MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmcl 20694
Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsmcl.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsmcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem lsmcl
Dummy variables π‘Ž 𝑑 𝑒 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodabl 20519 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ Abel)
3 lsmcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
43lsssubg 20568 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
543adant3 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
63lsssubg 20568 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
763adant2 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
8 lsmcl.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
98lsmsubg2 19727 . . 3 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
102, 5, 7, 9syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
1211, 8lsmelval 19517 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
135, 7, 12syl2anc 585 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
1413adantr 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
15 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
17 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
18 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2019, 3lssel 20548 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2117, 18, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
22 simpll3 1215 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
23 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
2419, 3lssel 20548 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2522, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2919, 11, 26, 27, 28lmodvsdi 20495 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
3015, 16, 21, 25, 29syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
3115, 17, 4syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3215, 22, 6syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3326, 27, 28, 3lssvscl 20566 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑) ∈ 𝑇)
3415, 17, 16, 18, 33syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑) ∈ 𝑇)
3526, 27, 28, 3lssvscl 20566 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ π‘ˆ)
3615, 22, 16, 23, 35syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ π‘ˆ)
3711, 8lsmelvali 19518 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
3831, 32, 34, 36, 37syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
3930, 38eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
40 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
4140eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4239, 41syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4342rexlimdvva 3212 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4414, 43sylbid 239 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4544impr 456 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
4645ralrimivva 3201 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘’ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
4726, 28, 19, 27, 3islss4 20573 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘’ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
48473ad2ant1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘’ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
4910, 46, 48mpbir2and 712 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  SubGrpcsubg 19000  LSSumclsm 19502  Abelcabl 19649  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  lsmelval2  20696  lsmsp  20697  lspprabs  20706  pj1lmhm  20711  lspabs3  20734  pjth  24956  lshpnelb  37854  lsmsat  37878  lsmcv2  37899  lcvat  37900  lcvexchlem4  37907  lcvexchlem5  37908  lcv1  37911  lsatexch  37913  lsatcv0eq  37917  lsatcvatlem  37919  lsatcvat2  37921  lsatcvat3  37922  lkrlsp  37972  dia2dimlem7  39941  dihjustlem  40087  dihord1  40089  dihlsscpre  40105  dihjatcclem2  40290  dihjat1lem  40299  dochexmidlem5  40335  dochexmidlem6  40336  dochexmidlem8  40338  lcfrlem23  40436  mapdlsmcl  40534  mapdlsm  40535  mapdpglem1  40543  mapdpglem2a  40545  mapdindp0  40590  mapdheq4lem  40602  mapdh6lem1N  40604  mapdh6lem2N  40605  hdmap1l6lem1  40678  hdmap1l6lem2  40679  hdmaprnlem3eN  40729  kercvrlsm  41825
  Copyright terms: Public domain W3C validator