Theorem lsmcl 21105

Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑒 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodabl 20929	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Abel)
3		lsmcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20978	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	3	lsssubg 20978	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7	6	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8		lsmcl.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9	8	lsmsubg2 19901	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10	2, 5, 7, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12	11, 8	lsmelval 19691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
13	5, 7, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
15		simpll1 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpll2 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
18		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ 𝑇)
19		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssel 20958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
21	17, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
22		simpll3 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ 𝑈)
24	19, 3	lssel 20958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
25	22, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
26		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
29	19, 11, 26, 27, 28	lmodvsdi 20905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
30	15, 16, 21, 25, 29	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
31	15, 17, 4	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	15, 22, 6	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	26, 27, 28, 3	lssvscl 20976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
34	15, 17, 16, 18, 33	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
35	26, 27, 28, 3	lssvscl 20976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
36	15, 22, 16, 23, 35	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
37	11, 8	lsmelvali 19692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
38	31, 32, 34, 36, 37	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
39	30, 38	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
40		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
41	40	eleq1d 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
42	39, 41	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
43	42	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
44	14, 43	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
45	44	impr 454	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
46	45	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
47	26, 28, 19, 27, 3	islss4 20983	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
48	47	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
49	10, 46, 48	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  SubGrpcsubg 19160  LSSumclsm 19676  Abelcabl 19823  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953

This theorem is referenced by:  lsmelval2  21107  lsmsp  21108  lspprabs  21117  pj1lmhm  21122  lspabs3  21146  pjth  25492  lshpnelb  38940  lsmsat  38964  lsmcv2  38985  lcvat  38986  lcvexchlem4  38993  lcvexchlem5  38994  lcv1  38997  lsatexch  38999  lsatcv0eq  39003  lsatcvatlem  39005  lsatcvat2  39007  lsatcvat3  39008  lkrlsp  39058  dia2dimlem7  41027  dihjustlem  41173  dihord1  41175  dihlsscpre  41191  dihjatcclem2  41376  dihjat1lem  41385  dochexmidlem5  41421  dochexmidlem6  41422  dochexmidlem8  41424  lcfrlem23  41522  mapdlsmcl  41620  mapdlsm  41621  mapdpglem1  41629  mapdpglem2a  41631  mapdindp0  41676  mapdheq4lem  41688  mapdh6lem1N  41690  mapdh6lem2N  41691  hdmap1l6lem1  41764  hdmap1l6lem2  41765  hdmaprnlem3eN  41815  kercvrlsm  43040