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Theorem lspfixed 20733
Description: Show membership in the span of the sum of two vectors, one of which (π‘Œ) is fixed in advance. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (Revised by AV, 12-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lspfixed.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspfixed.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspfixed.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspfixed.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspfixed.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspfixed.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspfixed.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lspfixed.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
lspfixed.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
lspfixed.g (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspfixed (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑉(𝑧)
Proof of Theorem lspfixed
Dummy variables π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspfixed.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
2 lspfixed.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspfixed.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqid 2732 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspfixed.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
8 lspfixed.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 lveclmod 20709 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 lspfixed.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 lspfixed.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
132, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12lspprel 20697 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
141, 13mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
15103ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
172, 16, 7lspsncl 20580 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1810, 12, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
19183ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2083ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
214lvecdrng 20708 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
23 simp2l 1199 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
24 lspfixed.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
25243ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
26 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2827oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
29 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ πœ‘)
3029, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
32 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
33 lspfixed.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gβ€˜π‘Š)
342, 4, 6, 32, 33lmod0vs 20497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3530, 31, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3628, 35eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3736oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
38 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
39123ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
402, 4, 6, 5lmodvscl 20481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
4115, 38, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
432, 3, 33lmod0vlid 20494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4430, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4526, 37, 443eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4629, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
47 simpl2r 1227 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
482, 7lspsnid 20596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
4910, 12, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5029, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
514, 6, 5, 16lssvscl 20558 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5230, 46, 47, 50, 51syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5345, 52eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5453ex 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍})))
5554necon3bd 2954 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
5625, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
57 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
585, 32, 57drnginvrcl 20329 . . . . . . . 8 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5922, 23, 56, 58syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
60493ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
6115, 19, 38, 60, 51syl22anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
624, 6, 5, 16lssvscl 20558 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
6315, 19, 59, 61, 62syl22anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
645, 32, 57drnginvrn0 20330 . . . . . . . 8 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6522, 23, 56, 64syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
66 lspfixed.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
67663ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
68 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
69 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
702, 4, 6, 32, 33lmod0vs 20497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7115, 39, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7269, 71sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7372oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ))
74113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
752, 4, 6, 5lmodvscl 20481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
7615, 23, 74, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
772, 3, 33lmod0vrid 20495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
7815, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
8068, 73, 793eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
812, 16, 7lspsncl 20580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
8210, 11, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
83823ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
842, 7lspsnid 20596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8510, 11, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
86853ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
874, 6, 5, 16lssvscl 20558 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8815, 83, 23, 86, 87syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
9080, 89eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
9190ex 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})))
9291necon3bd 2954 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ 𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
9367, 92mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
94 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ πœ‘)
9594, 1syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
96 preq2 4737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 = 0 β†’ {π‘Œ, 𝑍} = {π‘Œ, 0 })
9796fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 = 0 β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }))
982, 33, 7, 15, 74lsppr0 20695 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
9997, 98sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
10095, 99eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
101100ex 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑍 = 0 β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})))
102101necon3bd 2954 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ 𝑍 β‰  0 ))
10367, 102mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 β‰  0 )
1042, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 38, 39lvecvsn0 20714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 ↔ (𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 β‰  0 )))
10593, 103, 104mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 )
1062, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 59, 41lvecvsn0 20714 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 ↔ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 )))
10765, 105, 106mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 )
108 eldifsn 4789 . . . . . 6 ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }) ↔ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}) ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 ))
10963, 107, 108sylanbrc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }))
110 simp3 1138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
1112, 3lmodvacl 20478 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉)
11215, 76, 41, 111syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉)
1132, 7lspsnid 20596 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
11415, 112, 113syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
115110, 114eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
1162, 4, 6, 5, 32, 7lspsnvs 20719 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
11720, 59, 65, 112, 116syl121anc 1375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
1182, 3, 4, 6, 5lmodvsdi 20487 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
11915, 59, 76, 41, 118syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
120 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
121 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1225, 32, 120, 121, 57drnginvrl 20332 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
12322, 23, 56, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
124123oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
1252, 4, 6, 5, 120lmodvsass 20489 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
12615, 59, 23, 74, 125syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
1272, 4, 6, 121lmodvs1 20492 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
12815, 74, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
129124, 126, 1283eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = π‘Œ)
130129oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
131119, 130eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
132131sneqd 4639 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ {(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))} = {(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})
133132fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
134117, 133eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
135115, 134eleqtrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
136 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (π‘Œ + 𝑧) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
137136sneqd 4639 . . . . . . . 8 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ {(π‘Œ + 𝑧)} = {(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})
138137fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
139138eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}) ↔ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})))
140139rspcev 3612 . . . . 5 (((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
141109, 135, 140syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
1421413exp 1119 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))))
143142rexlimdvv 3210 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)})))
14414, 143mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  1rcur 19998  invrcinvr 20193  DivRingcdr 20307  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706
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