Theorem lmodvsmdi 45606

Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsmdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsmdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
lmodvsmdi.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsmdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)))
3		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
4	3	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5	2, 4	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
6	5	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
8	7	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)))
9		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
10	9	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
11	8, 10	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
12	11	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
14	13	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
16	15	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
17	14, 16	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
18	17	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)))
21		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
22	21	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
24	23	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lmodvsmdi.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
29		lmodvsmdi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
30	27, 28, 29	mulg0 18622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
32	31	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
33		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
34	33	anim1i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
35	34	ancomd 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36		lmodvsmdi.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37		lmodvsmdi.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38		lmodvsmdi.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
39	36, 37, 38, 28	lmodvs0 20072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
41	25	anim1i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
42	41	ancomd 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
44	27, 36, 37, 43, 28	lmod0vs 20071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ 𝐾)
47		lmodvsmdi.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)
48	38, 43, 47	mulg0 18622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g‘𝐹))
49	48	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
50	46, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
51	50	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52	40, 45, 51	3eqtr2d 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
53	32, 52	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54		lmodgrp 20045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
55	54	grpmndd 18504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
56	55	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
57		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
58	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
60	27, 29, 59	mulgnn0p1 18630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
61	56, 57, 58, 60	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
62	61	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)))
63		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
65		simprll 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
66	27, 29	mulgnn0cl 18635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
67	56, 57, 58, 66	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
68	27, 59, 36, 37, 38	lmodvsdi 20061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
69	64, 65, 67, 58, 68	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
70	62, 69	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
71		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
72	70, 71	sylan9eq 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
73	36	lmodfgrp 20047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
74	73	grpmndd 18504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
75	74	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
76	38, 47	mulgnn0cl 18635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
77	75, 57, 65, 76	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
78		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
79	27, 59, 36, 37, 38, 78	lmodvsdir 20062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
80	64, 77, 65, 58, 79	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
81	38, 47, 78	mulgnn0p1 18630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
82	75, 57, 65, 81	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
83	82	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
84	83	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
85	80, 84	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
86	85	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
87	72, 86	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
88	87	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
89	88	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
90	6, 12, 18, 24, 53, 89	nn0ind 12345	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
91	90	exp4c 432	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
92	91	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
93	92	3imp 1109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
94	93	impcom 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  LModclmod 20038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-mulg 18616  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-lmod 20040

This theorem is referenced by: (None)