MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubdi 20917
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 31068 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m = (-g𝑊)
lmodsubdi.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubdi.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubdi.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑊)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 eqid 2737 . . . . 5 (invg𝐹) = (invg𝐹)
10 eqid 2737 . . . . 5 (1r𝐹) = (1r𝐹)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20915 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
1312oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
15 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝐹) = (.r𝐹)
167lmodring 20866 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18ringnegr 20300 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) = ((invg𝐹)‘𝐴))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 20299 . . . . . . 7 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = ((invg𝐹)‘𝐴))
2119, 20eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴))
2221oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌))
23 ringgrp 20235 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 20262 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 19005 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20885 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾 ∧ ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑌𝑉)) → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20885 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
3322, 30, 323eqtr3d 2785 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
3433oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 20876 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑌𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 20883 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾𝑋𝑉 ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 20876 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 20876 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20915 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2788 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
4613, 45eqtr4d 2780 1 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953  1rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860
This theorem is referenced by:  lvecvscan  21113  cpmadugsumlemF  22882  nlmdsdi  24702  minveclem2  25460  q1pvsca  33624  r1pvsca  33625  mapdpglem21  41694  mapdpglem28  41703  baerlem3lem1  41709  baerlem5alem1  41710  baerlem5blem1  41711
  Copyright terms: Public domain W3C validator