Theorem lmodsubdi 21109

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 31538 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 21107	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
13	12	oveq2d 7433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
16	7	lmodring 21058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 20451	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 20450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴))
22	21	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌))
23		ringgrp 20383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
24	17, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
25	14, 10	ringidcl 20412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	17, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
27	14, 9	grpinvcl 19117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	24, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 21077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 21077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
34	33	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 21068	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 21075	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 21068	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 21068	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 21107	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
46	13, 45	eqtr4d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064  -_gcsg 19065  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  LModclmod 21050

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052

This theorem is used by:  lvecvscan  21304  cpmadugsumlemF  23107  nlmdsdi  24913  minveclem2  25660  q1pvsca  34022  r1pvsca  34023  mapdpglem21  42573  mapdpglem28  42582  baerlem3lem1  42588  baerlem5alem1  42589  baerlem5blem1  42590