Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmdi 46448
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p = (.g𝑊)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝑋) = (0 𝑋))
21oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (0 𝑋)))
3 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52, 4eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
65imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝑋) = (𝑦 𝑋))
87oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 𝑋)))
9 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
118, 10eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
1211imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝑋) = ((𝑦 + 1) 𝑋))
1413oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)))
15 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
1817imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝑋) = (𝑁 𝑋))
2019oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 𝑋)))
21 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
2423imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
28 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 = (.g𝑊)
3027, 28, 29mulg0 18879 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑉 → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3231oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = (𝑅 · (0g𝑊)))
33 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
3433anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅𝐾𝑊 ∈ LMod))
3534ancomd 462 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 20356 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4125anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋𝑉𝑊 ∈ LMod))
4241ancomd 462 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉))
43 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 20355 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4633adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.g𝐹)
4838, 43, 47mulg0 18879 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g𝐹))
4948eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝐾 → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2782 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5332, 52eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54 lmodgrp 20329 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
5554grpmndd 18760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
5655ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
57 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5826adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋𝑉)
59 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6027, 29, 59mulgnn0p1 18887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6156, 57, 58, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6261oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
65 simprll 777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅𝐾)
6627, 29, 56, 57, 58mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉)
6727, 59, 36, 37, 38lmodvsdi 20345 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾 ∧ (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
6864, 65, 66, 58, 67syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
6962, 68eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
70 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7169, 70sylan9eq 2796 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7236lmodfgrp 20331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
7372grpmndd 18760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
7473ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
7538, 47, 74, 57, 65mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
76 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7727, 59, 36, 37, 38, 76lmodvsdir 20346 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7864, 75, 65, 58, 77syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7938, 47, 76mulgnn0p1 18887 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑅𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8074, 57, 65, 79syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8180eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8281oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8378, 82eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8483adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8571, 84eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8685exp31 420 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
8786a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
886, 12, 18, 24, 53, 87nn0ind 12598 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
8988exp4c 433 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
9089com12 32 . . 3 (𝑅𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
91903imp 1111 . 2 ((𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
9291impcom 408 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  0cn0 12413  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  LModclmod 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-mulg 18873  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-lmod 20324
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator