Theorem lmodvsmdi 44784

Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsmdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsmdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
lmodvsmdi.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsmdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)))
3		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
4	3	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5	2, 4	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
6	5	imbi2d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
8	7	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)))
9		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
10	9	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
11	8, 10	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
12	11	imbi2d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
14	13	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
16	15	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
17	14, 16	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
18	17	imbi2d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
20	19	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)))
21		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
22	21	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
24	23	imbi2d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lmodvsmdi.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
29		lmodvsmdi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
30	27, 28, 29	mulg0 18223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘𝑊))
32	31	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
33		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
34	33	anim1i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
35	34	ancomd 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36		lmodvsmdi.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37		lmodvsmdi.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38		lmodvsmdi.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
39	36, 37, 38, 28	lmodvs0 19661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
41	25	anim1i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ LMod))
42	41	ancomd 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
44	27, 36, 37, 43, 28	lmod0vs 19660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	33	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ 𝐾)
47		lmodvsmdi.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)
48	38, 43, 47	mulg0 18223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g‘𝐹))
49	48	eqcomd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
50	46, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g‘𝐹) = (0𝐸𝑅))
51	50	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52	40, 45, 51	3eqtr2d 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
53	32, 52	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54		lmodgrp 19634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
55		grpmnd 18102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
57	56	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
58		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
59	26	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
61	27, 29, 60	mulgnn0p1 18231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
62	57, 58, 59, 61	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
63	62	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)))
64		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
65	64	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
66		simprll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
67	27, 29	mulgnn0cl 18236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
68	57, 58, 59, 67	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
69	27, 60, 36, 37, 38	lmodvsdi 19650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
70	65, 66, 68, 59, 69	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 ↑ 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
71	63, 70	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
72		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
73	71, 72	sylan9eq 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
74	36	lmodfgrp 19636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
75		grpmnd 18102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
77	76	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
78	38, 47	mulgnn0cl 18236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
79	77, 58, 66, 78	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
80		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
81	27, 60, 36, 37, 38, 80	lmodvsdir 19651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
82	65, 79, 66, 59, 81	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
83	38, 47, 80	mulgnn0p1 18231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
84	77, 58, 66, 83	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅))
85	84	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
86	85	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
87	82, 86	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
88	87	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
89	73, 88	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
90	89	exp31 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
91	90	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
92	6, 12, 18, 24, 53, 91	nn0ind 12065	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
93	92	exp4c 436	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
94	93	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
95	94	3imp 1108	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
96	95	impcom 411	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  LModclmod 19627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mulg 18217  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-lmod 19629

This theorem is referenced by: (None)