Theorem locfintop 23678

Description: A locally finite cover covers a topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
locfintop	⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem locfintop

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
3	1, 2	islocfin 23674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑠 ∈ ∪ 𝐽∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑠 ∈ 𝑛 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
4	3	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  Fincfn 8939  Topctop 23050  LocFinclocfin 23661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-top 23051  df-locfin 23664

This theorem is referenced by:  lfinun  23682  locfinreflem  34230  locfinref  34231