Theorem islss3 20954

Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss3.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islss3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss3.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss3	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islss3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20931	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
5		islss3.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
6	5, 1	ressbas2 17208	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → 𝑈 = (Base‘𝑋))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
8	3, 7	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10	5, 9	ressplusg 17254	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13	5, 12	resssca 17306	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16	5, 15	ressvsca 17307	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
18		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
20		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
21		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
22	12	lmodring 20863	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
24	2	lsssubg 20952	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
25	5	subggrp 19105	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑋 ∈ Grp)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Grp)
27		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28	12, 15, 27, 2	lssvscl 20950	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
29	28	3impb 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
30		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
31		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	3	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
33		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
34	32, 33	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
35		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
36	32, 35	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
37	1, 9, 12, 15, 27	lmodvsdi 20880	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎(+g‘𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
38	30, 31, 34, 36, 37	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎(+g‘𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
39		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
40		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	3	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
43		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
44	42, 43	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
45		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
46	1, 9, 12, 15, 27, 45	lmodvsdir 20881	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
47	39, 40, 41, 44, 46	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
48		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
49	1, 12, 15, 27, 48	lmodvsass 20882	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
50	39, 40, 41, 44, 49	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
51	4	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑉)
52		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
53	1, 12, 15, 52	lmodvs1 20885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
54	53	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
55	51, 54	syldan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
56	8, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55	islmodd 20861	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
57	4, 56	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
58		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
59	58, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
60		fvex 6853	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
61	59, 60	eqeltrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ V)
62	5, 12	resssca 17306	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
64	63	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
65		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
66	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
67	5, 9	ressplusg 17254	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
68	61, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
69	68	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (+g‘𝑋) = (+g‘𝑊))
70	5, 15	ressvsca 17307	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
71	61, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
72	71	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
73	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
74	59, 58	eqsstrrd 3957	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ⊆ 𝑉)
75		lmodgrp 20862	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → 𝑋 ∈ Grp)
76	75	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ Grp)
77		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
78	77	grpbn0 18942	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Grp → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
79	76, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
80		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
81	77, 80	lss1 20933	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
82	81	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
83		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
86		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
87	83, 84, 85, 86, 80	lsscl 20937	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑎)(+g‘𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
88	82, 87	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑎)(+g‘𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
89	64, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88	islssd 20930	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑆)
90	59, 89	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
91	57, 90	impbida 801	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927

This theorem is referenced by:  lsslmod  20955  lsslss  20956  issubassa  21847  lsssra  33732