Theorem lmodvsmdi 44450

Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsmdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsmdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
lmodvsmdi.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsmdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)))
3		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
4	3	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5	2, 4	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
6	5	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
8	7	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)))
9		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
10	9	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
11	8, 10	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
12	11	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
14	13	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
16	15	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
17	14, 16	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
18	17	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)))
21		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
22	21	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
24	23	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lmodvsmdi.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
29		lmodvsmdi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
30	27, 28, 29	mulg0 18231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
32	31	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
33		simpl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
34	33	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
35	34	ancomd 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36		lmodvsmdi.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37		lmodvsmdi.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38		lmodvsmdi.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
39	36, 37, 38, 28	lmodvs0 19668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
41	25	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
42	41	ancomd 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
44	27, 36, 37, 43, 28	lmod0vs 19667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	33	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ 𝐾)
47		lmodvsmdi.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)
48	38, 43, 47	mulg0 18231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g‘𝐹))
49	48	eqcomd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
50	46, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
51	50	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52	40, 45, 51	3eqtr2d 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
53	32, 52	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54		lmodgrp 19641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
55		grpmnd 18110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
57	56	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
58		simpl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
59	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
61	27, 29, 60	mulgnn0p1 18239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
62	57, 58, 59, 61	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
63	62	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)))
64		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
65	64	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
66		simprll 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
67	27, 29	mulgnn0cl 18244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
68	57, 58, 59, 67	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
69	27, 60, 36, 37, 38	lmodvsdi 19657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
70	65, 66, 68, 59, 69	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
71	63, 70	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
72		oveq1 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
73	71, 72	sylan9eq 2876	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
74	36	lmodfgrp 19643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
75		grpmnd 18110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
77	76	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
78	38, 47	mulgnn0cl 18244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
79	77, 58, 66, 78	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
80		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
81	27, 60, 36, 37, 38, 80	lmodvsdir 19658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
82	65, 79, 66, 59, 81	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
83	38, 47, 80	mulgnn0p1 18239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
84	77, 58, 66, 83	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
85	84	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
86	85	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
87	82, 86	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
88	87	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
89	73, 88	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
90	89	exp31 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
91	90	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
92	6, 12, 18, 24, 53, 91	nn0ind 12078	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
93	92	exp4c 435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
94	93	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
95	94	3imp 1107	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
96	95	impcom 410	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911  Grpcgrp 18103  ._gcmg 18224  LModclmod 19634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-mulg 18225  df-mgp 19240  df-ring 19299  df-lmod 19636

This theorem is referenced by: (None)