MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubdi 20394
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 30033 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdi.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdi.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . . 5 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
10 eqid 2733 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20392 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
1312oveq2d 7374 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
167lmodring 20344 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18ringnegr 20024 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 20023 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2119, 20eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴))
2221oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ))
23 ringgrp 19974 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 19994 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 18803 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20362 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20362 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3322, 30, 323eqtr3d 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3433oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 20354 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 20360 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 20354 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 20354 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20392 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2784 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
4613, 45eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  -gcsg 18755  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338
This theorem is referenced by:  lvecvscan  20588  cpmadugsumlemF  22241  nlmdsdi  24061  minveclem2  24806  mapdpglem21  40201  mapdpglem28  40210  baerlem3lem1  40216  baerlem5alem1  40217  baerlem5blem1  40218
  Copyright terms: Public domain W3C validator