MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcl 21099
Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcl.p = (LSSum‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsmcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑒 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodabl 20923 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ Abel)
3 lsmcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 20972 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
543adant3 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
63lsssubg 20972 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
763adant2 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8 lsmcl.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
98lsmsubg2 19891 . . 3 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
102, 5, 7, 9syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 eqid 2734 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1211, 8lsmelval 19681 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
135, 7, 12syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
15 simpll1 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17 simpll2 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑇𝑆)
18 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑑𝑇)
19 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 3lssel 20952 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑆𝑑𝑇) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
22 simpll3 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑈𝑆)
23 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑒𝑈)
2419, 3lssel 20952 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑒𝑈) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
26 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
28 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2919, 11, 26, 27, 28lmodvsdi 20899 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)))
3015, 16, 21, 25, 29syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)))
3115, 17, 4syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3215, 22, 6syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3326, 27, 28, 3lssvscl 20970 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑𝑇)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
3415, 17, 16, 18, 33syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
3526, 27, 28, 3lssvscl 20970 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
3615, 22, 16, 23, 35syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
3711, 8lsmelvali 19682 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
3831, 32, 34, 36, 37syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
3930, 38eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
40 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) = (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)))
4140eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈)))
4239, 41syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4342rexlimdvva 3210 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4414, 43sylbid 240 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4544impr 454 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))
4645ralrimivva 3199 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))
4726, 28, 19, 27, 3islss4 20977 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑇 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))))
48473ad2ant1 1132 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ((𝑇 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))))
4910, 46, 48mpbir2and 713 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  SubGrpcsubg 19150  LSSumclsm 19666  Abelcabl 19813  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947
This theorem is referenced by:  lsmelval2  21101  lsmsp  21102  lspprabs  21111  pj1lmhm  21116  lspabs3  21140  pjth  25486  lshpnelb  38965  lsmsat  38989  lsmcv2  39010  lcvat  39011  lcvexchlem4  39018  lcvexchlem5  39019  lcv1  39022  lsatexch  39024  lsatcv0eq  39028  lsatcvatlem  39030  lsatcvat2  39032  lsatcvat3  39033  lkrlsp  39083  dia2dimlem7  41052  dihjustlem  41198  dihord1  41200  dihlsscpre  41216  dihjatcclem2  41401  dihjat1lem  41410  dochexmidlem5  41446  dochexmidlem6  41447  dochexmidlem8  41449  lcfrlem23  41547  mapdlsmcl  41645  mapdlsm  41646  mapdpglem1  41654  mapdpglem2a  41656  mapdindp0  41701  mapdheq4lem  41713  mapdh6lem1N  41715  mapdh6lem2N  41716  hdmap1l6lem1  41789  hdmap1l6lem2  41790  hdmaprnlem3eN  41840  kercvrlsm  43071
  Copyright terms: Public domain W3C validator