Theorem lshpkrlem4 39114

Description: Lemma for lshpkrex 39119. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
2	1	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) = (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
3		simp3r 1203	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
4	2, 3	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
5		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝜑)
6		lshpkrlem.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑙 ∈ 𝐾)
10		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝑉)
11		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12		lshpkrlem.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lshpkrlem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑊)
14		lshpkrlem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15		lshpkrlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		lshpkrlem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
17	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
18		lshpkrlem.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
20		lshpkrlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
23		lshpkrlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
25		lshpkrlem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
26		lshpkrlem.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
27		lshpkrlem.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		lshpkrlem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
29		lshpkrlem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
30	12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 39112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
31	5, 11, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
32	5, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	12, 13, 25, 27, 26	lmodvsdi 20883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
36	8, 9, 10, 34, 35	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	12, 25, 27, 26, 37	lmodvsass 20885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
39	8, 9, 31, 32, 38	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
40	39	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
41	36, 40	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)))
42	41	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
43	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
44	8, 9, 10, 43	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
45	25, 26, 37	lmodmcl 20871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
46	8, 9, 31, 45	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
47	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
48	8, 46, 32, 47	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
49		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑠 ∈ 𝑉)
50		simpr1 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
52	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
53	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
54		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
55	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
56	12, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 39112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
57	5, 50, 56	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
58	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
59	8, 57, 32, 58	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
60	12, 13	lmod4 20910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
61	8, 44, 48, 49, 59, 60	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
62		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
63	12, 13, 25, 27, 26, 62	lmodvsdir 20884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
64	8, 46, 57, 32, 63	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
65	64	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
66	61, 65	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
67	42, 66	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
68	67	3adant3 1133	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
69	4, 68	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSHypclsh 38976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lshyp 38978

This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  39115