MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubdi 20934
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 31078 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m = (-g𝑊)
lmodsubdi.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubdi.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubdi.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑊)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 eqid 2735 . . . . 5 (invg𝐹) = (invg𝐹)
10 eqid 2735 . . . . 5 (1r𝐹) = (1r𝐹)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20932 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
1312oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
15 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝐹) = (.r𝐹)
167lmodring 20883 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18ringnegr 20317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) = ((invg𝐹)‘𝐴))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 20316 . . . . . . 7 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = ((invg𝐹)‘𝐴))
2119, 20eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴))
2221oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌))
23 ringgrp 20256 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 20280 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 19018 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20902 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾 ∧ ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑌𝑉)) → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 20902 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
3322, 30, 323eqtr3d 2783 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
3433oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 20893 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑌𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 20900 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾𝑋𝑉 ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 20893 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 20893 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 20932 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2786 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
4613, 45eqtr4d 2778 1 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  -gcsg 18966  1rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877
This theorem is referenced by:  lvecvscan  21131  cpmadugsumlemF  22898  nlmdsdi  24718  minveclem2  25474  q1pvsca  33604  r1pvsca  33605  mapdpglem21  41675  mapdpglem28  41684  baerlem3lem1  41690  baerlem5alem1  41691  baerlem5blem1  41692
  Copyright terms: Public domain W3C validator