MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss3 19231
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islss3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss3.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19206 . . . 4 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
43adantl 473 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
65, 1ressbas2 16203 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑈 = (Base‘𝑋))
76adantl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
83, 7sylan2 586 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
9 eqid 2765 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
105, 9ressplusg 16265 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (+g𝑊) = (+g𝑋))
1110adantl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
12 eqid 2765 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
135, 12resssca 16303 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413adantl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
15 eqid 2765 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
165, 15ressvsca 16304 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
1716adantl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
18 eqidd 2766 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19 eqidd 2766 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
20 eqidd 2766 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
21 eqidd 2766 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
2212lmodring 19140 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2322adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
242lsssubg 19229 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
255subggrp 17861 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2812, 15, 27, 2lssvscl 19227 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
29283impb 1143 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
30 simpll 783 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
31 simpr1 1248 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
323ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
33 simpr2 1250 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑈)
3432, 33sseldd 3762 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑉)
35 simpr3 1252 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
3632, 35sseldd 3762 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 19155 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1491 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
39 simpll 783 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr1 1248 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41 simpr2 1250 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
423ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
43 simpr3 1252 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
4442, 43sseldd 3762 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
45 eqid 2765 . . . . . 6 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 19156 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1491 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
48 eqid 2765 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 19157 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1491 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
514sselda 3761 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑉)
52 eqid 2765 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
531, 12, 15, 52lmodvs1 19160 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5453adantlr 706 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5551, 54syldan 585 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 19138 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 507 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 787 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
60 fvex 6388 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) ∈ V
6159, 60syl6eqel 2852 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ V)
625, 12resssca 16303 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6463eqcomd 2771 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
65 eqidd 2766 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
661a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
675, 9ressplusg 16265 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6968eqcomd 2771 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑋) = (+g𝑊))
705, 15ressvsca 16304 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7271eqcomd 2771 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
732a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
7459, 58eqsstr3d 3800 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ⊆ 𝑉)
75 lmodgrp 19139 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 720 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
7877grpbn0 17718 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
80 eqid 2765 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
8177, 80lss1 19208 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
8281ad2antll 720 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
83 eqid 2765 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85 eqid 2765 . . . . . 6 (+g𝑋) = (+g𝑋)
86 eqid 2765 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 19212 . . . . 5 (((Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8882, 87sylan 575 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 19205 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2844 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑆)
9157, 90impbida 835 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  wss 3732  c0 4079  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  s cress 16131  +gcplusg 16214  .rcmulr 16215  Scalarcsca 16217   ·𝑠 cvsca 16218  Grpcgrp 17689  SubGrpcsubg 17852  1rcur 18768  Ringcrg 18814  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-subg 17855  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-lmod 19134  df-lss 19202
This theorem is referenced by:  lsslmod  19232  lsslss  19233  issubassa  19598
  Copyright terms: Public domain W3C validator