Theorem lmodvsmdi 49694

Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsmdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsmdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
lmodvsmdi.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsmdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)))
3		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
4	3	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5	2, 4	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
6	5	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
8	7	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)))
9		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
10	9	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
11	8, 10	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
12	11	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
14	13	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
16	15	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
17	14, 16	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
18	17	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)))
21		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
22	21	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
24	23	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lmodvsmdi.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
29		lmodvsmdi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
30	27, 28, 29	mulg0 19310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
31	26, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
32	31	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
33		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
34	33	anim1i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
35	34	ancomd 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36		lmodvsmdi.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37		lmodvsmdi.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38		lmodvsmdi.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
39	36, 37, 38, 28	lmodvs0 21198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
40	35, 39	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
41	25	anim1i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
42	41	ancomd 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
44	27, 36, 37, 43, 28	lmod0vs 21197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
45	42, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	33	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ 𝐾)
47		lmodvsmdi.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)
48	38, 43, 47	mulg0 19310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g‘𝐹))
49	48	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
50	46, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
51	50	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52	40, 45, 51	3eqtr2d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
53	32, 52	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54		lmodgrp 21169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
55	54	grpmndd 19183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
56	55	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
57		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
58	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
60	27, 29, 59	mulgnn0p1 19321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
61	56, 57, 58, 60	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
62	61	oveq2d 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)))
63		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
64	63	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
65		simprll 791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
66	27, 29, 56, 57, 58	mulgnn0cld 19331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
67	27, 59, 36, 37, 38	lmodvsdi 21187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
68	64, 65, 66, 58, 67	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
69	62, 68	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
70		oveq1 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
71	69, 70	sylan9eq 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
72	36	lmodfgrp 21171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
73	72	grpmndd 19183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
74	73	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
75	38, 47, 74, 57, 65	mulgnn0cld 19331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
76		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
77	27, 59, 36, 37, 38, 76	lmodvsdir 21188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
78	64, 75, 65, 58, 77	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
79	38, 47, 76	mulgnn0p1 19321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
80	74, 57, 65, 79	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
81	80	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
82	81	oveq1d 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
83	78, 82	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
84	83	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
85	71, 84	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
86	85	exp31 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
87	86	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
88	6, 12, 18, 24, 53, 87	nn0ind 12818	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
89	88	exp4c 438	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
90	89	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
91	90	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
92	91	impcom 413	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  0_gc0g 17636  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303  LModclmod 21162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-seq 14169  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-mulg 19304  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-lmod 21164

This theorem is used by: (None)