Theorem lmodsubdi 20870

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 31124 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 20868	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
13	12	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
16	7	lmodring 20819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 20238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 20237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴))
22	21	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌))
23		ringgrp 20173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
25	14, 10	ringidcl 20200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	17, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
27	14, 9	grpinvcl 18917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 20838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 20838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
34	33	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 20829	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 20836	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 20829	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 20829	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 20868	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
46	13, 45	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  -_gcsg 18865  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  LModclmod 20811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813

This theorem is referenced by:  lvecvscan  21066  cpmadugsumlemF  22820  nlmdsdi  24625  minveclem2  25382  q1pvsca  33685  r1pvsca  33686  mapdpglem21  41948  mapdpglem28  41957  baerlem3lem1  41963  baerlem5alem1  41964  baerlem5blem1  41965