Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmdi 46532
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsmdi.p ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
21oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)))
3 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
52, 4eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
65imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
7 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
87oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)))
9 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))
118, 10eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1211imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
13 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
1413oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1817imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
19 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
2019oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)))
21 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
2423imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
25 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
28 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
3027, 28, 29mulg0 18886 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3231oveq2d 7378 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)))
33 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
3433anim1i 616 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ π‘Š ∈ LMod))
3534ancomd 463 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 20372 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4125anim1i 616 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ LMod))
4241ancomd 463 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 20371 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4633adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
4838, 43, 47mulg0 18886 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0𝐸𝑅) = (0gβ€˜πΉ))
4948eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2783 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5332, 52eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
54 lmodgrp 20345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
5554grpmndd 18767 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
5655ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
57 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5826adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6027, 29, 59mulgnn0p1 18894 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6156, 57, 58, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6261oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
65 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
6627, 29, 56, 57, 58mulgnn0cld 18904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
6727, 59, 36, 37, 38lmodvsdi 20361 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6864, 65, 66, 58, 67syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6962, 68eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
70 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7169, 70sylan9eq 2797 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7236lmodfgrp 20347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7372grpmndd 18767 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7473ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7538, 47, 74, 57, 65mulgnn0cld 18904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
76 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7727, 59, 36, 37, 38, 76lmodvsdir 20362 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7864, 75, 65, 58, 77syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7938, 47, 76mulgnn0p1 18894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8074, 57, 65, 79syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8180eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8281oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8378, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8483adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8571, 84eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8685exp31 421 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
8786a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
886, 12, 18, 24, 53, 87nn0ind 12605 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
8988exp4c 434 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
9089com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
91903imp 1112 . 2 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
9291impcom 409 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328  Mndcmnd 18563  .gcmg 18879  LModclmod 20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-mulg 18880  df-mgp 19904  df-ring 19973  df-lmod 20340
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator