Theorem lmodsubdi 20436

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 30054 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 20434	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
13	12	oveq2d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
16	7	lmodring 20386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 20033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 20032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴))
22	21	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌))
23		ringgrp 19983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
25	14, 10	ringidcl 20003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	17, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
27	14, 9	grpinvcl 18812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 20404	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 20404	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
34	33	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 20396	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 20402	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 20396	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 20396	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 20434	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
46	13, 45	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147  ._rcmulr 17148  Scalarcsca 17150   ·_𝑠 cvsca 17151  Grpcgrp 18762  inv_gcminusg 18763  -_gcsg 18764  1_rcur 19927  Ringcrg 19978  LModclmod 20378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-lmod 20380

This theorem is referenced by:  lvecvscan  20631  cpmadugsumlemF  22262  nlmdsdi  24082  minveclem2  24827  mapdpglem21  40228  mapdpglem28  40237  baerlem3lem1  40243  baerlem5alem1  40244  baerlem5blem1  40245