Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvsmdi 47558
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsmdi.p ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
21oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)))
3 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
52, 4eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
65imbi2d 339 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
7 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
87oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)))
9 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))
118, 10eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1211imbi2d 339 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
13 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
1413oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
15 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
1817imbi2d 339 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
19 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
2019oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)))
21 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋) ↔ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
2423imbi2d 339 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝑅) Β· 𝑋)) ↔ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
25 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
28 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
3027, 28, 29mulg0 19034 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3231oveq2d 7432 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)))
33 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
3433anim1i 613 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ π‘Š ∈ LMod))
3534ancomd 460 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 20783 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π‘Š))
4125anim1i 613 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ LMod))
4241ancomd 460 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
43 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 20782 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4633adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
4838, 43, 47mulg0 19034 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0𝐸𝑅) = (0gβ€˜πΉ))
4948eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2771 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0gβ€˜π‘Š)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
5332, 52eqtrd 2765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (0 ↑ 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) Β· 𝑋))
54 lmodgrp 20754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
5554grpmndd 18907 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
5655ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
57 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5826adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
59 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6027, 29, 59mulgnn0p1 19044 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6156, 57, 58, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
6261oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
63 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
65 simprll 777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
6627, 29, 56, 57, 58mulgnn0cld 19054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉)
6727, 59, 36, 37, 38lmodvsdi 20772 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6864, 65, 66, 58, 67syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 ↑ 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
6962, 68eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
70 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7169, 70sylan9eq 2785 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7236lmodfgrp 20756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7372grpmndd 18907 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7473ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
7538, 47, 74, 57, 65mulgnn0cld 19054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
76 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7727, 59, 36, 37, 38, 76lmodvsdir 20773 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7864, 75, 65, 58, 77syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)))
7938, 47, 76mulgnn0p1 19044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8074, 57, 65, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅))
8180eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8281oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅)(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8378, 82eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8483adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8571, 84eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))
8685exp31 418 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
8786a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) Β· 𝑋)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) Β· 𝑋))))
886, 12, 18, 24, 53, 87nn0ind 12687 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
8988exp4c 431 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
9089com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))))
91903imp 1108 . 2 ((𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋)))
9291impcom 406 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· (𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  β„•0cn0 12502  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  Mndcmnd 18693  .gcmg 19027  LModclmod 20747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator