Theorem lshpkrlem4 39855

Description: Lemma for lshpkrex 39860. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1218	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
2	1	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) = (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
3		simp3r 1219	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
4	2, 3	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
5		simpl1 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝜑)
6		lshpkrlem.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simpl2 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑙 ∈ 𝐾)
10		simpr2 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝑉)
11		simpl3 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12		lshpkrlem.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lshpkrlem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑊)
14		lshpkrlem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15		lshpkrlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		lshpkrlem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
17	6	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
18		lshpkrlem.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
20		lshpkrlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
23		lshpkrlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
25		lshpkrlem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
26		lshpkrlem.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
27		lshpkrlem.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		lshpkrlem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
29		lshpkrlem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
30	12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 39853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
31	5, 11, 30	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾)
32	5, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	12, 13, 25, 27, 26	lmodvsdi 20985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
36	8, 9, 10, 34, 35	syl13anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
37		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	12, 25, 27, 26, 37	lmodvsass 20987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
39	8, 9, 31, 32, 38	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
40	39	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))))
41	36, 40	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)))
42	41	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
43	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
44	8, 9, 10, 43	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
45	25, 26, 37	lmodmcl 20973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
46	8, 9, 31, 45	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾)
47	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
48	8, 46, 32, 47	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
49		simpr3 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑠 ∈ 𝑉)
50		simpr1 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	6	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
52	18	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
53	20	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
54		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
55	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
56	12, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29	lshpkrlem2 39853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
57	5, 50, 56	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
58	12, 25, 27, 26	lmodvscl 20978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
59	8, 57, 32, 58	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
60	12, 13	lmod4 21012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺‘𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
61	8, 44, 48, 49, 59, 60	syl122anc 1404	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
62		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
63	12, 13, 25, 27, 26, 62	lmodvsdir 20986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
64	8, 46, 57, 32, 63	syl13anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
65	64	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))))
66	61, 65	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
67	42, 66	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
68	67	3adant3 1148	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))
69	4, 68	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)) · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087  {csn 4588   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  0_gc0g 17491  LSSumclsm 19703  LModclmod 20960  LSpanclspn 21071  LVecclvec 21202  LSHypclsh 39717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lvec 21203  df-lshyp 39719

This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  39856