MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islss3 20848
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islss3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islss3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Proof of Theorem islss3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20825 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43adantl 480 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
65, 1ressbas2 17223 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
76adantl 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
83, 7sylan2 591 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
9 eqid 2727 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
105, 9ressplusg 17276 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
1110adantl 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
12 eqid 2727 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
135, 12resssca 17329 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1413adantl 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
15 eqid 2727 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
165, 15ressvsca 17330 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
1716adantl 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
18 eqidd 2728 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
19 eqidd 2728 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 eqidd 2728 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 eqidd 2728 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2212lmodring 20756 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
2322adantr 479 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
242lsssubg 20846 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
255subggrp 19089 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2812, 15, 27, 2lssvscl 20844 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
29283impb 1112 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
30 simpll 765 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
31 simpr1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
323ad2antlr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
33 simpr2 1192 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
3432, 33sseldd 3981 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
35 simpr3 1193 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
3632, 35sseldd 3981 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 20773 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
39 simpll 765 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
40 simpr1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
41 simpr2 1192 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
423ad2antlr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
43 simpr3 1193 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
4442, 43sseldd 3981 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
45 eqid 2727 . . . . . 6 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 20774 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
48 eqid 2727 . . . . . 6 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 20775 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
514sselda 3980 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
52 eqid 2727 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
531, 12, 15, 52lmodvs1 20778 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5453adantlr 713 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5551, 54syldan 589 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 20754 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 510 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 769 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
60 fvex 6913 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
6159, 60eqeltrdi 2836 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
625, 12resssca 17329 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
6463eqcomd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
65 eqidd 2728 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
661a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
675, 9ressplusg 17276 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
6968eqcomd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘Š))
705, 15ressvsca 17330 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
7271eqcomd 2733 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
732a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
7459, 58eqsstrrd 4019 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
75 lmodgrp 20755 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 727 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
7877grpbn0 18928 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
80 eqid 2727 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
8177, 80lss1 20827 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
8281ad2antll 727 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
83 eqid 2727 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
84 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
85 eqid 2727 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
86 eqid 2727 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 20831 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8882, 87sylan 578 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 20824 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2828 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9157, 90impbida 799 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4324  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185   β†Ύs cress 17214  +gcplusg 17238  .rcmulr 17239  Scalarcsca 17241   ·𝑠 cvsca 17242  Grpcgrp 18895  SubGrpcsubg 19080  1rcur 20126  Ringcrg 20178  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750  df-lss 20821
This theorem is referenced by:  lsslmod  20849  lsslss  20850  issubassa  21805  lsssra  33293
  Copyright terms: Public domain W3C validator