Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem8 37949
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 lines 33-35. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap14lem8.j (𝜑𝐽𝐴)
hdmap14lem8.xy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem8 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))

Proof of Theorem hdmap14lem8
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37666 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 hdmap14lem8.j . . 3 (𝜑𝐽𝐴)
6 hdmap14lem8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmap14lem8.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 hdmap14lem8.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3810 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 37904 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
13 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3810 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
151, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 14hdmapcl 37904 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
16 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
17 hdmap14lem8.p . . . 4 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
18 hdmap14lem8.e . . . 4 = ( ·𝑠𝐶)
19 hdmap14lem8.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑃)
208, 16, 17, 18, 19lmodvsdi 19249 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐽𝐴 ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
214, 5, 12, 15, 20syl13anc 1495 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
22 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
231, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 11, 14hdmapadd 37917 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
2423oveq2d 6926 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))))
25 hdmap14lem8.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
261, 6, 3dvhlmod 37184 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmap14lem8.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
28 hdmap14lem8.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
29 hdmap14lem8.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑈)
30 hdmap14lem8.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
317, 22, 28, 29, 30lmodvsdi 19249 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3226, 27, 11, 14, 31syl13anc 1495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3332fveq2d 6441 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))))
347, 28, 29, 30lmodvscl 19243 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3526, 27, 11, 34syl3anc 1494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
367, 28, 29, 30lmodvscl 19243 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑌𝑉) → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3726, 27, 14, 36syl3anc 1494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
381, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 35, 37hdmapadd 37917 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))) = ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))))
39 hdmap14lem8.xx . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
40 hdmap14lem8.yy . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
4139, 40oveq12d 6928 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4233, 38, 413eqtrd 2865 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4325, 42eqtr3d 2863 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4424, 43eqtr3d 2863 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4521, 44eqtr3d 2863 1 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cdif 3795  {csn 4399  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  Scalarcsca 16315   ·𝑠 cvsca 16316  0gc0g 16460  LModclmod 19226  LSpanclspn 19337  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  LCDualclcd 37660  HDMapchdma 37866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35050  df-lshyp 35051  df-lcv 35093  df-lfl 35132  df-lkr 35160  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dveca 37077  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422  df-djh 37469  df-lcdual 37661  df-mapd 37699  df-hvmap 37831  df-hdmap1 37867  df-hdmap 37868
This theorem is referenced by:  hdmap14lem9  37950
  Copyright terms: Public domain W3C validator