MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islss3 20804
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islss3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islss3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Proof of Theorem islss3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20781 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
65, 1ressbas2 17189 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
76adantl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
83, 7sylan2 592 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
9 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
105, 9ressplusg 17242 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
1110adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
12 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
135, 12resssca 17295 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1413adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
15 eqid 2726 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
165, 15ressvsca 17296 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
1716adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
18 eqidd 2727 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
19 eqidd 2727 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 eqidd 2727 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 eqidd 2727 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2212lmodring 20712 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
2322adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
242lsssubg 20802 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
255subggrp 19054 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2812, 15, 27, 2lssvscl 20800 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
29283impb 1112 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
30 simpll 764 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
31 simpr1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
323ad2antlr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
33 simpr2 1192 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
3432, 33sseldd 3978 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
35 simpr3 1193 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
3632, 35sseldd 3978 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 20729 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
39 simpll 764 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
40 simpr1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
41 simpr2 1192 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
423ad2antlr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43 simpr3 1193 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
4442, 43sseldd 3978 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
45 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 20730 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
48 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 20731 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
514sselda 3977 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
52 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
531, 12, 15, 52lmodvs1 20734 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5453adantlr 712 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5551, 54syldan 590 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 20710 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 511 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 768 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
60 fvex 6897 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
6159, 60eqeltrdi 2835 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
625, 12resssca 17295 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6463eqcomd 2732 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
65 eqidd 2727 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
661a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
675, 9ressplusg 17242 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6968eqcomd 2732 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘Š))
705, 15ressvsca 17296 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7271eqcomd 2732 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
732a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
7459, 58eqsstrrd 4016 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
75 lmodgrp 20711 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 726 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
7877grpbn0 18894 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
80 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
8177, 80lss1 20783 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
8281ad2antll 726 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
83 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
84 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
85 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
86 eqid 2726 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 20787 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8882, 87sylan 579 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 20780 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2827 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9157, 90impbida 798 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19045  1rcur 20084  Ringcrg 20136  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777
This theorem is referenced by:  lsslmod  20805  lsslss  20806  issubassa  21757  lsssra  33193
  Copyright terms: Public domain W3C validator