Theorem lsmcl 20343

Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑒 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodabl 20168	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Abel)
3		lsmcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20217	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	4	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	3	lsssubg 20217	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7	6	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8		lsmcl.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9	8	lsmsubg2 19458	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10	2, 5, 7, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12	11, 8	lsmelval 19252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
13	5, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
15		simpll1 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpll2 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
18		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ 𝑇)
19		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssel 20197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
22		simpll3 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ 𝑈)
24	19, 3	lssel 20197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
26		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
29	19, 11, 26, 27, 28	lmodvsdi 20144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
30	15, 16, 21, 25, 29	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
31	15, 17, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	15, 22, 6	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	26, 27, 28, 3	lssvscl 20215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
34	15, 17, 16, 18, 33	syl22anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
35	26, 27, 28, 3	lssvscl 20215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
36	15, 22, 16, 23, 35	syl22anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
37	11, 8	lsmelvali 19253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
38	31, 32, 34, 36, 37	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
39	30, 38	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
40		oveq2 7279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
41	40	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
42	39, 41	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
43	42	rexlimdvva 3225	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
44	14, 43	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
45	44	impr 455	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
46	45	ralrimivva 3117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
47	26, 28, 19, 27, 3	islss4 20222	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
48	47	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
49	10, 46, 48	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  ∃wrex 3067  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960  Scalarcsca 16963   ·_𝑠 cvsca 16964  SubGrpcsubg 18747  LSSumclsm 19237  Abelcabl 19385  LModclmod 20121  LSubSpclss 20191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-lmod 20123  df-lss 20192

This theorem is referenced by:  lsmelval2  20345  lsmsp  20346  lspprabs  20355  pj1lmhm  20360  lspabs3  20381  pjth  24601  lshpnelb  36994  lsmsat  37018  lsmcv2  37039  lcvat  37040  lcvexchlem4  37047  lcvexchlem5  37048  lcv1  37051  lsatexch  37053  lsatcv0eq  37057  lsatcvatlem  37059  lsatcvat2  37061  lsatcvat3  37062  lkrlsp  37112  dia2dimlem7  39080  dihjustlem  39226  dihord1  39228  dihlsscpre  39244  dihjatcclem2  39429  dihjat1lem  39438  dochexmidlem5  39474  dochexmidlem6  39475  dochexmidlem8  39477  lcfrlem23  39575  mapdlsmcl  39673  mapdlsm  39674  mapdpglem1  39682  mapdpglem2a  39684  mapdindp0  39729  mapdheq4lem  39741  mapdh6lem1N  39743  mapdh6lem2N  39744  hdmap1l6lem1  39817  hdmap1l6lem2  39818  hdmaprnlem3eN  39868  kercvrlsm  40905