Theorem locfintop 23437

Description: A locally finite cover covers a topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
locfintop	⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem locfintop

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
3	1, 2	islocfin 23433	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑠 ∈ ∪ 𝐽∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑠 ∈ 𝑛 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
4	3	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  {crab 3396   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6486  Fincfn 8875  Topctop 22809  LocFinclocfin 23420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-top 22810  df-locfin 23423

This theorem is referenced by:  lfinun  23441  locfinreflem  33874  locfinref  33875