Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem8 37681
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 lines 33-35. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap14lem8.j (𝜑𝐽𝐴)
hdmap14lem8.xy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem8 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))

Proof of Theorem hdmap14lem8
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37398 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 hdmap14lem8.j . . 3 (𝜑𝐽𝐴)
6 hdmap14lem8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmap14lem8.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 hdmap14lem8.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3735 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 37636 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
13 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3735 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
151, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 14hdmapcl 37636 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
16 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
17 hdmap14lem8.p . . . 4 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
18 hdmap14lem8.e . . . 4 = ( ·𝑠𝐶)
19 hdmap14lem8.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑃)
208, 16, 17, 18, 19lmodvsdi 19095 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐽𝐴 ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
214, 5, 12, 15, 20syl13anc 1478 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
22 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
231, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 11, 14hdmapadd 37649 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
2423oveq2d 6808 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))))
25 hdmap14lem8.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
261, 6, 3dvhlmod 36916 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmap14lem8.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
28 hdmap14lem8.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
29 hdmap14lem8.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑈)
30 hdmap14lem8.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
317, 22, 28, 29, 30lmodvsdi 19095 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3226, 27, 11, 14, 31syl13anc 1478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3332fveq2d 6336 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))))
347, 28, 29, 30lmodvscl 19089 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3526, 27, 11, 34syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
367, 28, 29, 30lmodvscl 19089 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑌𝑉) → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3726, 27, 14, 36syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
381, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 35, 37hdmapadd 37649 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))) = ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))))
39 hdmap14lem8.xx . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
40 hdmap14lem8.yy . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
4139, 40oveq12d 6810 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4233, 38, 413eqtrd 2809 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4325, 42eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4424, 43eqtr3d 2807 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4521, 44eqtr3d 2807 1 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4316  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  0gc0g 16307  LModclmod 19072  LSpanclspn 19183  HLchlt 35155  LHypclh 35788  DVecHcdvh 36884  LCDualclcd 37392  HDMapchdma 37598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34757
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-oppg 17982  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-lsatoms 34781  df-lshyp 34782  df-lcv 34824  df-lfl 34863  df-lkr 34891  df-ldual 34929  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-llines 35302  df-lplanes 35303  df-lvols 35304  df-lines 35305  df-psubsp 35307  df-pmap 35308  df-padd 35600  df-lhyp 35792  df-laut 35793  df-ldil 35908  df-ltrn 35909  df-trl 35964  df-tgrp 36548  df-tendo 36560  df-edring 36562  df-dveca 36808  df-disoa 36835  df-dvech 36885  df-dib 36945  df-dic 36979  df-dih 37035  df-doch 37154  df-djh 37201  df-lcdual 37393  df-mapd 37431  df-hvmap 37563  df-hdmap1 37599  df-hdmap 37600
This theorem is referenced by:  hdmap14lem9  37682
  Copyright terms: Public domain W3C validator