MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islss3 20562
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islss3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islss3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Proof of Theorem islss3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20539 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43adantl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
65, 1ressbas2 17178 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
76adantl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
83, 7sylan2 593 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
105, 9ressplusg 17231 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
1110adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
135, 12resssca 17284 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1413adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
15 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
165, 15ressvsca 17285 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
1716adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
18 eqidd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
19 eqidd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 eqidd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 eqidd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2212lmodring 20471 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
2322adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
242lsssubg 20560 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
255subggrp 19003 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2812, 15, 27, 2lssvscl 20558 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
29283impb 1115 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
30 simpll 765 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
31 simpr1 1194 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
323ad2antlr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
33 simpr2 1195 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
3432, 33sseldd 3982 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
35 simpr3 1196 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
3632, 35sseldd 3982 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 20487 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1372 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
39 simpll 765 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
40 simpr1 1194 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
41 simpr2 1195 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
423ad2antlr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43 simpr3 1196 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
4442, 43sseldd 3982 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
45 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 20488 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1372 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
48 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 20489 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1372 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
514sselda 3981 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
52 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
531, 12, 15, 52lmodvs1 20492 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5453adantlr 713 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5551, 54syldan 591 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 20469 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 512 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 769 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
60 fvex 6901 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
6159, 60eqeltrdi 2841 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
625, 12resssca 17284 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6463eqcomd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
65 eqidd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
661a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
675, 9ressplusg 17231 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6968eqcomd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘Š))
705, 15ressvsca 17285 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7271eqcomd 2738 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
732a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
7459, 58eqsstrrd 4020 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
75 lmodgrp 20470 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 727 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
7877grpbn0 18847 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
80 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
8177, 80lss1 20541 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
8281ad2antll 727 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
83 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
84 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
85 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
86 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 20545 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8882, 87sylan 580 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 20538 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2833 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9157, 90impbida 799 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535
This theorem is referenced by:  lsslmod  20563  lsslss  20564  issubassa  21412
  Copyright terms: Public domain W3C validator