Theorem lmodvsmdi 48367

Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsmdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsmdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
lmodvsmdi.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsmdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)))
3		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
4	3	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5	2, 4	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
6	5	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
8	7	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)))
9		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
10	9	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
11	8, 10	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
12	11	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
14	13	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
16	15	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
17	14, 16	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
18	17	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)))
21		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
22	21	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
24	23	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lmodvsmdi.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
29		lmodvsmdi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
30	27, 28, 29	mulg0 18953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
32	31	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
33		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
34	33	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
35	34	ancomd 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36		lmodvsmdi.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37		lmodvsmdi.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38		lmodvsmdi.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
39	36, 37, 38, 28	lmodvs0 20799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
41	25	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
42	41	ancomd 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
44	27, 36, 37, 43, 28	lmod0vs 20798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ 𝐾)
47		lmodvsmdi.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)
48	38, 43, 47	mulg0 18953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g‘𝐹))
49	48	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
50	46, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
51	50	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52	40, 45, 51	3eqtr2d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
53	32, 52	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54		lmodgrp 20770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
55	54	grpmndd 18825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
56	55	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
57		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
58	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
60	27, 29, 59	mulgnn0p1 18964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
61	56, 57, 58, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
62	61	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)))
63		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
65		simprll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
66	27, 29, 56, 57, 58	mulgnn0cld 18974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
67	27, 59, 36, 37, 38	lmodvsdi 20788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
68	64, 65, 66, 58, 67	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
69	62, 68	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
70		oveq1 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
71	69, 70	sylan9eq 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
72	36	lmodfgrp 20772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
73	72	grpmndd 18825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
74	73	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
75	38, 47, 74, 57, 65	mulgnn0cld 18974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
76		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
77	27, 59, 36, 37, 38, 76	lmodvsdir 20789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
78	64, 75, 65, 58, 77	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
79	38, 47, 76	mulgnn0p1 18964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
80	74, 57, 65, 79	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
81	80	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
82	81	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
83	78, 82	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
85	71, 84	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
86	85	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
87	86	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
88	6, 12, 18, 24, 53, 87	nn0ind 12571	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
89	88	exp4c 432	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
90	89	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
91	90	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
92	91	impcom 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18608  ._gcmg 18946  LModclmod 20763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765

This theorem is referenced by: (None)