Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvsmdi 47339
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsmdi.p ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
21oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)))
3 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
52, 4eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
65imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
7 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
87oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)))
9 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))
118, 10eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1211imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
13 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
1413oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1817imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
19 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
2019oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)))
21 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
2423imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
28 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
3027, 28, 29mulg0 19002 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3231oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)))
33 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
3433anim1i 614 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ π‘Š ∈ LMod))
3534ancomd 461 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 20742 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4125anim1i 614 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ LMod))
4241ancomd 461 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 20741 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4633adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
4838, 43, 47mulg0 19002 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0𝐸𝑅) = (0gβ€˜πΉ))
4948eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5332, 52eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
54 lmodgrp 20713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
5554grpmndd 18876 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
5655ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
57 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5826adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
59 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6027, 29, 59mulgnn0p1 19012 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6156, 57, 58, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6261oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
65 simprll 776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
6627, 29, 56, 57, 58mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
6727, 59, 36, 37, 38lmodvsdi 20731 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6864, 65, 66, 58, 67syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6962, 68eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
70 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7169, 70sylan9eq 2786 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7236lmodfgrp 20715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7372grpmndd 18876 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7473ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7538, 47, 74, 57, 65mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
76 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7727, 59, 36, 37, 38, 76lmodvsdir 20732 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7864, 75, 65, 58, 77syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7938, 47, 76mulgnn0p1 19012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8074, 57, 65, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8180eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8281oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8378, 82eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8571, 84eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8685exp31 419 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
8786a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
886, 12, 18, 24, 53, 87nn0ind 12661 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
8988exp4c 432 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
9089com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
91903imp 1108 . 2 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
9291impcom 407 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  LModclmod 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator