Theorem lshpkrlem4 38715

Description: Lemma for lshpkrex 38720. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
2	1	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) = (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
3		simp3r 1199	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
4	2, 3	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
5		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝜑)
6		lshpkrlem.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simpl2 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑙 ∈ 𝐾)
10		simpr2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝑉)
11		simpl3 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12		lshpkrlem.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lshpkrlem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑊)
14		lshpkrlem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15		lshpkrlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		lshpkrlem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
17	6	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
18		lshpkrlem.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
19	18	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
20		lshpkrlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
23		lshpkrlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
24	23	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
25		lshpkrlem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
26		lshpkrlem.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
27		lshpkrlem.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		lshpkrlem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
29		lshpkrlem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
30	12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 38713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
31	5, 11, 30	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
32	5, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	12, 13, 25, 27, 26	lmodvsdi 20780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
36	8, 9, 10, 34, 35	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
37		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	12, 25, 27, 26, 37	lmodvsass 20782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
39	8, 9, 31, 32, 38	syl13anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
40	39	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
41	36, 40	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)))
42	41	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
43	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
44	8, 9, 10, 43	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
45	25, 26, 37	lmodmcl 20768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
46	8, 9, 31, 45	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
47	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
48	8, 46, 32, 47	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
49		simpr3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑠 ∈ 𝑉)
50		simpr1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	6	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
52	18	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
53	20	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
54		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
55	23	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
56	12, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 38713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
57	5, 50, 56	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
58	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
59	8, 57, 32, 58	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
60	12, 13	lmod4 20807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
61	8, 44, 48, 49, 59, 60	syl122anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
62		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
63	12, 13, 25, 27, 26, 62	lmodvsdir 20781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
64	8, 46, 57, 32, 63	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
65	64	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
66	61, 65	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
67	42, 66	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
68	67	3adant3 1129	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
69	4, 68	eqtrd 2765	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {csn 4630   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  ℩crio 7374  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  0_gc0g 17424  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSpanclspn 20867  LVecclvec 20999  LSHypclsh 38577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lshyp 38579

This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  38716