Theorem locfintop 23025

Description: A locally finite cover covers a topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
locfintop	⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem locfintop

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
3	1, 2	islocfin 23021	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑠 ∈ ∪ 𝐽∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑠 ∈ 𝑛 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
4	3	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  Topctop 22395  LocFinclocfin 23008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-top 22396  df-locfin 23011

This theorem is referenced by:  lfinun  23029  locfinreflem  32820  locfinref  32821