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Theorem lshpkrlem4 38286
Description: Lemma for lshpkrex 38291. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   π‘ˆ,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙   𝑒,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   + (𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   Β· (𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   0 (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem lshpkrlem4
StepHypRef Expression
1 simp3l 1199 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
21oveq2d 7427 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) = (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
3 simp3r 1200 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
42, 3oveq12d 7429 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
5 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ πœ‘)
6 lshpkrlem.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20861 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 simpl2 1190 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
10 simpr2 1193 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑉)
11 simpl3 1191 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
12 lshpkrlem.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 lshpkrlem.a . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Š)
14 lshpkrlem.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
15 lshpkrlem.p . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
16 lshpkrlem.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
176adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 lshpkrlem.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
1918adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
20 lshpkrlem.z . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
2120adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
22 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
23 lshpkrlem.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
2423adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
25 lshpkrlem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
26 lshpkrlem.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
27 lshpkrlem.t . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
28 lshpkrlem.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π·)
29 lshpkrlem.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
3012, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 38284 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾)
315, 11, 30syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾)
325, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
3312, 25, 27, 26lmodvscl 20632 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
348, 31, 32, 33syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3512, 13, 25, 27, 26lmodvsdi 20639 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
368, 9, 10, 34, 35syl13anc 1370 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
37 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
3812, 25, 27, 26, 37lmodvsass 20641 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) = (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
398, 9, 31, 32, 38syl13anc 1370 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) = (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
4039oveq2d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + (𝑙 Β· ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))))
4136, 40eqtr4d 2773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) = ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)))
4241oveq1d 7426 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
4312, 25, 27, 26lmodvscl 20632 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉) β†’ (𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ 𝑉)
448, 9, 10, 43syl3anc 1369 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ 𝑉)
4525, 26, 37lmodmcl 20627 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾) β†’ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾)
468, 9, 31, 45syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾)
4712, 25, 27, 26lmodvscl 20632 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
488, 46, 32, 47syl3anc 1369 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
49 simpr3 1194 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑉)
50 simpr1 1192 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
516adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5218adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
5320adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
54 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
5523adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
5612, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 38284 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
575, 50, 56syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
5812, 25, 27, 26lmodvscl 20632 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
598, 57, 32, 58syl3anc 1369 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
6012, 13lmod4 20666 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 ∈ 𝑉 ∧ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
618, 44, 48, 49, 59, 60syl122anc 1377 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
62 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
6312, 13, 25, 27, 26, 62lmodvsdir 20640 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍) = (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
648, 46, 57, 32, 63syl13anc 1370 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍) = (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
6564oveq2d 7427 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍) + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))))
6661, 65eqtr4d 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) Β· 𝑍)) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
6742, 66eqtrd 2770 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
68673adant3 1130 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍))) + (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍))) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
694, 68eqtrd 2770 1 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LSSumclsm 19543  LModclmod 20614  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857  LSHypclsh 38148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lshyp 38150
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