Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem8 41403
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 lines 33-35. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap14lem8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.q + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem8.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmap14lem8.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem8.d ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmap14lem8.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem8.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap14lem8.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap14lem8.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap14lem8.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
hdmap14lem8.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xx (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
hdmap14lem8.yy (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ)) = (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ)))
hdmap14lem8.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
hdmap14lem8.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xy (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem8 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem hdmap14lem8
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap14lem8.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap14lem8.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 41120 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 hdmap14lem8.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐴)
6 hdmap14lem8.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 hdmap14lem8.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
9 hdmap14lem8.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmap14lem8.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110eldifad 3952 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 41358 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
13 hdmap14lem8.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3952 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
151, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 14hdmapcl 41358 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
16 hdmap14lem8.d . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
17 hdmap14lem8.p . . . 4 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
18 hdmap14lem8.e . . . 4 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
19 hdmap14lem8.a . . . 4 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
208, 16, 17, 18, 19lmodvsdi 20770 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
214, 5, 12, 15, 20syl13anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
22 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
231, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 11, 14hdmapadd 41371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))
2423oveq2d 7431 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))) = (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))))
25 hdmap14lem8.xy . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
261, 6, 3dvhlmod 40638 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
27 hdmap14lem8.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
28 hdmap14lem8.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
29 hdmap14lem8.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
30 hdmap14lem8.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
317, 22, 28, 29, 30lmodvsdi 20770 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ)) = ((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ)))
3226, 27, 11, 14, 31syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ)) = ((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ)))
3332fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = (π‘†β€˜((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ))))
347, 28, 29, 30lmodvscl 20763 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3526, 27, 11, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
367, 28, 29, 30lmodvscl 20763 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
3726, 27, 14, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
381, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 35, 37hdmapadd 41371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜((𝐹 Β· 𝑋) + (𝐹 Β· π‘Œ))) = ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) ✚ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ))))
39 hdmap14lem8.xx . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
40 hdmap14lem8.yy . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ)) = (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ)))
4139, 40oveq12d 7433 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) ✚ (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4233, 38, 413eqtrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· (𝑋 + π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4325, 42eqtr3d 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4424, 43eqtr3d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ™ ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
4521, 44eqtr3d 2767 1 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐽 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))) = ((𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ✚ (𝐼 βˆ™ (π‘†β€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3937  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  LModclmod 20745  LSpanclspn 20857  HLchlt 38877  LHypclh 39512  DVecHcdvh 40606  LCDualclcd 41114  HDMapchdma 41320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38503  df-lshyp 38504  df-lcv 38546  df-lfl 38585  df-lkr 38613  df-ldual 38651  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tgrp 40271  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-dveca 40531  df-disoa 40557  df-dvech 40607  df-dib 40667  df-dic 40701  df-dih 40757  df-doch 40876  df-djh 40923  df-lcdual 41115  df-mapd 41153  df-hvmap 41285  df-hdmap1 41321  df-hdmap 41322
This theorem is referenced by:  hdmap14lem9  41404
  Copyright terms: Public domain W3C validator