Theorem lshpkrlem4 39614

Description: Lemma for lshpkrex 39619. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1208	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
2	1	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) = (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
3		simp3r 1209	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
4	2, 3	oveq12d 7375	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
5		simpl1 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝜑)
6		lshpkrlem.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simpl2 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑙 ∈ 𝐾)
10		simpr2 1202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝑉)
11		simpl3 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12		lshpkrlem.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lshpkrlem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑊)
14		lshpkrlem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15		lshpkrlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		lshpkrlem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
17	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
18		lshpkrlem.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
20		lshpkrlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
23		lshpkrlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
25		lshpkrlem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
26		lshpkrlem.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
27		lshpkrlem.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		lshpkrlem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
29		lshpkrlem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
30	12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 39612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
31	5, 11, 30	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
32	5, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	12, 13, 25, 27, 26	lmodvsdi 20876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
36	8, 9, 10, 34, 35	syl13anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
37		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	12, 25, 27, 26, 37	lmodvsass 20878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
39	8, 9, 31, 32, 38	syl13anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
40	39	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
41	36, 40	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)))
42	41	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
43	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
44	8, 9, 10, 43	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
45	25, 26, 37	lmodmcl 20864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
46	8, 9, 31, 45	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
47	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
48	8, 46, 32, 47	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
49		simpr3 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑠 ∈ 𝑉)
50		simpr1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
52	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
53	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
54		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
55	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
56	12, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 39612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
57	5, 50, 56	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
58	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
59	8, 57, 32, 58	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
60	12, 13	lmod4 20903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
61	8, 44, 48, 49, 59, 60	syl122anc 1387	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
62		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
63	12, 13, 25, 27, 26, 62	lmodvsdir 20877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
64	8, 46, 57, 32, 63	syl13anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
65	64	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
66	61, 65	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
67	42, 66	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
68	67	3adant3 1138	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
69	4, 68	eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  {csn 4556   ↦ cmpt 5154  ‘cfv 6486  ℩crio 7313  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  ._rcmulr 17213  Scalarcsca 17215   ·_𝑠 cvsca 17216  0_gc0g 17394  LSSumclsm 19601  LModclmod 20851  LSpanclspn 20962  LVecclvec 21093  LSHypclsh 39476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cntz 19284  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-drng 20704  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-lvec 21094  df-lshyp 39478

This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  39615