Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem4 35181
Description: Lemma for lshpkrex 35186. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem4
StepHypRef Expression
1 simp3l 1262 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
21oveq2d 6921 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) = (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
3 simp3r 1263 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
42, 3oveq12d 6923 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
5 simpl1 1246 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝜑)
6 lshpkrlem.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19465 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simpl2 1248 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑙𝐾)
10 simpr2 1254 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑟𝑉)
11 simpl3 1250 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑢𝑉)
12 lshpkrlem.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lshpkrlem.a . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑊)
14 lshpkrlem.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15 lshpkrlem.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
16 lshpkrlem.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
176adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
18 lshpkrlem.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐻)
1918adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑈𝐻)
20 lshpkrlem.z . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍𝑉)
2120adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑍𝑉)
22 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
23 lshpkrlem.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
2423adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
25 lshpkrlem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
26 lshpkrlem.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐷)
27 lshpkrlem.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
28 lshpkrlem.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
29 lshpkrlem.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
3012, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 35179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
315, 11, 30syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
325, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑍𝑉)
3312, 25, 27, 26lmodvscl 19236 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → ((𝐺𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
348, 31, 32, 33syl3anc 1494 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝐺𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
3512, 13, 25, 27, 26lmodvsdi 19242 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙𝐾𝑟𝑉 ∧ ((𝐺𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
368, 9, 10, 34, 35syl13anc 1495 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
37 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (.r𝐷) = (.r𝐷)
3812, 25, 27, 26, 37lmodvsass 19244 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙𝐾 ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
398, 9, 31, 32, 38syl13anc 1495 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
4039oveq2d 6921 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
4136, 40eqtr4d 2864 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)))
4241oveq1d 6920 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
4312, 25, 27, 26lmodvscl 19236 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾𝑟𝑉) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
448, 9, 10, 43syl3anc 1494 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
4525, 26, 37lmodmcl 19231 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾 ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
468, 9, 31, 45syl3anc 1494 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
4712, 25, 27, 26lmodvscl 19236 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
488, 46, 32, 47syl3anc 1494 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
49 simpr3 1256 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑠𝑉)
50 simpr1 1252 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑣𝑉)
516adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
5218adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈𝐻)
5320adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑍𝑉)
54 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
5523adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
5612, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 35179 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
575, 50, 56syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
5812, 25, 27, 26lmodvscl 19236 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → ((𝐺𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
598, 57, 32, 58syl3anc 1494 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝐺𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
6012, 13lmod4 19269 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠𝑉 ∧ ((𝐺𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
618, 44, 48, 49, 59, 60syl122anc 1502 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
62 eqid 2825 . . . . . . . 8 (+g𝐷) = (+g𝐷)
6312, 13, 25, 27, 26, 62lmodvsdir 19243 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐾𝑍𝑉)) → (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
648, 46, 57, 32, 63syl13anc 1495 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
6564oveq2d 6921 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
6661, 65eqtr4d 2864 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
6742, 66eqtrd 2861 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
68673adant3 1166 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
694, 68eqtrd 2861 1 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wrex 3118  {csn 4397  cmpt 4952  cfv 6123  crio 6865  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  .rcmulr 16306  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  LSSumclsm 18400  LModclmod 19219  LSpanclspn 19330  LVecclvec 19461  LSHypclsh 35043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lshyp 35045
This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  35182
  Copyright terms: Public domain W3C validator