Theorem lsmcl 20544

Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑒 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodabl 20369	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Abel)
3		lsmcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	3	lsssubg 20418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7	6	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8		lsmcl.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9	8	lsmsubg2 19637	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10	2, 5, 7, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12	11, 8	lsmelval 19431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
13	5, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
15		simpll1 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpll2 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
18		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ 𝑇)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssel 20398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
22		simpll3 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ 𝑈)
24	19, 3	lssel 20398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
26		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
29	19, 11, 26, 27, 28	lmodvsdi 20345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
30	15, 16, 21, 25, 29	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)))
31	15, 17, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	15, 22, 6	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	26, 27, 28, 3	lssvscl 20416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
34	15, 17, 16, 18, 33	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
35	26, 27, 28, 3	lssvscl 20416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
36	15, 22, 16, 23, 35	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
37	11, 8	lsmelvali 19432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
38	31, 32, 34, 36, 37	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑑)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
39	30, 38	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
40		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)))
41	40	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑑(+g‘𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
42	39, 41	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝑈)) → (𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
43	42	rexlimdvva 3205	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑑 ∈ 𝑇 ∃𝑒 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑑(+g‘𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
44	14, 43	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
45	44	impr 455	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
46	45	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
47	26, 28, 19, 27, 3	islss4 20423	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
48	47	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
49	10, 46, 48	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  SubGrpcsubg 18922  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393

This theorem is referenced by:  lsmelval2  20546  lsmsp  20547  lspprabs  20556  pj1lmhm  20561  lspabs3  20582  pjth  24803  lshpnelb  37446  lsmsat  37470  lsmcv2  37491  lcvat  37492  lcvexchlem4  37499  lcvexchlem5  37500  lcv1  37503  lsatexch  37505  lsatcv0eq  37509  lsatcvatlem  37511  lsatcvat2  37513  lsatcvat3  37514  lkrlsp  37564  dia2dimlem7  39533  dihjustlem  39679  dihord1  39681  dihlsscpre  39697  dihjatcclem2  39882  dihjat1lem  39891  dochexmidlem5  39927  dochexmidlem6  39928  dochexmidlem8  39930  lcfrlem23  40028  mapdlsmcl  40126  mapdlsm  40127  mapdpglem1  40135  mapdpglem2a  40137  mapdindp0  40182  mapdheq4lem  40194  mapdh6lem1N  40196  mapdh6lem2N  40197  hdmap1l6lem1  40270  hdmap1l6lem2  40271  hdmaprnlem3eN  40321  kercvrlsm  41396