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Theorem lspfixed 20979
Description: Show membership in the span of the sum of two vectors, one of which (π‘Œ) is fixed in advance. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (Revised by AV, 12-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lspfixed.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspfixed.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspfixed.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspfixed.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspfixed.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspfixed.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspfixed.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lspfixed.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
lspfixed.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
lspfixed.g (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspfixed (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑉(𝑧)
Proof of Theorem lspfixed
Dummy variables π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspfixed.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
2 lspfixed.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspfixed.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqid 2726 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspfixed.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
8 lspfixed.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 lspfixed.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 lspfixed.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
132, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12lspprel 20942 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
141, 13mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
15103ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
172, 16, 7lspsncl 20824 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1810, 12, 17syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2083ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
214lvecdrng 20953 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
23 simp2l 1196 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
24 lspfixed.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
25243ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
26 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2827oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
29 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ πœ‘)
3029, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
32 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
33 lspfixed.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gβ€˜π‘Š)
342, 4, 6, 32, 33lmod0vs 20741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3530, 31, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3628, 35eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = 0 )
3736oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
38 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
39123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
402, 4, 6, 5lmodvscl 20724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
4115, 38, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
432, 3, 33lmod0vlid 20738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4430, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ( 0 + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4526, 37, 443eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
4629, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
47 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
482, 7lspsnid 20840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
4910, 12, 48syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5029, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
514, 6, 5, 16lssvscl 20802 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5230, 46, 47, 50, 51syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5345, 52eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
5453ex 412 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍})))
5554necon3bd 2948 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍}) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
5625, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
57 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
585, 32, 57drnginvrcl 20609 . . . . . . . 8 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5922, 23, 56, 58syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
60493ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
6115, 19, 38, 60, 51syl22anc 836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
624, 6, 5, 16lssvscl 20802 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
6315, 19, 59, 61, 62syl22anc 836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
645, 32, 57drnginvrn0 20610 . . . . . . . 8 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6522, 23, 56, 64syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
66 lspfixed.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
67663ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
68 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
69 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
702, 4, 6, 32, 33lmod0vs 20741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7115, 39, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7269, 71sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 0 )
7372oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ))
74113ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
752, 4, 6, 5lmodvscl 20724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
7615, 23, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
772, 3, 33lmod0vrid 20739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
7815, 76, 77syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + 0 ) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
8068, 73, 793eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
812, 16, 7lspsncl 20824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
8210, 11, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
83823ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
842, 7lspsnid 20840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8510, 11, 84syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
86853ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
874, 6, 5, 16lssvscl 20802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8815, 83, 23, 86, 87syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
9080, 89eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
9190ex 412 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})))
9291necon3bd 2948 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ 𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
9367, 92mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
94 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ πœ‘)
9594, 1syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
96 preq2 4733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 = 0 β†’ {π‘Œ, 𝑍} = {π‘Œ, 0 })
9796fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 = 0 β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }))
982, 33, 7, 15, 74lsppr0 20940 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
9997, 98sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
10095, 99eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) ∧ 𝑍 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
101100ex 412 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑍 = 0 β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})))
102101necon3bd 2948 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ 𝑍 β‰  0 ))
10367, 102mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑍 β‰  0 )
1042, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 38, 39lvecvsn0 20960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 ↔ (𝑙 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑍 β‰  0 )))
10593, 103, 104mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 )
1062, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 59, 41lvecvsn0 20960 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 ↔ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) β‰  0 )))
10765, 105, 106mpbir2and 710 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 )
108 eldifsn 4785 . . . . . 6 ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }) ↔ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{𝑍}) ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β‰  0 ))
10963, 107, 108sylanbrc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }))
110 simp3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))
1112, 3lmodvacl 20721 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉)
11215, 76, 41, 111syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉)
1132, 7lspsnid 20840 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
11415, 112, 113syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
115110, 114eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
1162, 4, 6, 5, 32, 7lspsnvs 20965 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
11720, 59, 65, 112, 116syl121anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}))
1182, 3, 4, 6, 5lmodvsdi 20731 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
11915, 59, 76, 41, 118syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
120 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
121 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1225, 32, 120, 121, 57drnginvrl 20612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
12322, 23, 56, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
124123oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
1252, 4, 6, 5, 120lmodvsass 20733 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
12615, 59, 23, 74, 125syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
1272, 4, 6, 121lmodvs1 20736 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
12815, 74, 127syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
129124, 126, 1283eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = π‘Œ)
130129oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
131119, 130eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
132131sneqd 4635 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ {(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))} = {(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})
133132fveq2d 6889 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{(((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
134117, 133eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ (π‘β€˜{((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
135115, 134eleqtrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
136 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (π‘Œ + 𝑧) = (π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))))
137136sneqd 4635 . . . . . . . 8 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ {(π‘Œ + 𝑧)} = {(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})
138137fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))}))
139138eleq2d 2813 . . . . . 6 (𝑧 = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}) ↔ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})))
140139rspcev 3606 . . . . 5 (((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)))})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
141109, 135, 140syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
1421413exp 1116 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑙 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))))
143142rexlimdvv 3204 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑋 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) + (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)})))
14414, 143mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{𝑍}) βˆ– { 0 })𝑋 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑧)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  1rcur 20086  invrcinvr 20289  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951
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