MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcl 21082
Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcl.p = (LSSum‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsmcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑒 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodabl 20907 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ Abel)
3 lsmcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 20955 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
543adant3 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
63lsssubg 20955 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
763adant2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8 lsmcl.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
98lsmsubg2 19877 . . 3 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
102, 5, 7, 9syl3anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1211, 8lsmelval 19667 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
135, 7, 12syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
15 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑇𝑆)
18 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑑𝑇)
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 3lssel 20935 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑆𝑑𝑇) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
22 simpll3 1215 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑈𝑆)
23 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑒𝑈)
2419, 3lssel 20935 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑒𝑈) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
26 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
28 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2919, 11, 26, 27, 28lmodvsdi 20883 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)))
3015, 16, 21, 25, 29syl13anc 1374 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)))
3115, 17, 4syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3215, 22, 6syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3326, 27, 28, 3lssvscl 20953 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑𝑇)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
3415, 17, 16, 18, 33syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
3526, 27, 28, 3lssvscl 20953 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
3615, 22, 16, 23, 35syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
3711, 8lsmelvali 19668 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
3831, 32, 34, 36, 37syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
3930, 38eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
40 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) = (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)))
4140eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈)))
4239, 41syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4342rexlimdvva 3213 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4414, 43sylbid 240 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4544impr 454 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))
4645ralrimivva 3202 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))
4726, 28, 19, 27, 3islss4 20960 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑇 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))))
48473ad2ant1 1134 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ((𝑇 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))))
4910, 46, 48mpbir2and 713 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930
This theorem is referenced by:  lsmelval2  21084  lsmsp  21085  lspprabs  21094  pj1lmhm  21099  lspabs3  21123  pjth  25473  lshpnelb  38985  lsmsat  39009  lsmcv2  39030  lcvat  39031  lcvexchlem4  39038  lcvexchlem5  39039  lcv1  39042  lsatexch  39044  lsatcv0eq  39048  lsatcvatlem  39050  lsatcvat2  39052  lsatcvat3  39053  lkrlsp  39103  dia2dimlem7  41072  dihjustlem  41218  dihord1  41220  dihlsscpre  41236  dihjatcclem2  41421  dihjat1lem  41430  dochexmidlem5  41466  dochexmidlem6  41467  dochexmidlem8  41469  lcfrlem23  41567  mapdlsmcl  41665  mapdlsm  41666  mapdpglem1  41674  mapdpglem2a  41676  mapdindp0  41721  mapdheq4lem  41733  mapdh6lem1N  41735  mapdh6lem2N  41736  hdmap1l6lem1  41809  hdmap1l6lem2  41810  hdmaprnlem3eN  41860  kercvrlsm  43095
  Copyright terms: Public domain W3C validator