MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodsubdi 20674
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 30570 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdi.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdi.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2731 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 eqid 2731 . . . . 5 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
10 eqid 2731 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20672 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
1312oveq2d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
15 eqid 2731 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
167lmodring 20623 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18ringnegr 20192 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 20191 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2119, 20eqtr4d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴))
2221oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ))
23 ringgrp 20133 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 20155 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 18909 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20642 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20642 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3322, 30, 323eqtr3d 2779 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3433oveq2d 7428 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 20633 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 20640 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 20633 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 20633 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20672 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2782 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
4613, 45eqtr4d 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  -gcsg 18858  1rcur 20076  Ringcrg 20128  LModclmod 20615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617
This theorem is referenced by:  lvecvscan  20870  cpmadugsumlemF  22599  nlmdsdi  24419  minveclem2  25175  q1pvsca  32950  r1pvsca  32951  mapdpglem21  40867  mapdpglem28  40876  baerlem3lem1  40882  baerlem5alem1  40883  baerlem5blem1  40884
  Copyright terms: Public domain W3C validator