MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcl 20559
Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsmcl.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsmcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl
Dummy variables π‘Ž 𝑑 𝑒 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodabl 20384 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ Abel)
3 lsmcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
43lsssubg 20433 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
543adant3 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
63lsssubg 20433 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
763adant2 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
8 lsmcl.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
98lsmsubg2 19642 . . 3 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
102, 5, 7, 9syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
1211, 8lsmelval 19436 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
135, 7, 12syl2anc 585 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
1413adantr 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
15 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
17 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
18 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2019, 3lssel 20413 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2117, 18, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
22 simpll3 1215 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
23 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
2419, 3lssel 20413 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2522, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2919, 11, 26, 27, 28lmodvsdi 20360 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
3015, 16, 21, 25, 29syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
3115, 17, 4syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3215, 22, 6syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3326, 27, 28, 3lssvscl 20431 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑) ∈ 𝑇)
3415, 17, 16, 18, 33syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑) ∈ 𝑇)
3526, 27, 28, 3lssvscl 20431 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ π‘ˆ)
3615, 22, 16, 23, 35syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ π‘ˆ)
3711, 8lsmelvali 19437 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
3831, 32, 34, 36, 37syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑑)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
3930, 38eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
40 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)))
4140eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4239, 41syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4342rexlimdvva 3202 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (𝑑(+gβ€˜π‘Š)𝑒) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4414, 43sylbid 239 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
4544impr 456 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑒 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
4645ralrimivva 3194 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘’ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
4726, 28, 19, 27, 3islss4 20438 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘’ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
48473ad2ant1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘’ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
4910, 46, 48mpbir2and 712 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  SubGrpcsubg 18927  LSSumclsm 19421  Abelcabl 19568  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408
This theorem is referenced by:  lsmelval2  20561  lsmsp  20562  lspprabs  20571  pj1lmhm  20576  lspabs3  20598  pjth  24819  lshpnelb  37492  lsmsat  37516  lsmcv2  37537  lcvat  37538  lcvexchlem4  37545  lcvexchlem5  37546  lcv1  37549  lsatexch  37551  lsatcv0eq  37555  lsatcvatlem  37557  lsatcvat2  37559  lsatcvat3  37560  lkrlsp  37610  dia2dimlem7  39579  dihjustlem  39725  dihord1  39727  dihlsscpre  39743  dihjatcclem2  39928  dihjat1lem  39937  dochexmidlem5  39973  dochexmidlem6  39974  dochexmidlem8  39976  lcfrlem23  40074  mapdlsmcl  40172  mapdlsm  40173  mapdpglem1  40181  mapdpglem2a  40183  mapdindp0  40228  mapdheq4lem  40240  mapdh6lem1N  40242  mapdh6lem2N  40243  hdmap1l6lem1  40316  hdmap1l6lem2  40317  hdmaprnlem3eN  40367  kercvrlsm  41453
  Copyright terms: Public domain W3C validator