Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvsmdi 47048
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsmdi.p ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
21oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)))
3 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
52, 4eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
65imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
7 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
87oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)))
9 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))
118, 10eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1211imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
13 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
1413oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1817imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
19 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
2019oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)))
21 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
2423imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
28 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
3027, 28, 29mulg0 18956 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3231oveq2d 7424 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)))
33 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
3433anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ π‘Š ∈ LMod))
3534ancomd 462 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 20505 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4125anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ LMod))
4241ancomd 462 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 20504 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4633adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
4838, 43, 47mulg0 18956 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0𝐸𝑅) = (0gβ€˜πΉ))
4948eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5332, 52eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
54 lmodgrp 20477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
5554grpmndd 18831 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
5655ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
57 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5826adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6027, 29, 59mulgnn0p1 18964 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6156, 57, 58, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6261oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
65 simprll 777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
6627, 29, 56, 57, 58mulgnn0cld 18974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
6727, 59, 36, 37, 38lmodvsdi 20494 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6864, 65, 66, 58, 67syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6962, 68eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
70 oveq1 7415 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7169, 70sylan9eq 2792 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7236lmodfgrp 20479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7372grpmndd 18831 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7473ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7538, 47, 74, 57, 65mulgnn0cld 18974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
76 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7727, 59, 36, 37, 38, 76lmodvsdir 20495 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7864, 75, 65, 58, 77syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7938, 47, 76mulgnn0p1 18964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8074, 57, 65, 79syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8180eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8281oveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8378, 82eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8483adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8571, 84eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8685exp31 420 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
8786a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
886, 12, 18, 24, 53, 87nn0ind 12656 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
8988exp4c 433 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
9089com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
91903imp 1111 . 2 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
9291impcom 408 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624  .gcmg 18949  LModclmod 20470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mulg 18950  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-lmod 20472
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator