18786 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
80 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
8177, 80lss1 20415 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
8281ad2antll 728 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
83 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
84 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
85 eqid 2737 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
86 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 20419 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8882, 87sylan 581 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 20412 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2838 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9157, 90impbida 800 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  Grpcgrp 18755  SubGrpcsubg 18929  1rcur 19920  Ringcrg 19971  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409
This theorem is referenced by:  lsslmod  20437  lsslss  20438  issubassa  21288
  Copyright terms: Public domain W3C validator