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Theorem lshpkrlem4 37681
Description: Lemma for lshpkrex 37686. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   π‘ˆ,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙   𝑒,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   + (𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   Β· (𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   0 (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem lshpkrlem4
StepHypRef Expression
1 simp3l 1201 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
21oveq2d 7393 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) = (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
3 simp3r 1202 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
42, 3oveq12d 7395 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
5 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ πœ‘)
6 lshpkrlem.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20639 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
10 simpr2 1195 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑉)
11 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
12 lshpkrlem.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 lshpkrlem.a . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Š)
14 lshpkrlem.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
15 lshpkrlem.p . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
16 lshpkrlem.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
176adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 lshpkrlem.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
20 lshpkrlem.z . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
22 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
23 lshpkrlem.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
25 lshpkrlem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
26 lshpkrlem.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
27 lshpkrlem.t . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
28 lshpkrlem.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π·)
29 lshpkrlem.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
3012, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 37679 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾)
315, 11, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾)
325, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
3312, 25, 27, 26lmodvscl 20411 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
348, 31, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3512, 13, 25, 27, 26lmodvsdi 20417 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
368, 9, 10, 34, 35syl13anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
37 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
3812, 25, 27, 26, 37lmodvsass 20419 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) = (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
398, 9, 31, 32, 38syl13anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) = (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
4039oveq2d 7393 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
4136, 40eqtr4d 2774 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)))
4241oveq1d 7392 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
4312, 25, 27, 26lmodvscl 20411 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉) β†’ (𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ 𝑉)
448, 9, 10, 43syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ 𝑉)
4525, 26, 37lmodmcl 20406 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾) β†’ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾)
468, 9, 31, 45syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾)
4712, 25, 27, 26lmodvscl 20411 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
488, 46, 32, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
49 simpr3 1196 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑉)
50 simpr1 1194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
516adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5218adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
5320adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
54 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
5523adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
5612, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 37679 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
575, 50, 56syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
5812, 25, 27, 26lmodvscl 20411 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
598, 57, 32, 58syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
6012, 13lmod4 20444 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 ∈ 𝑉 ∧ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
618, 44, 48, 49, 59, 60syl122anc 1379 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
62 eqid 2731 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
6312, 13, 25, 27, 26, 62lmodvsdir 20418 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍) = (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
648, 46, 57, 32, 63syl13anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍) = (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
6564oveq2d 7393 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
6661, 65eqtr4d 2774 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
6742, 66eqtrd 2771 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
68673adant3 1132 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
694, 68eqtrd 2771 1 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069  {csn 4606   ↦ cmpt 5208  β€˜cfv 6516  β„©crio 7332  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  +gcplusg 17162  .rcmulr 17163  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  0gc0g 17350  LSSumclsm 19445  LModclmod 20393  LSpanclspn 20504  LVecclvec 20635  LSHypclsh 37543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-cntz 19126  df-lsm 19447  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-drng 20242  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lsp 20505  df-lvec 20636  df-lshyp 37545
This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  37682
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