MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss3 20975
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islss3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss3.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 20952 . . . 4 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
43adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
65, 1ressbas2 17283 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑈 = (Base‘𝑋))
76adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
83, 7sylan2 593 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
9 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
105, 9ressplusg 17336 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (+g𝑊) = (+g𝑋))
1110adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
12 eqid 2735 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
135, 12resssca 17389 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
15 eqid 2735 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
165, 15ressvsca 17390 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
18 eqidd 2736 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19 eqidd 2736 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
20 eqidd 2736 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
21 eqidd 2736 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
2212lmodring 20883 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2322adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
242lsssubg 20973 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
255subggrp 19160 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2812, 15, 27, 2lssvscl 20971 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
29283impb 1114 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
30 simpll 767 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
31 simpr1 1193 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
323ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
33 simpr2 1194 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑈)
3432, 33sseldd 3996 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑉)
35 simpr3 1195 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
3632, 35sseldd 3996 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 20900 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1371 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
39 simpll 767 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr1 1193 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41 simpr2 1194 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
423ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
43 simpr3 1195 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
4442, 43sseldd 3996 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
45 eqid 2735 . . . . . 6 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 20901 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1371 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
48 eqid 2735 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 20902 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1371 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
514sselda 3995 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑉)
52 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
531, 12, 15, 52lmodvs1 20905 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5453adantlr 715 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5551, 54syldan 591 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 20881 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 511 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 771 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
60 fvex 6920 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) ∈ V
6159, 60eqeltrdi 2847 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ V)
625, 12resssca 17389 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6463eqcomd 2741 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
65 eqidd 2736 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
661a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
675, 9ressplusg 17336 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6968eqcomd 2741 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑋) = (+g𝑊))
705, 15ressvsca 17390 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7271eqcomd 2741 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
732a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
7459, 58eqsstrrd 4035 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ⊆ 𝑉)
75 lmodgrp 20882 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 729 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
7877grpbn0 18997 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
80 eqid 2735 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
8177, 80lss1 20954 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
8281ad2antll 729 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
83 eqid 2735 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝑋) = (+g𝑋)
86 eqid 2735 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 20958 . . . . 5 (((Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8882, 87sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 20951 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2839 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑆)
9157, 90impbida 801 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  1rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948
This theorem is referenced by:  lsslmod  20976  lsslss  20977  issubassa  21905  lsssra  33618
  Copyright terms: Public domain W3C validator