MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss3 20292
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islss3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss3.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 20269 . . . 4 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
43adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
65, 1ressbas2 17016 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑈 = (Base‘𝑋))
76adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
83, 7sylan2 593 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
9 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
105, 9ressplusg 17067 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (+g𝑊) = (+g𝑋))
1110adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
135, 12resssca 17120 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
15 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
165, 15ressvsca 17121 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
1716adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
18 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
20 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
21 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
2212lmodring 20202 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
242lsssubg 20290 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
255subggrp 18825 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2812, 15, 27, 2lssvscl 20288 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
29283impb 1114 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
30 simpll 764 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
31 simpr1 1193 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
323ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
33 simpr2 1194 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑈)
3432, 33sseldd 3931 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑉)
35 simpr3 1195 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
3632, 35sseldd 3931 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 20217 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1371 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
39 simpll 764 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr1 1193 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41 simpr2 1194 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
423ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
43 simpr3 1195 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
4442, 43sseldd 3931 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
45 eqid 2737 . . . . . 6 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 20218 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1371 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
48 eqid 2737 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 20219 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1371 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
514sselda 3930 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑉)
52 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
531, 12, 15, 52lmodvs1 20222 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5453adantlr 712 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5551, 54syldan 591 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 20200 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 512 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 768 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
60 fvex 6822 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) ∈ V
6159, 60eqeltrdi 2846 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ V)
625, 12resssca 17120 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6463eqcomd 2743 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
65 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
661a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
675, 9ressplusg 17067 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6968eqcomd 2743 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑋) = (+g𝑊))
705, 15ressvsca 17121 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7271eqcomd 2743 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
732a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
7459, 58eqsstrrd 3969 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ⊆ 𝑉)
75 lmodgrp 20201 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 726 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
7877grpbn0 18675 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
80 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
8177, 80lss1 20271 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
8281ad2antll 726 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
83 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑋) = (+g𝑋)
86 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 20275 . . . . 5 (((Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8882, 87sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 20268 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2838 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑆)
9157, 90impbida 798 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  Vcvv 3441  wss 3896  c0 4266  cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  s cress 17008  +gcplusg 17029  .rcmulr 17030  Scalarcsca 17032   ·𝑠 cvsca 17033  Grpcgrp 18644  SubGrpcsubg 18816  1rcur 19804  Ringcrg 19850  LModclmod 20194  LSubSpclss 20264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-subg 18819  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-lmod 20196  df-lss 20265
This theorem is referenced by:  lsslmod  20293  lsslss  20294  issubassa  21144
  Copyright terms: Public domain W3C validator