Theorem islss3 20893

Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss3.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islss3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss3.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss3	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islss3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20870	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
5		islss3.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
6	5, 1	ressbas2 17149	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → 𝑈 = (Base‘𝑋))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
8	3, 7	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10	5, 9	ressplusg 17195	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13	5, 12	resssca 17247	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16	5, 15	ressvsca 17248	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
18		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
20		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
21		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
22	12	lmodring 20802	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
24	2	lsssubg 20891	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
25	5	subggrp 19042	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑋 ∈ Grp)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Grp)
27		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28	12, 15, 27, 2	lssvscl 20889	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
29	28	3impb 1114	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
30		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
31		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	3	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
33		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
34	32, 33	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
35		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
36	32, 35	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
37	1, 9, 12, 15, 27	lmodvsdi 20819	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎(+g‘𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
38	30, 31, 34, 36, 37	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎(+g‘𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
39		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
40		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	3	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
43		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
44	42, 43	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
45		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
46	1, 9, 12, 15, 27, 45	lmodvsdir 20820	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
47	39, 40, 41, 44, 46	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
48		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
49	1, 12, 15, 27, 48	lmodvsass 20821	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
50	39, 40, 41, 44, 49	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
51	4	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑉)
52		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
53	1, 12, 15, 52	lmodvs1 20824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
54	53	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
55	51, 54	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
56	8, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55	islmodd 20800	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
57	4, 56	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
58		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
59	58, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
60		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
61	59, 60	eqeltrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ V)
62	5, 12	resssca 17247	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
64	63	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
65		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
66	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
67	5, 9	ressplusg 17195	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
68	61, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
69	68	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (+g‘𝑋) = (+g‘𝑊))
70	5, 15	ressvsca 17248	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
71	61, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
72	71	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
73	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
74	59, 58	eqsstrrd 3970	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ⊆ 𝑉)
75		lmodgrp 20801	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → 𝑋 ∈ Grp)
76	75	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ Grp)
77		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
78	77	grpbn0 18879	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Grp → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
79	76, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
80		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
81	77, 80	lss1 20872	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
82	81	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
83		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
86		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
87	83, 84, 85, 86, 80	lsscl 20876	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑎)(+g‘𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
88	82, 87	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑎)(+g‘𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
89	64, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88	islssd 20869	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑆)
90	59, 89	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
91	57, 90	impbida 800	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  Grpcgrp 18846  SubGrpcsubg 19033  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  LModclmod 20794  LSubSpclss 20865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-lmod 20796  df-lss 20866

This theorem is referenced by:  lsslmod  20894  lsslss  20895  issubassa  21805  lsssra  33598