Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem8 41877
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 lines 33-35. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap14lem8.j (𝜑𝐽𝐴)
hdmap14lem8.xy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem8 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))

Proof of Theorem hdmap14lem8
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 41594 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 hdmap14lem8.j . . 3 (𝜑𝐽𝐴)
6 hdmap14lem8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmap14lem8.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 hdmap14lem8.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3963 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 41832 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
13 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3963 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
151, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 14hdmapcl 41832 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
16 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
17 hdmap14lem8.p . . . 4 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
18 hdmap14lem8.e . . . 4 = ( ·𝑠𝐶)
19 hdmap14lem8.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑃)
208, 16, 17, 18, 19lmodvsdi 20883 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐽𝐴 ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
214, 5, 12, 15, 20syl13anc 1374 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
22 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
231, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 11, 14hdmapadd 41845 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
2423oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))))
25 hdmap14lem8.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
261, 6, 3dvhlmod 41112 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmap14lem8.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
28 hdmap14lem8.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
29 hdmap14lem8.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑈)
30 hdmap14lem8.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
317, 22, 28, 29, 30lmodvsdi 20883 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3226, 27, 11, 14, 31syl13anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3332fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))))
347, 28, 29, 30lmodvscl 20876 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3526, 27, 11, 34syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
367, 28, 29, 30lmodvscl 20876 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑌𝑉) → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3726, 27, 14, 36syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
381, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 35, 37hdmapadd 41845 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))) = ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))))
39 hdmap14lem8.xx . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
40 hdmap14lem8.yy . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
4139, 40oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4233, 38, 413eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4325, 42eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4424, 43eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4521, 44eqtr3d 2779 1 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  HDMapchdma 41794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627  df-hvmap 41759  df-hdmap1 41795  df-hdmap 41796
This theorem is referenced by:  hdmap14lem9  41878
  Copyright terms: Public domain W3C validator