Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem8 41272
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 lines 33-35. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap14lem8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.q + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmap14lem8.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem8.d ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmap14lem8.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem8.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap14lem8.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap14lem8.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap14lem8.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
hdmap14lem8.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xx (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
hdmap14lem8.yy (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ)) = (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ)))
hdmap14lem8.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
hdmap14lem8.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xy (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem8 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem hdmap14lem8
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap14lem8.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap14lem8.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40989 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 hdmap14lem8.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐴)
6 hdmap14lem8.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 hdmap14lem8.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
9 hdmap14lem8.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmap14lem8.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110eldifad 3956 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 41227 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
13 hdmap14lem8.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3956 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
151, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 14hdmapcl 41227 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
16 hdmap14lem8.d . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
17 hdmap14lem8.p . . . 4 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
18 hdmap14lem8.e . . . 4 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
19 hdmap14lem8.a . . . 4 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
208, 16, 17, 18, 19lmodvsdi 20750 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
214, 5, 12, 15, 20syl13anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
22 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
231, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 11, 14hdmapadd 41240 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))
2423oveq2d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))) = (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))))
25 hdmap14lem8.xy . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
261, 6, 3dvhlmod 40507 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
27 hdmap14lem8.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
28 hdmap14lem8.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
29 hdmap14lem8.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
30 hdmap14lem8.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
317, 22, 28, 29, 30lmodvsdi 20750 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ)) = ((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ)))
3226, 27, 11, 14, 31syl13anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ)) = ((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ)))
3332fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = (π‘†β€˜((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ))))
347, 28, 29, 30lmodvscl 20743 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3526, 27, 11, 34syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
367, 28, 29, 30lmodvscl 20743 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
3726, 27, 14, 36syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
381, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 35, 37hdmapadd 41240 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ))) = ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) ✚ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ))))
39 hdmap14lem8.xx . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
40 hdmap14lem8.yy . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ)) = (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ)))
4139, 40oveq12d 7432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) ✚ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4233, 38, 413eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4325, 42eqtr3d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4424, 43eqtr3d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4521, 44eqtr3d 2769 1 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222  0gc0g 17406  LModclmod 20725  LSpanclspn 20837  HLchlt 38746  LHypclh 39381  DVecHcdvh 40475  LCDualclcd 40983  HDMapchdma 41189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-lsatoms 38372  df-lshyp 38373  df-lcv 38415  df-lfl 38454  df-lkr 38482  df-ldual 38520  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-tgrp 40140  df-tendo 40152  df-edring 40154  df-dveca 40400  df-disoa 40426  df-dvech 40476  df-dib 40536  df-dic 40570  df-dih 40626  df-doch 40745  df-djh 40792  df-lcdual 40984  df-mapd 41022  df-hvmap 41154  df-hdmap1 41190  df-hdmap 41191
This theorem is referenced by:  hdmap14lem9  41273
  Copyright terms: Public domain W3C validator