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Theorem lspfixed 21018
Description: Show membership in the span of the sum of two vectors, one of which (π‘Œ) is fixed in advance. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (Revised by AV, 12-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lspfixed.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspfixed.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspfixed.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspfixed.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspfixed.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspfixed.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspfixed.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lspfixed.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
lspfixed.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
lspfixed.g (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspfixed (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑉(𝑧)
Proof of Theorem lspfixed
Dummy variables π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspfixed.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
2 lspfixed.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspfixed.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 eqid 2725 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqid 2725 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspfixed.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
8 lspfixed.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 lveclmod 20993 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 lspfixed.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 lspfixed.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
132, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12lspprel 20981 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
141, 13mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
15103ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
172, 16, 7lspsncl 20863 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1810, 12, 17syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2083ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
214lvecdrng 20992 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
23 simp2l 1196 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
24 lspfixed.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
25243ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
26 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
27 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2827oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
29 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ πœ‘)
3029, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
33 lspfixed.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gβ€˜π‘Š)
342, 4, 6, 32, 33lmod0vs 20780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3530, 31, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3628, 35eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3736oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
38 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
39123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
402, 4, 6, 5lmodvscl 20763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
4115, 38, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
432, 3, 33lmod0vlid 20777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4430, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4526, 37, 443eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4629, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
47 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
482, 7lspsnid 20879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
4910, 12, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5029, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
514, 6, 5, 16lssvscl 20841 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5230, 46, 47, 50, 51syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5345, 52eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5453ex 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍})))
5554necon3bd 2944 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
5625, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
57 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
585, 32, 57drnginvrcl 20648 . . . . . . . 8 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5922, 23, 56, 58syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
60493ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
6115, 19, 38, 60, 51syl22anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
624, 6, 5, 16lssvscl 20841 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
6315, 19, 59, 61, 62syl22anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
645, 32, 57drnginvrn0 20649 . . . . . . . 8 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6522, 23, 56, 64syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
66 lspfixed.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
67663ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
68 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
69 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
702, 4, 6, 32, 33lmod0vs 20780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7115, 39, 70syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7269, 71sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7372oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ))
74113ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
752, 4, 6, 5lmodvscl 20763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
7615, 23, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
772, 3, 33lmod0vrid 20778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
7815, 76, 77syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
7978adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
8068, 73, 793eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
812, 16, 7lspsncl 20863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
8210, 11, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
83823ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
842, 7lspsnid 20879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8510, 11, 84syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
86853ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
874, 6, 5, 16lssvscl 20841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8815, 83, 23, 86, 87syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
9080, 89eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
9190ex 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})))
9291necon3bd 2944 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ 𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
9367, 92mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
94 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ πœ‘)
9594, 1syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
96 preq2 4732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 = 0 β†’ {π‘Œ, 𝑍} = {π‘Œ, 0 })
9796fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 = 0 β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }))
982, 33, 7, 15, 74lsppr0 20979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
9997, 98sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
10095, 99eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
101100ex 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑍 = 0 β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})))
102101necon3bd 2944 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ 𝑍 β‰  0 ))
10367, 102mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 β‰  0 )
1042, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 38, 39lvecvsn0 20999 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 ↔ (𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 β‰  0 )))
10593, 103, 104mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 )
1062, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 59, 41lvecvsn0 20999 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 ↔ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 )))
10765, 105, 106mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 )
108 eldifsn 4784 . . . . . 6 ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }) ↔ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}) ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 ))
10963, 107, 108sylanbrc 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }))
110 simp3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
1112, 3lmodvacl 20760 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉)
11215, 76, 41, 111syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉)
1132, 7lspsnid 20879 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
11415, 112, 113syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
115110, 114eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
1162, 4, 6, 5, 32, 7lspsnvs 21004 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
11720, 59, 65, 112, 116syl121anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
1182, 3, 4, 6, 5lmodvsdi 20770 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
11915, 59, 76, 41, 118syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
120 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
121 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1225, 32, 120, 121, 57drnginvrl 20651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
12322, 23, 56, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
124123oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
1252, 4, 6, 5, 120lmodvsass 20772 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
12615, 59, 23, 74, 125syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
1272, 4, 6, 121lmodvs1 20775 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
12815, 74, 127syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
129124, 126, 1283eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = π‘Œ)
130129oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
131119, 130eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
132131sneqd 4634 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ {(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))} = {(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})
133132fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
134117, 133eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
135115, 134eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
136 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (π‘Œ + 𝑧) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
137136sneqd 4634 . . . . . . . 8 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ {(π‘Œ + 𝑧)} = {(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})
138137fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
139138eleq2d 2811 . . . . . 6 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}) ↔ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})))
140139rspcev 3601 . . . . 5 (((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
141109, 135, 140syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
1421413exp 1116 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))))
143142rexlimdvv 3201 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)})))
14414, 143mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936  {csn 4622  {cpr 4624  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  1rcur 20123  invrcinvr 20328  DivRingcdr 20626  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990
This theorem is referenced by:  lsatfixedN  38509
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