Theorem lsmcl 21367

Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑒 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodabl 21193	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Abel)
3		lsmcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 21241	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	4	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	3	lsssubg 21241	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7	6	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8		lsmcl.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9	8	lsmsubg2 20082	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10	2, 5, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12	11, 8	lsmelval 19872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
13	5, 7, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
15		simpll1 1231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpll2 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
18		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ 𝑇)
19		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssel 21221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
21	17, 18, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
22		simpll3 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ 𝑈)
24	19, 3	lssel 21221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
26		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
29	19, 11, 26, 27, 28	lmodvsdi 21169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
30	15, 16, 21, 25, 29	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
31	15, 17, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	15, 22, 6	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	26, 27, 28, 3	lssvscl 21239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
34	15, 17, 16, 18, 33	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
35	26, 27, 28, 3	lssvscl 21239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
36	15, 22, 16, 23, 35	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
37	11, 8	lsmelvali 19873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
38	31, 32, 34, 36, 37	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
39	30, 38	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
40		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
41	40	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
42	39, 41	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
43	42	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
44	14, 43	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
45	44	impr 460	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
46	45	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
47	26, 28, 19, 27, 3	islss4 21246	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
48	47	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
49	10, 46, 48	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  SubGrpcsubg 19339  LSSumclsm 19857  Abelcabl 20004  LModclmod 21144  LSubSpclss 21215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lss 21216

This theorem is used by:  lsmelval2  21369  lsmsp  21370  lspprabs  21379  pj1lmhm  21384  lspabs3  21408  pjth  25769  lshpnelb  40178  lsmsat  40202  lsmcv2  40223  lcvat  40224  lcvexchlem4  40231  lcvexchlem5  40232  lcv1  40235  lsatexch  40237  lsatcv0eq  40241  lsatcvatlem  40243  lsatcvat2  40245  lsatcvat3  40246  lkrlsp  40296  dia2dimlem7  42264  dihjustlem  42410  dihord1  42412  dihlsscpre  42428  dihjatcclem2  42613  dihjat1lem  42622  dochexmidlem5  42658  dochexmidlem6  42659  dochexmidlem8  42661  lcfrlem23  42759  mapdlsmcl  42857  mapdlsm  42858  mapdpglem1  42866  mapdpglem2a  42868  mapdindp0  42913  mapdheq4lem  42925  mapdh6lem1N  42927  mapdh6lem2N  42928  hdmap1l6lem1  43001  hdmap1l6lem2  43002  hdmaprnlem3eN  43052  kercvrlsm  44222