Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmdi 45685
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p = (.g𝑊)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝑋) = (0 𝑋))
21oveq2d 7293 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (0 𝑋)))
3 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 7292 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52, 4eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
65imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝑋) = (𝑦 𝑋))
87oveq2d 7293 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 𝑋)))
9 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 7292 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
118, 10eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
1211imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝑋) = ((𝑦 + 1) 𝑋))
1413oveq2d 7293 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)))
15 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 7292 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
1817imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝑋) = (𝑁 𝑋))
2019oveq2d 7293 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 𝑋)))
21 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 7292 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
2423imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
28 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 = (.g𝑊)
3027, 28, 29mulg0 18705 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑉 → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3231oveq2d 7293 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = (𝑅 · (0g𝑊)))
33 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
3433anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅𝐾𝑊 ∈ LMod))
3534ancomd 462 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 20155 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4125anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋𝑉𝑊 ∈ LMod))
4241ancomd 462 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉))
43 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 20154 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4633adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.g𝐹)
4838, 43, 47mulg0 18705 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g𝐹))
4948eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝐾 → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 7292 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2784 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5332, 52eqtrd 2778 . . . . . 6 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54 lmodgrp 20128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
5554grpmndd 18587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
5655ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
57 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5826adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋𝑉)
59 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6027, 29, 59mulgnn0p1 18713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6156, 57, 58, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6261oveq2d 7293 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
65 simprll 776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅𝐾)
6627, 29mulgnn0cl 18718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉)
6756, 57, 58, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉)
6827, 59, 36, 37, 38lmodvsdi 20144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾 ∧ (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
6964, 65, 67, 58, 68syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7062, 69eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
71 oveq1 7284 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7270, 71sylan9eq 2798 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7336lmodfgrp 20130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
7473grpmndd 18587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
7574ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
7638, 47mulgnn0cl 18718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑅𝐾) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
7775, 57, 65, 76syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
78 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7927, 59, 36, 37, 38, 78lmodvsdir 20145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
8064, 77, 65, 58, 79syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
8138, 47, 78mulgnn0p1 18713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑅𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8275, 57, 65, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8382eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8483oveq1d 7292 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8580, 84eqtr3d 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8685adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8772, 86eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8887exp31 420 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
8988a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
906, 12, 18, 24, 53, 89nn0ind 12413 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
9190exp4c 433 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
9291com12 32 . . 3 (𝑅𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
93923imp 1110 . 2 ((𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
9493impcom 408 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6435  (class class class)co 7277  0cc0 10869  1c1 10870   + caddc 10872  0cn0 12231  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  Scalarcsca 16963   ·𝑠 cvsca 16964  0gc0g 17148  Mndcmnd 18383  .gcmg 18698  LModclmod 20121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-seq 13720  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-mulg 18699  df-mgp 19719  df-ring 19783  df-lmod 20123
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator