MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodsubdi 20534
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 30340 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdi.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdi.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 eqid 2732 . . . . 5 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
10 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20532 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
1312oveq2d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
167lmodring 20483 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18ringnegr 20119 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 20118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2119, 20eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴))
2221oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ))
23 ringgrp 20063 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 20085 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 18874 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20502 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20502 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3322, 30, 323eqtr3d 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3433oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 20493 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 20500 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 20493 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 20493 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20532 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2783 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
4613, 45eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  Grpcgrp 18821  invgcminusg 18822  -gcsg 18823  1rcur 20006  Ringcrg 20058  LModclmod 20475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477
This theorem is referenced by:  lvecvscan  20730  cpmadugsumlemF  22385  nlmdsdi  24205  minveclem2  24950  q1pvsca  32720  r1pvsca  32721  mapdpglem21  40649  mapdpglem28  40658  baerlem3lem1  40664  baerlem5alem1  40665  baerlem5blem1  40666
  Copyright terms: Public domain W3C validator