Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmdi 44723
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p = (.g𝑊)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝑋) = (0 𝑋))
21oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (0 𝑋)))
3 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52, 4eqeq12d 2838 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
65imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝑋) = (𝑦 𝑋))
87oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 𝑋)))
9 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
118, 10eqeq12d 2838 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
1211imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝑋) = ((𝑦 + 1) 𝑋))
1413oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)))
15 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2838 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
1817imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝑋) = (𝑁 𝑋))
2019oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 𝑋)))
21 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2838 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
2423imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2625adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
28 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 = (.g𝑊)
3027, 28, 29mulg0 18222 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑉 → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3231oveq2d 7156 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = (𝑅 · (0g𝑊)))
33 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
3433anim1i 617 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅𝐾𝑊 ∈ LMod))
3534ancomd 465 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 19659 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4125anim1i 617 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋𝑉𝑊 ∈ LMod))
4241ancomd 465 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉))
43 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 19658 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4633adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.g𝐹)
4838, 43, 47mulg0 18222 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g𝐹))
4948eqcomd 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝐾 → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2863 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5332, 52eqtrd 2857 . . . . . 6 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54 lmodgrp 19632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
55 grpmnd 18101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
5756ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
58 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5926adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋𝑉)
60 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6127, 29, 60mulgnn0p1 18230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6257, 58, 59, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6362oveq2d 7156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)))
64 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
6564adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
66 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅𝐾)
6727, 29mulgnn0cl 18235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉)
6857, 58, 59, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉)
6927, 60, 36, 37, 38lmodvsdi 19648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾 ∧ (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7065, 66, 68, 59, 69syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7163, 70eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
72 oveq1 7147 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7371, 72sylan9eq 2877 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7436lmodfgrp 19634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
75 grpmnd 18101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
7776ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
7838, 47mulgnn0cl 18235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑅𝐾) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
7977, 58, 66, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
80 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐹) = (+g𝐹)
8127, 60, 36, 37, 38, 80lmodvsdir 19649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
8265, 79, 66, 59, 81syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
8338, 47, 80mulgnn0p1 18230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑅𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8477, 58, 66, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8584eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8685oveq1d 7155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8782, 86eqtr3d 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8887adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8973, 88eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
9089exp31 423 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
9190a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
926, 12, 18, 24, 53, 91nn0ind 12065 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
9392exp4c 436 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
9493com12 32 . . 3 (𝑅𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
95943imp 1108 . 2 ((𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
9695impcom 411 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  0cn0 11885  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  Mndcmnd 17902  Grpcgrp 18094  .gcmg 18215  LModclmod 19625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-mulg 18216  df-mgp 19231  df-ring 19290  df-lmod 19627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator